6.2.2 电离能量损失规律：Bethe公式在线视频

不同带电粒子

与物质相互作用时

损失能量的特征

有什么不同吗

我们主要按带电粒子的质量

对带电粒子进行分类

一类是重带电粒子

一类是快电子

这也是我们在辐射探测中

最常遇到的两类带电粒子

他们各自与物质相互作用

损失能量的特点是不同的

所以我们将带电粒子分成两类

来讨论带电粒子在介质中的

能量损失

这一节我们来介绍一下

电离能量损失的一个规律

也就是说比能损失

描述这个电离能量损失的

这个比能损失的规律究竟是什么样的

它和入射带电粒子的哪些属性有关系

和作用介质的哪些属性有关系

是什么样的关系

描述电离能量损失规律的公式

我们叫Bethe公式

下面我们来看一下这样的公式

Bethe公式我们说是描写

电离能量损失率与带电粒子的速度

电荷以及作用物质属性

也就是指的它的原子序数和密度

直接关系的一个经典公式

当然它最初就是由

Bethe推导出来的

下面我们进行一个公式的推导

来找一找电离能量损失的规律

当然这个推导的过程

是很简化的一个推导过程

那么这里面公式推导

我们有一些简化的条件

第一个条件是物质原子中的电子

可以看成是一个自由电子

那么第二个条件呢

是物质原子中的电子可以看成

是一个静止的电子

第三个条件是碰撞之后

入射粒子仍按原方向运动

第四个条件呢

是入射粒子的电荷状态

碰撞之后不变

就是说原来是两个电荷还是两个电荷

这些条件

我们说在一定的条件下

都是可以近似满足的

在这样的一个

近似满足这些条件的情况下

我们可以进行一个公式的推导

首先来看一下

重带电粒子和单个电子的碰撞情况

那这个里面我们说

入射的带电粒子的质量是m

它带有这个z个电荷

我们用m0表是电子

它带有单位的负电荷

那么我们来看一下

在这个作用过程里头

电子受到的库仑力是多少

显然我们可以利用

这个库仑力的相互作用的关系

把它表示出来

它受到的作用力的大小呢

我们可以用f去表示它

显然f和它们之间距离的平方

是一个反比的关系

和它们之间电荷的乘积

是一个正比的关系

那这个里面我们定义

这个入射粒子的速度为v

它沿着它运动的这个速度的方向

我们给它画一个x轴

然后我们用这个电子垂直到x轴

这样的一个方向

我们给它做一条垂线

这个垂直的距离是b

b称为一个碰撞参量

这样的话

其实我们就定义出来一个x轴

垂直的话我们可以给它定义成y轴

也就是说有两个坐标轴了

我们可以把这个作用力

给它分解为x方向的力

和y方向的力

然后我们考虑一下

这个作用过程的时间

它是一个库仑的相互作用

前面我们刚刚提过

库仑相互作用

它是一个远程的相互作用

也就是说它在无限远的时候

其实也是有相互作用的

它在离开走到无限远的时候

也是有相互作用的

只不过这个相互作用很小而已

所以这个作用过程的时间

就是负无穷到正无穷

那么在dt时间里面

我们来看一下带电粒子

传给电子的动量究竟是多少

这个动量的传递

我们直接用f乘以dt

就是动量的传递

我们找到了传递的动量

在非相对论的情况下

我们很容易找到传递的动能

整个作用过程里面

我们说传递给电子的总动量是多少呢

是一个对dt的一个积分

我们直接给它做积分就可以

当然在x方向

我们说电子获得的动量

因为x方向

它是从无穷远来 又到无穷远去

这个作用力几乎是不变的

所以在x方向

其实有一个相互的抵消的过程

所以在x方向它没有获得动量

在y方向呢

它是实实在在获得了动量

获得的动量的大小我们可以

把这个关系给它带进去

求解我们可以得出来

获得的动量等于这样的一个关系

这个里面是关于时间的一个积分

我们把关于时间的积分

给它转成关于距离的积分

因为我们其实最后还是关心

在单位距离上

它究竟损失了多少能量

所以这个距离和时间之间的关系

就是一个速度

所以我们这个里面

会出现一个速度的关系

这个里面最后我们把它整理一下

得到的是一个负无穷到正无穷的

一个积分

也就是说

重带电粒子与单个电子碰撞过程里头

传递给这个电子的动量

显然它和碰撞参数有关系

和这个速度是有关系的

下面其实是一个积分的过程

这个积分的过程呢

大家利用微积分的一些基础

可以把它做出来

最后我们利用这样的关系

给它做积分很容易得到

最后是积分等于b的平方分之2

所以代过去的话动量的大小

我们是有确定的数值

而且这个积分已经完成了的

所以我们说重带电粒子

与单个电子碰撞的时候

在碰撞参量为b的时候

单个电子所获得的动量

就是这样的一个表达式

在动量已知的情况下

我们说碰撞参量为b的时候

单个电子

在碰撞过程里面所得到的动能

也就是碰撞过程里面

带电粒子损失的动能

我们可以直接表达出来

ΔEb就等于后面这个式子

所描述的部分

显然这个动能的大小呢和

z的大小

就是和入射带电粒子的电荷量

是有关系的

和v有关系

和它的运动速度是有关系的

和b有关系

也就是说

和带电粒子和电子的相对距离

是有关系的

那么这是和单个电子碰撞的情况

我们再来看一下

介质里面

dx距离里面碰撞参量为b的电子数

究竟有多少呢

这个也可以简单的推导

我们就可以得出来

在这个里面的电子的数目

它应该等于N乘以Z乘以V

N是介质原子的密度

就是原子数的一个密度

Z是原子序数

V当然是描述的一个体积

它等于N·Z·(2πb·db·dx)

这是dx距离里面

碰撞参量为b的电子的数目

所以介质内dx距离内

碰撞参量为b的电子

得到的总的动能

我们就可以用这个电子的数目

乘以刚才我们说

单个电子获得的能量

直接给它得出来

这是dx距离里面

碰撞参量为b的电子得到的总动能

下面我们再来看

介质里面dx距离里面

所有电子得到的总动能究竟是多少

也就是说

带电粒子在dx距离里面

究竟损失了多少动能

当然这个时候我们就要变化

另外一个参量

就是碰撞参数

那么也就是说我们要对碰撞参数

做一个积分

从最小的碰撞参数

到最大的碰撞参数做一个积分

这个积分就得到了

总的这个带电粒子

在dx距离里面损失的动能了

我们把它的表达式写出来

这个里面显然和这个碰撞参量无关的

这些部分

我们可以拿到积分式子之外去

所以积分其实也很简单

它是1/b的一个定积分

我们可以直接把这个定积分求出来

它应该等于后面这个关系

出现一个对数项

当然这个里面

会有一个最大碰撞参量

和最小碰撞参量

究竟怎么取值的一个问题

那我们先考虑一下

最小碰撞参量能不能取零

最大碰撞参量能不能取无穷大

如果是能够这样取的话

我们会发现一个现象

会发现一个什么现象呢

会发现对数这一项会变成无穷大

也就是说

碰撞参量可以取无穷大

或者碰撞参量可以取0的时候

那么dE/dx就可以变成无穷大

那么这个和实际的物理的这种结果

是不一样的

因为我们刚才说了

它每次碰撞能够传递的能量是有限的

绝对不会是一个无限大的量

所以我们可以看到就是说

最大的碰撞参量

显然不能取无穷大

最小的碰撞参量也不能取0

那么究竟应该如何取值呢

我们说容易知道的是

最小的碰撞参量

应该对应到电子获得最大能量的情况

按照经典的碰撞理论

重离子与电子对心碰撞的时候

电子将获得最大动能

也就是两倍的m0v^2

这个量值

那么按照这个量值

我们给它代进去

就可以求出最小的碰撞参量

究竟是多少

这是最小碰撞参量的一个表达式

那么最小碰撞参量的量级究竟是多少呢

我们来代入一个公式简单的算一下

例如对于4个MeV入射的α粒子

我们把它的电荷量把它的速度

或者能量代进去

我们可以算出来

最小的碰撞参量差不多是

10的-12次方米

这样的一个量级

那么最大的碰撞参量

应该对应到电子获得最小能量的情况

那么这是显然的一个情况

我们说这个最小能量

可以由电子在原子中的结合能来考虑

因为我们说Bethe公式

描述的是一个电离能量损失

它描述的是一个非弹性碰撞

既然要描述非弹性碰撞

入射带电粒子传给电子的能量

必须要大于原子的激发能才行

否则的话

它就不能形成一个非弹性碰撞

所以这个里面

我们说电子只能从入射粒子处接受

大于原子平均激发能I的能量

也就是说我们这个里面定义

碰撞参量最大的时候

对应的ΔEb=I

I是这个平均激发能

这样我们就推出来

最大碰撞参量的一个表达式

那么I的取值

对于不同的原子序数来说

是不一样的

例如Z等于1的时候

I等于19eV

其它的一些数值

我们可以用相应的公式去描述它

具体到最大的碰撞参量

究竟是一个什么样量级呢

我们还是来看一下

对于4MeV的α粒子来说

我们说I等于20eV

代到公式里面可以算一下

那么这个里面我们得到的

最大的碰撞参量的量级基本上是

10的-11次方米这样的一个量级

也就是说我们会看到

其实b最小到b最大

其实覆盖的范围差不多

是一个量级这样的一个范围

那么这样的话

我们就得到了Bethe公式

把不同的碰撞参量给它代进去

就得到了电离能量损失率的表达式

从这个表达式里面显然我们会看出来

电离能量损失

既和入射粒子的属性有关系

又和作用介质的属性有关系

这个里面我们用红色的字母

代表的是入射粒子的属性

用蓝色的字母代表的是

就是作用介质的一些属性

按照量子理论推导出来的

非相对论的公式

其实和我们推导出来的

这个表达式

表达式上面是一样的

只不过它的这个b

和我们这个b是不一样的

也就是说最后我们会看到

差了一个两倍

所以从这种规律上来说

我们这个推导的过程也是可以的

但是具体的数值的大小

上面显然是有差别的

那么在考虑相对论和其它的修正因子

我们就可以做到

重带电粒子电离能量损失率的

精确表达式

Bethe-Bloch公式

在这个公式里面

显然b比我们刚才得到那个公式

又多了两项

在这个公式里面

红色的字符描述的就是

入射带电粒子的属性

z描述的是它的电荷数

v是描述的它的速度

蓝色的字符描述的是

作用介质的属性

I描述的是它的平均电离激发能

Z描述的是它的原子序数

N描述的是单位体积的原子数

显然我们会看到这个电离能量损失率

既和入射带电粒子有关系

又和作用介质有关系

它是相互作用的一个结果

另外需要注意的一点是

这里面出现一个质量m0

但是这个m0呢是电子的静止质量

所以这个公式里面

没有显然的出现

入射带电粒子的质量

这个要注意一下

这个就是Bethe公式

这一节的内容就到这里