4.2.6 L系和C系中出射角的关系在线视频

下面我们来介绍一下

实验室坐标系和质心坐标系里面

出射粒子的出射角的对应关系

这个也是理论分析和实验对比

所需要的一个内容

在核反应里面

各个粒子在实验室坐标系

和质心坐标系里面的速度关系

我们分别用下面两个图去表示它

左边这张图表示的是

实验室坐标系里面

它们之间的关系

右边这张图表示的是

质心坐标系里面的关系

质心坐标系里面的物理量

我们用加了'去表示它

当然这个地方v1和v2

分别表示的是

质心坐标系里面的入射粒子

和靶核的速度

我们用下面两张图

分别表示了核反应过程里面

各个粒子在实验室坐标系

和质心坐标系里面的速度关系

这个用图形来表示的

左边的图表示的是

实验室坐标系里面的情况

右边图表示的是

质心坐标系里面的情况

我们先来找一下

出射粒子在实验室坐标系

和质心坐标系里面的速度关系

这个关系根据我们前面的定义

很容易给它找出来

vb就是实验室坐标系里面的速度

等于质心坐标系的速度

加上质心的速度

当然这个质心的速度

是质心相对于实验室坐标系的

一个速度

它们是一个矢量的关系

我们把这个关系

也可以用图形的方式去描述出来

在这个图里面

θC就是这个出射粒子

在质心坐标系里面的出射角

θL就是这个出射粒子

在实验室坐标系里边的出射角

我们在实际测量的情况下

能测到的是θL

那么显然这是一个三角形了

我们已经知道了各个边

已经知道了角度

我们可以写出它们的对应关系来

所以我们可以由这个正弦定理

写出一个关系式来

这个关系式我整理一下

而且定义γ=vC/vb'

可以求出θC=θL+arcsin(γ·sinθL)

这样一个关系式来

也就是说

我只要知道了这个γ的大小

就是vC/vb'的大小

也知道了在实验室坐标系里面的

出射角θL

我就可以求出

它在质心坐标系里面的出射角θC

我们还可以根据

这个图中的速度关系

也就是说在这个

横坐标轴上的投影关系

我们可以写出上面这个式子来

根据这个式子我们还可以写出

θL和θC的关系

前面那个关系

我们重新整理一下

通过这个关系呢

如果已经知道γ的大小

就是vC/vb'的大小

也知道了在质心坐标系里面的

出射角度θC

我就可以求出出射粒子

在实验室坐标系下的出射角度

θL

根据前面

我们已经得到的一些结果

我们可以知道vC可以得到

它和va的关系

我们也知道T'和va的关系

利用这俩关系式呢

我们可以找到

vc和T'的一个关系式

在质心坐标系里面的反应能是Q

我们知道这个反应能

其实和坐标系的选择

是没有关系的

Q我们也可以写出来

按照定义

它是等于反应后的动能

减去反应前的动能

所以质心坐标系里面的核反应能Q

应该等于下面这个表达式

在质心坐标系里面

当然我们知道它的动量是零

反应前的动量是0

反应后的动量是0

所以我们可以找到反应后

两个部分的动量

它的大小是相等的

方向是相反的

利用这两个关系呢

我可以求出vb'

和T'之间的一个关系式

当然这个里面有Q的这个存在

所以我找到了vC

也找到了vb'

vC除以vb'

也就是γ大小

我就可以用上面两个表达式

给它表达出来

所以γ的平方呢

就等于vC除以vb'的平方

就等于后面这个表达式

当然这个表达式

我们可以看出来

它的前面是质量了

后面是和能量相关的

T'是质心坐标系的

相对运动动能

我们就可以得到γ的平方

等于vC/vb'的平方

后面等于这样的一个表达式

前面的部分都是和质量相关的

后面这个地方我们会看到

它是和T'以及Q

相关的一个

它的值的大小

和它们俩是相关的

通常的情况下

我们还是用质量数A代替了m

而且我们说

我们讨论的这个核反应

如果是低能核反应的话

质量数是守恒的

利用这个关系

其实前面那个质量的部分

有一部分是可以约掉的

我们可以得到γ=vC/vb'

后面这个部分就比较少了

下面我们做一点讨论

第一个是对于弹性散射

弹性散射我们知道Q等于0

然后入射粒子和出射粒子相同

靶核和剩余核相同

在这种情况下

γ就应该等于

入射粒子的质量数

比上靶核的质量数

它和入射粒子的能量之间

是没有关系的

有了这样的一个式子

我们就可以求出

弹性散射的情况下

质心坐标系的出射角和

实验室坐标系的

出射角之间的一个关系

就是下面这个表达式

再看弹性散射的两种极端的情况

第一种情况呢

如果靶核比入射粒子要重得多

在这种情况下

我们说γ的话

近似的可以写成是个0

可以看出来这个时候

θC=θL

也就是说

如果入射粒子很轻

靶核很重

在这种情况下

其实实验室坐标系

和质心坐标系的出射角是一回事

很容易理解

因为这个时候

质心其实就是在靶核那个地方

实验室坐标系和质心坐标系本身

也没什么太大的区别了

第二种情况就是入射粒子

和靶核的质量数相等的情况

这个时候显然γ等于1

这种情况下

我们可以求出来θC=2θL

也就是质心坐标系里面的出射角

是实验室坐标系出射角的两倍

这个指的是入射粒子和靶核

完全相同粒子的情况

显然我们可以知道

θC它本身

质心坐标系的出射角是0到π

都可以取值的

但是因为有了上面这个关系

我们会知道

如果入射粒子和靶核

是同一种粒子的话

在这种情况下

散射出来的那个出射粒子

它是不可能

出射角大于π/2的

也就是说你在后面等

是等不到这个出射粒子的

只能在0到π/2的方向

找到出射粒子

因为我们找出射粒子

是在实验室坐标系去找的

我们来看一下

一般情况下

L系和C系它的转换关系

我们先来看γ小于1的情况

γ小于1呢

就是vC小于vb'

我们用右边这张图来描述

它们速度之间的关系

当然包括了出射角的关系

当θC等于0度的时候

显然这个时候

θC等于0度

也就是这条红色的线段

应该是水平的

红色的线段水平呢

我们也可以看到

蓝色的这条线呢

也应该是水平的

这个时候θL也是0度

出射角在实验室坐标系

和质心坐标系

出射角是一样的 都是0度

而且vb等于vb'+vC

这个时候vb是最大的

也就是说

这个方向出射粒子的能量是最高的

当θC等于180度的时候

也就是红色的这条线

运动到另外一边的时候

这个情况下

θL也应该等180度

因为这个蓝色的线也正好和它

从方向上来说是重叠的

这个时候vb这些线段的长度

应该等于vb'-vC

这个时候的vb是最小值

也就是在这个方向

我们可以找到出射粒子的

最低能量

从这张图上我们说

这个蓝色的线和红色的线

相交的这一点

在这个圆周上运动的时候

我们会看出来vb的长度

也就是说这个出射粒子

在实验室坐标系里面的速度

随着这个角度是单调的减少的

也就说

角度越大出射粒子的速度越小

能量就越小

γ越小呢

出射粒子的动能分布就会越平坦

也就是说

γ越小

其实在这个图里面指的是

vC越小

vC越小

这个蓝色的线和红色的线

它差别就会越小

蓝色的线段

在这个θC变化的过程里头

它的长度的变化并不明显

当γ趋于零的时候

我们说几乎看不出来

vb随着这个出射角会发生变化了

这种情况就是我们刚才说的那个

如果靶核很重 入射粒子很轻

这种情况

这两个坐标系

其实几乎是重叠在一块

γ趋向于1的时候

这个时候出射粒子的动能

随角度下降的会最快

θL大角度的时候

vb就趋向于零了

我们再来看

γ大于1的情况

γ大于1

指的就是vc大于vb'

这样的一个情况

在这种情况下

我们说可以得到能量双值

大家是不是还记得

我们前面得到的那个Tb(θ)

那个表达式里面有个加减号

那个加减号对应的其实就是

γ大于1的情况下

它既要取加号 也要取减号

所以是一个方向

对应了两个能量

我们叫能量双值的情况

γ小于1的那个情况

其实是表达式里面

只取加号 减号是取不到的

我们还是用图形的方式去看一下

在这个图形里面

vC大于vb'

在这种情况下我们会看到

对应到某一个θL

它可能会对应两个θC

一个是小角度的θC

一个是大角度的θC

θC虽然并不改变

vb'的大小

但是不同的θC

所对应的vb的大小是不一样的

所以在实验室坐标系里面

某一个θL的方向

我可能会测到两个能量的

出射粒子

也就是两个对应的vb的值

一个是我们说

对应到大的θC的

这样的一个角度所对应的能量

也就是

能量比较小的这样一个数值

一个就是小的θC

所对应的比较大的

那个能量的数值

相对应到前面那个公式里面

分别对应的是那个减号和加号

这个就是能量双值的一个

取得不同的两个值

所以从这个地方我可以看出来

θL的取值范围呢

也有一定的范围

它不可能取到0到π了

它只能取零到θ某一个最大值

某一个最大值θLmax

我用这个去表示它

当θL等于这个角度的时候呢

这个时候其实得到的是一个

能量单值的时候

除了这个能量单值的位置

其他的地方

得到的都是能量双值

而且那个角度比这个角度都要小

这个角度呢

我们也可以直接给它求出来

它是和γ直接相关的一个值

这样的话

其实对于这种γ大于1的情况

我们就可以得到

所谓的一个圆锥效应

也就是出射粒子

只能在某一个圆锥之内出射

它不可能比这个圆锥面还要往外

这种情况我们说

可以得到定向的粒子束

如果γ比1大得多的时候

这种情况下这个出射粒子

是有一个很好的方向性的

我们看一下

出现这个圆锤效应的一个条件

条件其实就是γ大于1

γ我们还可以给它写开

等于后面这个关系式

对于放能反应来说Q>0

Q>0想使得γ<1

其实并不容易

因为这个时候要求

入射粒子和出射粒子

它的质量的乘积

要比这个靶核

和剩余核的质量乘积要大

也就是说你非得用一个很重的核

去打那个比较轻的核

这种情况下

才有可能使得γ>1

对于吸能反应来说Q小于零

我们看这个表达式Q<0

T'+Q

也许就是一个比较小的值

这个比较小的值呢

就有可能会使得T'/(T'+Q)

是一个比1大的多的数值

这种情况下

就比较容易得到γ>1

我们说在入射粒子动能

刚刚超过阈能的时候

也就是T'比Q大不了多少的时候

容易出现这种圆锥效应

但是这种情况下

我们说核反应发生的概率

往往没那么高 比较小

这个是关于这个L系和C系

出射角的一个转化关系

我们说质心坐标系里面

讨论理论分析计算等等

是比较方便的

但是实验室坐标系呢测量

我们测量到的数值

其实都是实验室坐标系的

那这个时候你要想把两个

坐标系里面的物理量进行对比

进行分析的时候呢

就会涉及到

这个坐标系里面

物理量的转换的问题

这一节的内容就到这里