1.1.1 极限问题举例在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课程

微积分MOOC课程

今天我们介绍

第一章 极限

第一节 极限问题举例

极限理论是微积分学的基础

是微积分中研究函数性质

表述基本概念的重要工具

是微积分的基本语言

极限思想在两千多年前就出现了

在春秋战国时期的《庄子·天下篇》中就有

一尺之棰 日取其半 万世不竭

还有在古希腊的阿基米德

求曲边三角形面积的方法

用的就是极限的思想

我国魏晋时期数学家刘徽的割圆术

就是利用圆的内接正多边形的面积

来近似圆的面积

从而得到了圆周率π的近似值

最后刘徽为了说明他的方法是可信的

给出了 割之弥细 所失弥少

割之又割 以至于不可割

则与圆合体 而无所失矣

这种叙述就是较早的朴素的极限定义

在这一讲中

我们将介绍几个与极限有关的具体例子

通过这些例题

我们可以直观的感受到极限反映的现象

可以更好的体会我们将要处理的问题

我们首先看第一个例题

就是关于芝诺悖论与一尺之棰

所谓芝诺悖论就是在古希腊时期

芝诺描述了古希腊运动员阿基里斯

与乌龟之间的一场赛跑

为了显示公平首先允许乌龟先跑一段距离

尽管我们知道阿基里斯获胜是显然的

但是芝诺却给出了

阿基里斯永远也不会超越乌龟的结论

芝诺给出的理由是

阿基里斯为了追上乌龟

他必须先将他与乌龟之间的距离缩短一半

接着阿基里斯又必须将余下的距离再缩短一半

如此等等 无穷反复

因此 阿基里斯必须经过

无穷多个“距离缩短一半”的阶段

才能追上乌龟

而人的一生是有限的

不可能经过无穷多个“距离缩短一半”的过程

所以芝诺就得出了

阿基里斯永远也追不过乌龟的结论

事实上

如果我们假设阿基里斯第一次与乌龟之间

距离缩短一半所用的时间是二分之一个时间单位

那么他第二次缩短他与乌龟之间距离

所用的时间就是二的平方分之一个单位

第n次他与乌龟之间的距离缩短一半

所用的时间

就是二的n次方分之一个时间单位

这样阿基里斯要追上乌龟所用的总时间

就是将这些时间求和

我们就得到总时间T应该等于

二分之一加二的平方分之一

加二的三次方分之一

这样一直加下去

为了说明这个求和的意义

我们回过头来看一下

所谓的一尺之棰 日取其半 万世不竭

从数学上讲怎么来解释

我们假设第一天截掉的长度用L1来表示

那么L1就是二分之一

我们假设前n天截掉的长度用Ln来表示

那么前n天截掉的长度Ln就等于

二分之一加二的平方分之一

一直加到二的n次方分之一

那么我们这样裁下去

一直裁下去裁掉的总长度加起来

应该就等于一尺之棰的长度

也就是一个长度单位

所以二分之一加二的平方分之一

一直加到二的n次方分之一

一直加下去最后应该等于一

我们类似的就可以得到

阿基里斯追上乌龟所用的总时间T

等于二分之一加二的平方分之一

一直加下去也应该等于一个时间单位

因此我们就说明了

阿基里斯要用一个时间单位就能追上乌龟

这是我们要介绍的第一个例题

在这个例题里面

我们就碰到了对无穷多个数求和

一直求下去

这个和越来越接近一个确定的值

也就是我们这个例题中的1

接下来我们来看第二个例题

关于连续复利的问题

假设我们将一万元钱存入银行

银行提供的年利率我们记为为r

按复利计算

一年期满 我们得到的总的钱数是

一加上r也就是本金加利息

如果前6个月的利息我们不取出

将它作为后6个月的本金

那么一年期满后

我们得到的总钱数就应该是

一加二分之r括起来的平方

如果我们将一年分成n个计息周期

并且前面的利息我们都不取出

让它获取新的利息

那么一年期满后

我们得到的总的钱数应该就是

一加n分之r括起来的n次方

如果将分期数n变得越来越大

那么一年期满后

我们得到的总的钱数又将如何变化呢

在下面这个表格中

我们取银行的年利率是百分之五

也就是r等于0.05的情况

如果我们将计息周期数

分别取成十 二十 四十 七十 一百 和二百二

我们就会得到相应的一年期满后总的钱数

从这个表中我们可以看到

如果计息周期的数目n越来越大时

我们一年期满后得到的总钱数

也就是一加n分之r的n次方

也会越来越多

而且这个总钱数会越来越接近一个确定的值

这个确定的值在表中最后就是1.05127

好 接下来我们来看第三个例题

我们来研究一下关于

圆与抛物线在一点的切线问题

在中学平面几何中我们学过

圆在一点的切线就是

垂直于过该点的半径的直线

从图上可以看出

圆心在原点 半径为R的圆

过P0点也就是

(x0, y0) 这一点的半径所在直线的斜率

应该就是y0比上x0

由于两条直线垂直时它们斜率乘积等负一

所以我们就能得到过这点的切线的斜率

是负的x0比上y0

当然这个斜率负的x0比上y0

我们也可以用下面这一个方法求得

我们在圆周上除了P0之外

我们再任取一点P 坐标是(x, y)

因为(x0, y0)和(x, y)都满足圆的方程

所以我们就知道x平方加y的平方等于R方

x0的平方加y0的平方等于R的平方

我们把这两个等式相减整理就会得到

y减y0比上x减x0

等于x加x0比上y加y0的负值

而直线上两点的纵坐标差比上横坐标差

应该就是这条直线的斜率

所以我们就会得到弦P0 P所在直线的斜率

就是x加x0除上y加y0的负值

当P在圆周上越来越接近点P0时

我们就知道它的斜率会越来越接近于

负的x0比上y0

这实际就是圆在P0点的切线的斜率

有了圆的切线斜率之后

我们自然就可以写出这个圆在P0点的切线方程

也就是y减y0等于

负的x0比上y0乘上括号里面x减x0

整理之后我们就得到

x方加y方等于R方这个圆

在(x0, y0)这一点的切线方程是

x乘x0加上y乘y0等于R方

对于抛物线y等于x平方

我们怎么样讨论它在抛物线上的一点

P0处的切线呢

与刚才讨论圆的切线问题一样

我们在抛物线上任取另外一点P

坐标是(x, y)

我们就得到抛物线的一条弦P0P

这条弦的斜率就应该等于

这两点的纵坐标差比上横坐标差

也就是y减y0比上x减x0

因为这两点都在抛物线上

所以这个比值就等于

X平方减x0的平方比上x减x0

也就是等于x加上x0

当P在抛物线上越来越接近P0

也就是x越来越接近x0时

从几何上可以看出

这条弦P0P它的位置

会越来越接近一条直线l

而这条直线l我们就称它为

抛物线在这点的切线

那么弦P0P的斜率

也就是x加x0在这个过程中

会越来越接近于两倍的x0

而两倍的x0就是切线l的斜率

所以这样我们就得到

y等于x平方这条抛物线

在(x0, y0)这点的切线方程是

y减y0等于

两倍的x0乘上

括号里面x减x0

下面我们来看第四个例题

就是如何计算抛物线y等x平方

与直线y等于0也就是x轴

以及直线x等于1

所围成的平面图形的面积

这个问题也就是两千多年之前

阿基米德曾经讨论过的问题

而我们将要介绍的方法

与阿基米德的方法基本上是一致的

请大家看一下图

在这个图上我们将这个曲边三角形的底边

也就是x轴上的0到1区间n等分

相应的分点就是

n分之0 n分之1

一直到n分之n

我们看图中第k个大的矩形

和小的矩形

那么从左边数第k个大矩形的面积

应该就是底边长n分之一

乘上它的高也就是

n分之k括起来的平方

第k个小矩形的面积应该是

它底边长n分之一

乘上它的高也就是

n分之k减1括起来的平方

我们如果记大矩形的面积之和是大写的Sn

小矩形的面积之和是小写的sn

我们就会得到大矩形的面积之和

也就是大写的Sn等于

n的三次方分之一乘上括号里面

1的平方加2的平方

一直加到n的平方

小矩形的面积之和

也就是小写的sn就等于

n的三次方分之一乘上括号里面

0的平方加1的平方

一直加到n减1括起来的平方

根据正整数平方和的求和公式

我们就得到大写的Sn等于

n乘上n+1再乘上两倍的n加1

除上6倍的n的3次方

我们上下同除n的三次方

就会得到大写的Sn就等于

3分之1加上2n分之1

加上6n的平方分之1

类似的我们就可以求出小写的sn就等于

3分之1减掉2n分之1

加上6n的平方分之1

从它们的表达式我们可以看出

当分的份数越来越多

也就是n越来越大时

无论是大的矩形的面积之和

还是小的矩形的面积之和

都会越来越接近一个确定的值3分之1

从图上我们可以看出

曲边三角形的面积

应该介于大的矩形面积之和

和小的矩形面积之和之间

这样我们就得到了曲边三角形的面积

就应该是3分之1

在本讲中我们一共介绍了4个例子

这4个具体例子的背景各不相同

但是在处理的过程中

我们都遇到了在一个过程中

变量越来越接近某个确定的值的问题

对于这类问题的进一步的研究

就导致了极限的概念的建立

在下一讲中我们将介绍

函数在一点极限的概念

好 谢谢同学们

下一讲再见