6.5.4 反常积分(4)在线视频

下面我们来介绍一下

瑕积分的判敛法

关于瑕积分的判敛法

与无穷积分的判敛法

情况是类似的

我们也是只讨论两种简单的情况

第一种情况

就是当被积函数不变号时

我们主要给出比较判敛法

第二种情况

当被积函数正负号改变时

我们给出绝对值判敛法

我们首先看瑕积分的比较判敛法

我们只要能够讨论清楚

被积函数大于0的情况

那么被积函数小于0的情况

类似的可以得到

所以说我们在这总是假设

被积函数是非负的

比较判敛法

它的一般形式

定理12

我们假设

a是函数fx与gx的瑕点

fx gx在区间ab上非负

而且fx小于等于gx

如果对于任意的

介于ab之间的一个实数A

fx gx在区间

A到b上是可积的

那么我们就能得到下面几个结论

第一个结论

如果gx在ab区间上

对应的瑕积分是收敛时

那么fx

在ab区间上对应的瑕积分

也是收敛的

如果fx在ab区间上

对应的瑕积分发散时

那么gx在ab区间上

对应的瑕积分也是发散的

实际上对非负函数来说

比较判敛法

就是说函数值大的瑕积分收敛

那么函数值小的

瑕积分一定收敛

函数值小的瑕积分发散

那么函数值大的瑕积分

就一定发散

由于这个定理的证明

与无穷积分的比较判敛法

它的证明是类似的

用的仍然是单调有界收敛定理

所以说关于它的证明

我们在这不再重复

除了一般形式之外

瑕积分的比较判敛法

也有常用的极限形式

具体内容是定理13

我们假设a是函数

fx与gx的瑕点

fx gx在区间ab上非负

而且对于任意的介于ab之间的

一个实数A来说

fx gx在区间

A到b上总是可积的

如果fx与gx比值

在x大于a趋向a时的极限存在

等于c 或者是说极限不存在

但是正无穷大量

我们就会得到下面三个结论

第一个也就是说

如果比值的极限是大于0的

那么fx和gx

在ab区间上对应的瑕积分

就是同时收敛或者是同时发散

第二个结论

如果fx与gx

这个比值的极限等于0

而且gx在ab区间上

对应的瑕积分收敛

那么fx在ab区间上

对应的瑕积分

也一定收敛

第三个结论

如果比值的极限不存在

但是这个比值是个正无穷大量

如果我们还知道gx

在ab区间上的瑕积分是发散时

我们就会得到fx

在ab区间上对应的瑕积分

也是发散的

关于瑕积分比较判敛法的

极限形式

于我们前面介绍过的

无穷积分比较判敛法的

极限形式的

证明情况是类似的

在这我们也不在重复

最后我们给出

比较判敛法的比阶形式

定理14

我们假设a是函数fx的瑕点

fx在区间ab上非负

而且对于任意的

介于ab之间的实数A来说

fx在区间A到b上是可积的

如果x减A的p次方乘上fx

在x大于a趋向a时的

极限存在等于C

或者是说这个乘积

在这个极限过程下

极限不存在

但它是正无穷大量

那么我们就能得到下面两个结论

如果C是大于等于0小于正无穷

也就是说上面这个乘积的极限

是存在的

如果p是小于1时

我们就知道

fx在ab区间上的瑕积分

是收敛的

第二个结论

如果C是大于0的

也就是说上面

这个乘积在这个极限过程下

极限如果存在

它不要等0

或者说它是正无穷大量

而且这个时候

p又是大于等于1的

我们就能得到fx

对应的瑕积分是发散的

实际上比阶形式

也就是在极限形式中

我们将gx取成了x减a

括起来b次方分之1

根据这个函数在a到b区间上

对应的瑕积分的敛散性

相应的就得到了fx在ab区间上

对应的瑕积分的敛散性结论

下面我们利用比较判敛法

来做两个具体的题目

例5 判别下列

两个瑕积分的敛散性

在第一个瑕积分中

我们知道x等0

是这被积函数的瑕点

而在第二个瑕积分中

x等1是被积函数的瑕点

我们先看第一个瑕积分

因为在x大于0趋向0时

我们知道sinx跟x

是等价无穷小

那么根下sinx与根下x

自然也就是等价无穷小

所以我们就直接取

x的2分之1次方

乘上1除上根下sinx

这表达式在x大于0趋向0时

它的极限是等于1的

而且我们知道根下x分之1

在0到1这个区间上的

瑕积分是收敛的

所以我们就知道

我们要判断的第一个瑕积分

它也是收敛的

对于第二瑕积分

我们用1减x的2分之1次方

与被积函数相乘

利用1减x三次方的因式分解

我们就知道这个表达式

就可以化解为根下x

除上根下1加x

再加上x平方

这个表达式在x小于1

趋向1时的极限

就等于根下3分之1

而且我们也知道

根下1减2分之1

在0到1这个区间上的瑕积分

也是收敛的

这样我们就判断了

我们要考虑的第二个瑕积分

也是收敛的

这个例题中

两个瑕积分的判敛方法

利用的就是瑕积分比较判敛法的

比阶形式进行判别的

能否使用好比阶形式

主要有赖于大家对于一些常用的

等价无穷小的掌握情况

下面我们介绍瑕积分的

绝对值判敛法

同样的我们给出瑕积分绝对数量

和条件收敛的概念

定义4

我们假设a是函数fx的瑕点

如果fx的绝对值在ab区间上

对应的瑕积分是收敛的

那么我们就称fx在ab区间上

对应的瑕积分是绝对收敛的

如果fx在ab区间上

对应的瑕积分是收敛的

但是它的绝对值函数

在ab区间上对应的

瑕积分是发散的

这个时候我们就说

fx在ab区间上的瑕积分

是条件收敛的

瑕积分的条件收敛

和绝对收敛的概念

与无穷积分条件收敛

和绝对收敛的概念

是完全一样的

下面我们给出

绝对值判敛法的内容

定理15

我们假设a是函数fx的瑕点

如果fx的绝对值函数

对应的瑕积分是收敛的

那么fx在相应趋严上

对应的瑕积分就一定是收敛的

也就是说绝对收敛的瑕积分

一定是收敛的瑕积分

这就是绝对值判敛法的内容

关于他的证明

与无穷积分绝对值判敛法的证明

是完全一样的

我们在这也不再累述

接下来我们看第六个例题

我们判断sinx分之1

除上根下x

在0到1这个区间上

这个瑕积分的收敛性

在这个瑕积分中

我们知道被积函数在01区间上

总是变号的

所以我们考虑它的绝对值函数

我们知道sinx分之1的绝对值

除上根下x是

小于等于根下x分之1的

而且我们还知道根下x分之1

在0到1这个区间上

对应的瑕积分是收敛的

所以根据绝对值判敛法

我们就知道我们要考虑的瑕积分

是绝对收敛的

当然 也是收敛的

下面我们来看第七道例题

我们判断下面

这反常积分的收敛性

这个反常积分考虑的是函数lnx

除上1加x方在0到正无穷

这个无穷期间上的情况

我们知道在这个反常积分中

既出现了无穷区间的情况

实际上也出现了瑕点的情况

因为x等0是这个

被积函数的一个瑕点

关于这类问题

我们就给它分作不同的

区间进行讨论

所以这个函数

在0到正无穷上的反常积分

我们就写成

这个函数在0到1区间上的瑕积分

与这个函数在1到

正无穷区间上的无穷积分之和

根据定义只有当这个瑕积分

和无穷积分都收敛时

我们才说我们讨论的反常积分

是收敛的

关于瑕积分我们知道它

之所以无界

实际上主要就是lnx起作用

所以我们就用这被积函数

与lnx做比值

考虑这个比值

在x大于0 趋向0时的极限

这个极限是等1的

而且我们知道lnx

在0到1上的瑕积分

是收敛的

所以我们考虑到

瑕积分也是收敛的

对于第二个无穷积分

我们知道x趋向正无穷时

起主要作用的

应该是分母上这个1加x平方

我们就用x的2分之3次方

与这个被积函数作乘积

大家可以求出来

这个乘积在x区间正无穷时

它的极限是等0的

而且我们知道

x的2分之3次方分之1

在1到正无穷这个区间上的无穷积分

它是收敛的

所以我们要考虑的无穷积分

也就是lnx除上1加x平方

在1到正无穷区间上的无穷积分

也是收敛的

这样我们就得到了

我们要考虑的反常积分

是一个收敛的反常积分

这个例题实际上给出的就是

如果在我们讨论的问题中

既有瑕点 又有区间无穷时

实际上我们就将这个区间

分作几个不同的区间

把它化作是只有瑕点

和只是无穷区间的情况

下面我们看第八道例题

我们定义一个函数

这个函数称作是Γ函数

也就是我们考虑xp减1次方

乘上e的负x次方

在0到正无穷

这个区间上的反常积分

这个反常积分

它如果收敛时

它的值的大小一定是

与参数p有关的

所以可以理解成是

参数p的一个函数

我们求这个函数的定义域

并且求这个函数在

n加1这点的函数值

这n指的是自然数

首先我们来求Γ值的定义域

我们知道如果

p减1大于等于0时

那么我们的被积函数

在0到正无穷上就没有瑕点

我们考虑的反常积分

就是一个无穷积分

对于这个无穷积分

我们将他的被积函数

与x平方分之1做比

也就是考虑x平方

乘上xp减1次方

再乘上1的负x次方

我们考虑这个表达式

在x趋向正无穷时的极限

这个极限是等0的

因为x平方分之1

在0到正无穷

这个区间上的无穷积分

是收敛的

所以我们这被积函数

在1到正无穷

这个区间上的无穷积分

也是收敛的

因为无穷积分的收敛性

与有限区间上的函数值

是没有关系的

所以我们就得到了

我们要考虑的这个被积函数

在0到正无穷

这个区间上的无穷积分

是收敛的

也就是说p减1大于等于0时

这个Γ函数是有定义域的

接下来如果p减1小于0

也就是p小于1时

我们知道0就是

这个被积函数的瑕点

我们将0到正无穷这个区间

处理成0到1区间与1

到正无穷区间

也就是将我们考虑的反常积分

处理成一个瑕积分

与一个无穷积分之和

我们知道后边这个无穷积分

它一定是收敛的

而前面这个瑕积分

大家可以看e的负x次方

在x趋向0时极限是1

所以说这个瑕积分是否收敛

主要是看1减p是否小于1

也就是说1减p如果小于1

也就是p大于0时

第一个瑕积分是收敛的

同时第二个无穷积分也是收敛的

也就是说这个时候

我们考虑的反常积分是收敛的

Γ函数是有定义域的

这样我们就得到了

Γ函数的定义域

就是p大于0

也就是写成区间的形式

就是0到正无穷

接下来我们来求Γ函数

在n加1这点的函数值

根据Γ函数的定义

我们要求的函数值

也就是x的n次方

乘上e的负x次方

在0到正无穷这个区间上的

反常积分的积分值

我们用分布积分公式

将这个反常积分

表示成两部分之和

在第一部分中

这个函数在x区间

正无穷时的极限

是等0的

在x取0时的函数值也是等0的

所以第一部分是等于0的

这样就把我们的Γ

在n加1这点的函数值

与Γ在n这点的函数值

联系起来了

实际上我们就得到了Γ函数

函数值的一个简单的递推公式

我们反复的运用这个递推公式

就会得到Γ函数

在n加1这点的函数值

就等于n的阶乘再乘上Γ函数

在1这点的函数值

Γ函数在1这点的函数值

也就等于1的负x次方

在0到正无穷这个区间上

反常积分的积分值

我们利用反常积分积分值的定义

就会求出这个积分值是等1的

所以我们就求出了Γ函数

在n加1这点的函数值

就等于n的阶乘

这实际上是

这个特殊函数的一个简单性质

接下来我们看第九道例题

我们定义另外一个函数

这个函数叫β函数

也就是定义x的p减1次方

乘上1减x的q减1次方

在0到1这个区间上的

反常积分值

是β函数在pq这点的函数值

我们求这个函数它的定义域

也就是求当参数p和q

它的取值范围是什么时

这个反常积分是收敛的

我们知道x等0和x等1

都可能是这个被积函数的瑕点

所以我们就把0到1

区间上的反常积分

表示成0到

2分之1区间上的瑕积分

与2分之1到1区间上的

瑕积分之和

对第一个瑕积分来说

它是否收敛

我们主要关心就是

x的1减p次方

这个1减p是否小于1

而对第二个瑕积分来说

这个瑕积分是否收敛

我们关心的主要就是

1减x的1减q次方

这个指数1减q是否小于1

对于这两个瑕积分来说

因为x的1减p次方

乘上被积函数

在x大于0趋向0时

它的极限等于1

而1减x的1减q次方

乘上被积函数

在x小于1趋向1时的极限是1

所以第一个瑕积分

就与x的1减p次方分之1

对应的瑕积分

它的敛散性是一致的

而第二个瑕积分

就与1减x括起来

1减q次方分之1

它对应的瑕积分收敛性是一致的

也就是说当1减p小于1

和1减q小于1

也就是p大于0

而且q大于0时

我们考虑的两个瑕积分

都是收敛的

这样我们就知道

我们考虑的

β函数对应的反常积分

在p大于0 而且q大于0时

它是收敛的

所以β函数的定义域

就是p大于0和q大于0

在这一讲中

我们给出了函数瑕点的定义

并介绍了当瑕点是区间端点

或区间内点时

瑕积分收敛发散的概念

瑕积分就是变限定积分函数

在积分限趋向于瑕点时的

单侧极限

从形势上看

瑕积分与定积分的记号相同

但是我们知道定积分的被积函数

只能是有界函数

瑕积分的判敛法

与无穷积分的判敛法类似

有助于两着之间的区别于联系

我们知道反常积分

具有非常广泛的应用

像我们介绍的Γ函数和β函数

就是由反常积分得到的

两个重要函数

反常积分的内容非常丰富

但是在我们的课程中

我们只是介绍了

反常积分的基本概念

和最基本的判敛法

如果需要时

大家可以翻阅一般的

数学分析教材

本章介绍了换元积分法

分布积分法

有理函数和三角有理式的积分

定积分的应用举例

无穷积分和瑕积分等内容

到此我们就将

一元函数积分学的内容

全部介绍完了

从下一讲开始

我们将学习微积分中的

一个全新内容

这就是无穷级数

谢谢同学们

下一讲 再见