4.7.1 函数的凸性和拐点(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第四章

微分中值定理和导数的应用

第七节

曲线的凸性和拐点

前面我们研究了函数的单调性

我们知道

即使同样都是上升的曲线弧

它们也可以有不同的弯曲状况

在我们画的这个图中

弧段ACB是向上弯曲的

而弧段ADB却是向下弯曲的

本讲主要研究曲线的弯曲状况

我们将给出

刻画曲线的性态的相关概念

也就是要介绍曲线的凸性

曲线的拐点

并介绍判断曲线凸性

和求曲线拐点的一般方法

我们首先看下面两张图

在第一个图中

我们考虑的曲线段上两点A B

连接他们之间的弦

这条弦总在曲线段的上方

而在第二个图中

我们连接曲线段上两点间的弦

情况则正好是相反的

曲线段总是在弦的上方

曲线的这种性质

就是曲线的凸性

我们为了刻画曲线段的这种性质

我们引进一个函数凸性的定义

定义2

我们假设函数f(x)

在区间(a,b)上有定义

如果对于区间内的任意两点

x1和x2以及任意的一个

介于0到1之间的实数α

我们都有函数f(x)

在α乘上x1加上

1减α倍的x2这点的函数值

是小于等于α乘上f(x1)

再加上1减α倍的f(x2)

如果这个不等式总是成立的

我们就称函数f(x)

在这个区间内是下凸的

相应的区间(a,b)

就称为函数f(x)的下凸区间

在这个定义中

不等式反映的是

对同一点来说

曲线段上这一点的纵坐标

是小于等于A B两点

连线上相应点的纵坐标

类似的我们可以给出函数

在一个区间上上凸的定义

也就是对于区间(a,b)中的

任意两点x1 x2

以及任意的介于

0到1之间的实数α

如果函数f(x)

在α乘上x1加上

1减α倍的x2这点的函数值

总是大于等于α倍的f(x1)

加上1减α倍的f(x2)

那么我们就说函数f(x)

在区间(a,b)内是上凸的

相应的区间(a,b)也就称为

函数f(x)的上凸区间

关于函数在一个区间内

下凸或者是上凸

我们有下面的一些进一步的推广

如果函数f(x)

在区间(a,b)内是下凸函数

相应的我们就称曲线y等f(x)

是区间(a,b)内的下凸曲线

这样由函数的凸性

我们就相应的得到了

曲线的凸性

另外我们可以证明

如果函数f(x)在区间上

是下凸函数

那么函数f(x)在区间上

就一定是连续函数

当然相应的

如果f(x)在区间上

是上凸函数

那么他也是

这个区间上的连续函数

所以在一些教材上

介绍凸性的时候

往往就说假设函数是连续函数

如果他满足什么

他就把他称为是下凸的

或者是上凸的

也就是我们讨论函数凸性时

只有连续函数才可能有这种性质

另外在函数凸性的定义中

我们考虑的只是

区间中任意两点怎么样

实际上我们可以把这个性质

推广到下面这个形式

也就是对区间(a,b)内的

任意n个点x1 x2一直到xn

以及任意的n个非负实数

α1 α2一直到αn

这n个实数他满足

他们的和是等于1的

那么我们就有下面这个不等式成立

也就是函数f(x)

在α1乘上x1

一直加到αn乘上xn

这一点的函数值

是小于等于α1乘上f(x1)

一直加到αn乘上f(xn)

这实际是下凸函数

它的一个性质

相应的

如果我们把这里的不等号反过来

那就是上凸函数的一个相应性质

下面我们用定义

来证明一个简单函数的凸性

例1

用定义证明函数f(x)等于x平方

是下凸函数

我们当然是要证明这个函数

在他的整个定义域

负无穷到正无穷上是下凸函数

根据下凸函数的定义

我们假设α β

是两个非负的实数

而且他们的和等于1

为了证明我们的结论

我们要证这个题目中的结论

也就是要证函数f(x)

在α乘上x1加上

β乘上x2这点的值

小于等于他在x1这点的值乘上α

再加上他在x2这点的值乘上β

因为x的平方在α乘上x1

加上β乘上x2这点的值

也就是α乘上x1

加上β乘上x2的平方

我们利用两数和的平方公式

给他展开

我们就相应的得到了

他就等于αx1的平方

再加上2倍的αβ再乘上x1x2

再加上β乘x2的平方

我们利用均值不等式

将两倍的x1x2放大到

x1的平方加x2的平方

我们将x1的平方

和x2的平方进行合并

我们就得到下面这个表达式

也就是α乘α加β再乘上x1的平方

再加上β乘上

α加β在乘上x2的平方

因为α加β等于1

相应的我们就得到这个表达式的值

就是下面这个表达式的值

也就是α乘上x1的平方

加上β乘上x2的平方

这正好是x的平方这个函数

在x1这点的函数值乘上α

再加上他在x2这点的值乘上β

这就是我们要证的函数不等式

所以这样我们就用定义证明了

x平方这个函数

在负无穷到正无穷上是一个下凸函数

从这道例题的证明过程

我们可以看出

如果仅仅利用下凸函数

或是上凸函数的定义

来讨论一个函数的凸性

应该是非常困难的

那我们有没有更方便的办法

来判定函数是下凸函数

还是上凸函数呢

如果函数存在二阶导数

那么我们就有一个非常方便的

判别方法

如果函数f(x)

在区间(a,b)内具有二阶导数

那么我们就可以利用

二阶导数的正负号

来判定函数的凸性

这就是下面的定理

定理10

我们假设函数f(x)

在区间(a,b)内具有二阶导数

如果在区间(a,b)内

函数f(x)的二阶导数总是大于0的

那么函数f(x)

在区间(a,b)内就是下凸函数

如果在区间(a,b)内

函数f(x)的二阶导数总是小于0的

那么函数f(x)

在区间(a,b)内就是上凸函数

有了这个定理之后

我们利用函数二阶导数的正负号

就可以很容易的得到

函数在相应区间上的凸性结论

有了函数凸性的概念之后

我们知道

我们也就有了

曲线的凸性的结论

在函数的图像上

有一些点具有某种特殊性

也就是说在这些点的两侧

曲线它的凸性是不同的

这样的点

我们就定义成函数的拐点

这就是定义3

我们假设M

是曲线y=f(x)上的一点

如果曲线在点M的两侧

具有不同的凸性

那么点M就称为曲线

y等f(x)的拐点

在前面对于函数

我们曾经定义过函数的极值点

也给出过函数驻点的定义

我们知道

无论是函数的极值点还是驻点

都是指的x轴上的点

在这儿我们定义的拐点

指的是曲线的拐点

所以说曲线的拐点

是位于曲线上的点

下面我们给出函数拐点

满足的一个必要条件

这就是定理11

如果函数f(x)

在x0的某个邻域内

具有二阶导数

且(x0,f(x0))这个点是曲线

y等f(x)的拐点

那么函数f(x)

在x0这点的二阶导数就等于0

也就是说

对于二阶导数存在的函数来说

一个点要想成为它的图像上的拐点

那么在这一点的

二阶导数值必须为0

当然二阶导数为0

仅仅是拐点的必要条件

比如我们熟悉的

y等于x4次方这个函数

我们知道它的二阶导数

也就是12倍的x的平方

他总是大于等于0的

这说明函数y等于x的4次方

在负无穷到正无穷内

都是下凸的

所以说尽管二阶导数

在0这一点的值等于0

但是原点并不是这条曲线的拐点

那对一个点来说

我们怎么样判断这个点

是不是这条曲线的拐点

我们有下面的判定方法

定理12

我们假设函数f(x)

在x0的某个邻域内具有二阶导数

而且他在这点的二阶导数等于0

如果二阶导数

在x0的左右两侧是异号的

那么(x0,f(x0))就是曲线

y等f(x)的拐点

如果二阶导数

在x0的左右两侧是同号的

那么(x0,f(x0))就不是曲线

y等f(x)的拐点

事实上如果函数

在一点的二阶导数不存在

但他在这一点是连续的

那么这样的点(x0,f(x0))

也可能是曲线y等f(x)的拐点

也就是说一个点是不是

一条曲线的拐点

我们关心的主要是

在这个两点的左右两侧

曲线的凸性是否不同

对于函数来说

也就是在他们二阶导数存在时

我们主要关心的是

在这一点的两侧

它的二阶导数是否是异号

我们将判断函数的凸性

和求曲线的拐点

它的一般方法总结如下

第一步

首先确定

我们要考虑的问题的范围

也就是要确定

函数的定义域

第二步

我们求二阶导函数

并找出定义域中

二阶导数等于0的点

以及二阶导数不存在的点

这些分界点就将函数的定义域

分成了若干个小区间

第三步

我们一般是列表

由二阶导数在分界点两侧的

正负号来判别曲线它的凸性

以及判断相应的分界点

是否是曲线的拐点

在这一讲中

我们介绍了

函数下凸 上凸的概念

给出了曲线下凸 上凸

和曲线拐点的定义

通过学习我们要掌握

利用二阶导数判断曲线凸性

和求曲线拐点的常用方法

要了解下凸或者上凸函数

它的连续性

并能将定义中的凸性不等式

从两个点的形式

推广到任意有限个点的形式

下一讲将通过例题

展示函数凸性的判别法

和曲线拐点的求法

谢谢同学们

下一讲 再见