2.1.3 间断点的分类在线视频

同学们 大家好

欢迎来到

大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第二章

连续函数

第一节

连续函数的概念3

在前面

我们介绍了函数在一点的连续性结论

我们知道

函数在一点连续

指的就是

它在这一点的极限值

等于函数值

函数在一点不连续时

它在这一点的

附近

函数值的变化情况

应该是多种多样的

为了区分

不同的间断点

我们根据

函数在一点发生间断的原因

在这一讲中

将介绍

函数间断点的分类情况

三 函数的间断点

及其分类

如果函数f(x)

在x0点处

不连续

我们就称

x0是f(x)的间断点

我们根据

函数在间断点

它的左右极限的情况

来对间断点进行分类

我们写成一个定义

如果

函数f(x)

在点x0处

它的左极限

和右极限都存在

但是

函数不连续

我们就称

xo是f(x)的第一类间断点

如果

函数f(x)在x0点的左极限

和右极限中

至少

有一个不存在

我们就称

xo是f(x)的第二类间断点

在第一类间断点中

我们知道

函数的左右极限

都是存在的

如果

左极限值

与右极限值

还是相等的

我们就称

这样的第一类间断点

是

函数的可去性间断点

或者是

简称为

可去间断点

在我们前面考虑的函数中

比如

sin x除上x

在x等于0这点

我们知道

它的极限

是等于1的

那么

x等于0

就是

这个函数的可去间断点

再比如

函数f(x)等于x方减1

除上x减1

这个函数

在x等于1是没定义的

所以

x等于1是它的间断点

但是

这个函数

大家可以知道

它在1这点的极限是存在的

而且

极限值应该是2

所以

x等于1

就是这个函数的可去间断点

所谓

可去间断点

指的是

如果

我们将函数

在这点的函数值

就定义成

它在这点的极限值时

那么

函数

在这点

就变成一个新的连续函数

直观的讲

可去间断点

是可以通过

重新定义

函数在一点的值

给它去掉的

在第一类间断点中

如果

左右极限值不相等时

这样的间断点

我们又称为是

函数的跳跃性间断点

简称为跳跃间断点

比如

x等于0

就是符号函数

它的跳跃间断点

因为符号函数

指的是

x大于0时函数值等于1

而x小于0时

函数值等于负1的

这样的函数

通过前面的讨论

我们知道

任何一个整数

都是取整函数的跳跃性间断点

下面

我们看几道

具体的题目

例1

如果函数f(x)是一个分段函数

它在x小于0时的函数值

就等于x平方加1

在x大于0时的函数值

就等于x减1

在0这点的函数值

等于0

我们来判断一下

这个函数

在x等于0处的连续性

如果不连续时

我们来说

x等于0

是它的一个

什么类型的间断点

根据

这个函数的定义

我们知道

f(x)在0这点的左极限

就等于x方加1的左极限

也就等于1

而这个函数

在0这点的右极限

就等于

x减1在这点的右极限

应该等负1

也就是说

这个函数

在x等于0这点

它既不是左连续的

也不是右连续的

所以x0

是它的一个间断点

因为

函数f(x)在x等于0这点的左极限

和右极限都存在

只是

它的值不相等

所以

x等于0

就是f(x)的跳跃间断点

我们看

第二道例题

我们假设

f(x)在x不等于0时的值

就是e的x分之一次方

在x等于0这点的值

定义为0

我们判断一下

f(x)在x等于0这点的连续性

如果不连续

我们来说明x等于0

是这个函数的

什么类型的间断点

对这个函数

我们知道

它在0这点的左极限

应该等于0

而它在0这点的值

也等于0

所以

这个函数

在x等于0处

是左连续的

而这个函数

在0这点的右极限

我们知道

并不存在

因为在

x大于0趋向于0时

它应该是一个

正无穷大量

所以

这个函数

在x等于0处

并不连续

因为

它在0这点的右极限并不存在

所以

x等于0

就是这个函数的第二类间断点

我们来看

第三道例题

我们假设

f(x)就等于

x乘上括号里面x减1

作为分子

分母是

x的绝对值再乘上括号里面

x次方减1

对这个函数

我们要找出

它没有定义的点

并说明

这些点

是它的

什么类型的间断点

我们根据

函数f(x)的表达式

我们知道

f(x)没有定义的点

也就是指的

分式上分母等于0的点

对于

它在x等于0

x等正1

和x等负1这三点

都是没有定义的

在x等0这点

因为

这个函数的右极限

等于1

而它的左极限等于负1

所以

x等0

就是这个函数的第一类间断点

是第一类间断点中的

跳跃间断点

在x等于1这点

因为它的右极限

等于二分之一

左极限

也等二分之一

所以

x等1

就是f(x)的第一类间断点

具体的说

是第一类中的

可去间断点

在x等负1这点处

因为

f(x)的右极限并不存在

这时

它是负无穷大量

同时

它在这一点的左极限也不存在

这个时候它是正无穷大量

所以

x等负1

就是

f(x)的第二类间断点

下面

我们看第四道例题

我们假设

函数f(x)就等于x除上tan x

我们找出

函数f(x)没有定义的点

并且要说明

这些点

是f(x)的什么类型的间断点

对于这个函数来说

它没有定义的点

是指的

x的正切等于0的点

以及

正切

本身没有定义的点

所以

f(x)没有定义的点

就是x等于nπ

或者是

x等于nπ加二分之π

其中

n是整数

我们首先看一下

在x等0这点

因为

x趋向0时

x除上tan x极限是1

所以

x等0这点

就是函数的第一类间断点

是第一类中的

可去间断点

我们再来看

在x等于n π

这种n不等于0的情况

因为这时

x趋向nπ时tan x的极限

是等于0的

而分子

x

它并不趋向于0

所以

f(x)在x趋向于nπ时

它的极限

并不存在

它是无穷大量

也就是说

只要n不等于0

那么

x等于nπ

就是函数的

第二类间断点

最后

我们来看一下

在x等于nπ加二分之π的情况

这个时候

tan x在x趋向nπ加二分之π时

是无穷大量

而x它趋向于nπ加二分之π

所以

f(x)

在x趋向nπ加二分之π时的极限

等于0

也就是说

x等于nπ加二分之π

应该是

f(x)的第一类间断点

是第一类间断点中的

可去间断点

我们下面看

第5道例题

我们假设

函数g(x)

是x 2n次方减1

除上x 2n次方加1

再乘上x

在n趋向无穷时的极限

我们求g(x)的表达式

并判断

x等于正负1

是g(x)的什么类型的间断点

在这个函数中

我们的运算

除了我们熟悉的

加减乘除之外

还包括

我们前面介绍的

极限运算

利用极限来表示函数

也是我们

在微积分中

经常会碰到的情况

首先

我们来看x等正负1时

这个时候

我们可以求得

g(x)它的值就等于0

在x绝对值小于1时

因为

x的n次方的极限等于0

所以

这个时候

g(x)求出来应该就是负的x

而在x绝对值大于1时

因为

x分之一的绝对值是小于1的

所以

这个时候

我们可以求出

g(x)的值就等于x

这样

我们知道

g(x)就是一个分段函数

它在x绝对值大于1时

函数值就等x

x绝对值小于1时

函数值就等于负x

而在

x等正负1时的函数值

都等于0

因为

g(x)在负1这点的左极限

也就是

x在负1这点的左极限

等于负1

g(x)在负1这点的右极限

实际上是

负x在负1这点的右极限

它应该等于正1

所以

x等于负1

就是函数

g(x)的跳跃间断点

又因为g(x)

在 1这点的左极限

是等于负1的

它在1这点的右极限

是等于正1的

所以

x等于1

也是

g(x)的跳跃间断点

在这一讲中

我们介绍了

函数间断点的分类

通过间断点的类型

我们大致可以了解

函数发生间断的原因

一般的说

间断点

往往就是函数没有定义的点

或者是

在这一点

我们单独给出了

函数值的定义

在下一讲中

我们将介绍

连续函数的运算性质

和

初等函数的连续性结论

谢谢同学们

下一讲

再见