8.2.1 一阶线性微分方程(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第八章

常微分方程

第二节 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程

是一类特殊而且重要的微分方程

本讲将介绍一阶线性微分方程

解的性质和解的结构

介绍一阶线性微分方程的

求解方法

首先我们介绍一下

一阶线性微分方程的有关概念

定义2我们将ax乘上y′

加上bx乘上y等于cx

就将这样的一阶微分方程

称为是一阶线性微分方程

在我们考虑的

一阶线性微分方程中

我们要求ax bx和cx

都是x的连续函数

如果我们将一阶线性微分方程

y′前面的系数变成1

这就是一阶线性微分方程的

标准形式

一般的表示成y′加上px乘上y

等于qx

在这个方程中qx

我们称作是

一阶线性微分方程的自由项

如果qx恒等于0

这样的一阶线性微分方程

就称为是一阶齐次线性微分方程

如果qx不恒为0

这样的一阶线性微分方程

就称作是

一阶非齐次线性微分方程

关于一阶线性微分方程

我们首先来讨论一下

它解的有关性质

首先给出

一阶齐次线性微分方程解的性质

也就是一阶其次线性微分方程

解的叠加原理

定理1

我们假设函数y1x y2x

是一阶其次线性微分方程

y′加上px乘上y等于0

它的两个解

αβ是两个任意的实数

那么函数α乘上y1x

加上β乘上y2x

也是这个齐次方程的解

这个定理的证明

只要用方程解的定义

和导数的线性运算性质

就可以得出

下面我们写出证明过程

我们知道y1x y2x

是齐次方程的解

所以y1′加上px乘上y1等于0

y2′加上px乘上y2也等于0

我们为了验证αy1加上βy2

也是这个方程的解

也就是要验证

αy1加上βy2的导数

加上px再乘上括号里面αy1

加上βy2是否等于0

我们利用导数的线性运算性质

我们可以将这个表达式

表示成α倍的

括号里面y1的导数

加上px乘上y1

再加上β乘上

括号里面y2的导数

加上px乘上y2

根据y1 y2满足的条件

我们就知道这个表达式

它是等于0的

这也就说明了

函数αy1加上βy2

就是齐次方程y′

加上px乘上y

等于0的解

这就是我们要证明的

一阶其次线性微分方程

解的叠加原理

关于这个结论

我们还需要做一点说明

我们将方程y′

加上px加y等于0

称为是线性微分方程

一方面这样是因为

方程中出现的未知函数

及其导数都是一次的

另一方面更是因为这类方程的解

经过加法运算和数乘运算之后

得到的函数仍然是它的解

而加法运算和数乘运算

就是我们平时所说的线性运算

下面我们来介绍

一阶非齐次线性微分方程

解的叠加原理

定理2

如果函数y1x y2x

是一阶非其次线性微分方程

y′加上px乘上y

等于qx的两个解

α β是两个任意实数

那么函数αy1加上βy2

就是下面这个线性微分方程的解

这个方程左端就是

y′加上px乘上y

自由项也就是右端

就是括号里面α加β

再乘上qx

特别的如果我们取

α等1 β等负1

它就说明y1x减去y2x

应该就是原来这个非齐次方程

对应的齐次方程

y′加上px乘上y等于0的解

这就是一阶非其次线性微分方程

解的叠加压力

关于这个定理的证明

与其次线性微分方程

解的叠加原理的证明是类似的

下面我们写出证明过程

因为y1y2是非齐次方程的解

所以y1y2都满足

这个非齐次方程

同样的我们利用

导数的线性运算性质

就可以知道

αy1加上βy2的导数

加上px乘上αy1加上βy2

最后也就写成了

α乘上括号里面y1的导数

加上px乘上y1

再加上β乘上括号里面

y2的导数

加上px乘上y2

因为y1和y2

是满足非齐次方程的

所以这个表达式

也就等于αqx加上βqx

也就等于α加β再乘上qx

这说明我们的

αy1x加上βy2x

就满足下面这个线性微分方程

也就是下面这个微分方程的解

通过证明

我们可以进一步体会到

非齐次方程解的叠加原理

它说明了非齐次方程的解

和与它对应的

齐次方程的解之间的关系

这样我们就可以利用

齐次微分方程的解

来研究非齐次微分方程的解

下面我们来介绍

一阶线性微分方程的求解方法

首先介绍

一阶齐次线性微分方程的解法

我们知道一阶其次线性微分方程

y′加上px乘上y等于0

它实际上是一个变量分离方程

我们利用变量

分离方程的求解方法

就可以求出它的通解表达式

是y等于C乘上

e的负px的原函数次方

这就是这个

齐次方程的通解表达式

在这个表达式中C是任意常数

Px dx只表示的只是

px的一个原函数

有时候我们也可以

将齐次方程的通解

表示成C乘上e的负pt

从x0到x做积分

这是它的方次

这是在讨论这个解的有关性质时

我们经常用的一种表现形式

这样表示出来

我们自然知道指数上

表示的只是px的

一个具体的原函数

我们从齐次方程通解形式

还可以看出

一阶齐心现行微分方程

它的通解实际上

就等于它的一个非零解

与任意常数的乘积

所以在求解

一阶齐次线性微分方程时

只要能够得到它的一个非零解

也就得到了它的一个通解

下面我们再来介绍

一阶非其次线性微分方程的解法

我们介绍它最常用的一种解法

也就是变动任意常数法

对于一阶非其次线性微分方程

y′加上px乘上y等于qx

我们先求解它对应的齐次方程

假设vx就是它对应的

齐次方程的一个非零解

我们令y等于cx乘上vx

是非齐次方程的一个解

在这特别要强调的是

cx是一个x的可导函数

如果我们把非齐次方程的解

假设为这种形式

我们求y的一阶导数

我们将y等于Cx乘上vx

以及y的一阶导数

等于C′x乘上vx

加上Cx乘上v′x

代入这个非齐次方程

我们就会得到C′x乘上vx

加上Cx乘上括号里面v′x

加上px乘上vx就等于qx

我们注意到

vx是对应的齐次方程的解

所以这个方程就进一步

变为是C′x乘上vx等于qx

这样我们就利用qx和vx

表示出了C′x

我们做积分就会得到

Cx就等于积分常数C1

加上qx比上vx的一个愿函数

有了Cx的表达式之后

那么我们就可以得到我们要求的

非齐次方程的通解

就是Cx再乘上vx

如果我们将vx

就取作是e的负的pxdx次方

那么我们的Cx就相应的

可以用qx和px表示出来

所以这个时候我们就会得到

这个一阶非其次线性方程

它的通解

就是y等于e的负pxdx次方

再乘上括号里面常数C

加上qx乘上e的pxdx

它的一个原函数

在这个通解表达式中

我们牵扯到的函数px qx

都是我们的非齐次方程中

已经给出的一致函数

所以这是我们在求解

一阶非其次线性方程时

经常用的一个通解表达式

需要强调的是

在这个通解表达式中

所有的积分符号

表示的都是被积函数

它的一个原函数

关于这个求解方法

以及这个通解形式

我们需要做下面两点说明

第一点说明

我们这种求解

一阶非其次线性微分方程的方法

就是将它对应的

齐次方程的通解的表达式中

常数C看作是变量Cx

因此我们这种求解方程的方法

就称为是变动任意常数法

需要说明的第二点

从非齐次方程的通解形式

也就是y等于

C乘上e的负pxdx次方

加上e的负pxdx次方

再乘上qx乘上e的pxdx次方

它的一个原函数

从这个形式我们可以看出

一阶非其次线性微分方程的通解

是等于它对应的齐次方程的通解

和非齐次方程的一个特解之和

也就是在上面这个表达式中

第一部分是

对应的齐次方程的通解

而第二部分表示的是

这个非齐次方程的一个特解

在这一讲中我们介绍了

一阶线性微分方程的概念

介绍了其次线性微分方程

和非其次线性微分方程

解的叠加原理

介绍了

求解非其次线性微分方程的

变动任意常数法

其次线性方程解的叠加原理说明

它的解集合是一个线性空间

由它的通解形式可以看出

一阶其次线性方程的解集合

是一个一维的线性空间

所以只要得到了

它的一个非零解

也就得到了它的通解

根据非其次线性方程

解的叠加原理

我们知道它对应的

齐次方程的同解

加上它的一个特解

就构成了它的通解

变动任意常数法

不仅是求解

一阶非其次线性微分方程的

一般方法

也是求解

高阶非其次线性微分方程的

常用方法

下一讲将介绍几个

线性微分方程的具体例子

谢谢同学们

下一讲 再见