6.3.1 有理函数的积分法(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第三节有理函数的积分法

本讲将介绍

一类特殊函数的积分问题

这就是有理函数

也就是多项式之比的积分问题

首先我们来看一下

有理函数的积分

我们先介绍几个概念

我们假设Pnx与Qmx

分别表示的是n次和m次多项式

我们就称Qmx除上Pnx

是一个有理函数

也就是说有理函数指的就是

多项式函数之比

如果分子的次数M

小于分母的次数N

那么这样的有理函数

我们又称为是真分式

如果分子的次数M

不小于分母的次数时

这样的有理函数

我们就称为是假分式

特别的对于下面

这四个特殊的有理函数

也就是A除上ax加b

A除上ax加b括起来的k次方

Bx加C除上px方加qx加r

Bx加C除上px平方

加qx加r扩起来的k次方

这四个特殊的有理函数

我们就称为是最简分式

有时候也称他们是部分分式

这是我们需要了解的

关于有理函数的几个基本概念

下面我们再给出一个常用的结论

也就是定理6

任意一个假分式

都可以表示成一个多项式

与一个真分式之和

具体的表示方法实际上用的

就是多项式的除法

我们假设m是大于等于n的

那么这个假分式Qmx除上Pnx

它就可以写成是一个多项式

Sx再加上一个真分式

我们表示成是Rx除上Pnx

在这Sx一般

是称为这个比的整式部分

而Rx则称为是他的余式部分

如果一个假分式

表现成了这个形式

那么这个假分式的积分

就可以写成是多项式的积分

再加上一个真分式的积分

多项式的积分是没有问题的

它用的主要就是

幂函数的原函数

这样我们知道

所谓的有理函数的积分

也就转化成了真分式的积分

下面我们主要来讨论

如何求真分式的原函数

我们先看几种特殊的情况

第一种情况我们考虑

分母是一次重因式的

真分式的积分法

我们通过一道具体的例子

来解释一下这种情况的

一般的积分方法

我们求5倍的x平方加3

除上x加2括起来3次方

它的原函数

或者是求它的不定积分

这就是一个分母

是一次重因式的

真分式作为被积函数

对这样的被积函数

我们根据它分母的形式

我们就可以将这个被积函数

表示成是3个最简分式的和

也就是表示成A除上x加2

再加上B除上x加2的平方

最后再加上C除上

x加2括起来的3次方

我们对这个等式的右端通分

就会得到

右端就变成了

A乘上x加2括起来平方

加上B乘上x加2再加上C

再除上x加2括起来的三次方

在这个等式的最左端和最右端

分母是相同的

所以分子应该相等

我们知道多项式相等

它的充分必要条件是

对应项系数相等

利用分子的对应项系数相等

我们就得到了ABC三个待定系数

满足的一次方程组

我们求解这个一次方程组

就得到了A等于5

B等于负20 C等于23

这样我们就将被积函数

表示成了三个具体的

最简分式之和

所以我们要求的

不定积分就变成了

这三个最简分式的

不定积分做加减

第一个它的原函数

是5倍的lnx加2

第二个它的原函数

应该就是20除上x加2

这用的是x方分之1的原函数

是负的x分之1这个公式

第三个它的原函数是

负的23再除上

2倍的x加2括起来平方

这实际上也是

一个简单幂函数的

原函数公式

这样我们就求出了

我们要求的不定积分

这就是我们要介绍的

第一种特殊情况

也就是当真分式的分母

是一个一次项k次方的形式

这个时候这个真分式

我们一般的

可以分解成下面这k项之和

这k项分别是A1除上ax加b

加上A2除上ax加b的平方

一直加到Ak除上ax加b的K次方

这里A1 A2 Ak是待定系数

我们通过通分

并且比较分子对象的系数相等

得到待定系数满足的一次方程组

就可以把待定系数求出来

下面我们看第二种特殊情况

也就是分母是不同的

一次因式的乘积的

这样的真分式 它的积分法

我们看一般的情况

我们假设我们考虑的不定积分

被积函数是cx加d

除上x减a再乘上x减b

对于这样的被积函数

我们可以将它表示成A除上x减a

加上B除上x减b

也就是将它表示成了

两个最简分数之和

这大写的AB是待定系数

同样

我们将等式的右端进行通分

并且比较等式的最左端

和最右端分子的对应项系数

我们就会得到待定系数A B

满足的一次方程组

这样就可以求出待定系数的值

也就是把这样的被积函数

它的不定积分问题

转化成了两个最简单的

最简分式的不定积分问题

这就是这种情况

我们一般的处理方法

我们看一个具体的问题

我们求x减2除上x减3乘上x减5

它的不定积分

我们直接把被积函数

表示成A除上x减3

加上B除上x减5之和

我们通分

并且比较等式的

最左端和最右端

x 它的系数和

常数项它们的关系

就会得到待定系数

A B满足的方程组

也就是A加B等于1

5倍的A加3倍的B等2

这样我们就会解得

A等负2分之1 B等2分之3

所以我们的被积函数

就写成了两个具体的

最简分式之和

那么我们要求的不定积分

也就变成了这两个

最简分式的不定积分

这样求得最后的结果是

负的2分之1倍的lnX减3绝对值

再加上2分之3倍的lnX减5绝对值

最后加上积分常数C

这是我们要介绍的

第二种特殊情况

下面我们看第三种情况

真分式的分母是二次多项式

这样的被积函数

它的积分方法

我们在这强调一下

真分式的分母是二次多项式

这个二次多项式

在实数范围里面是没有零点的

我们先看第一种情况

如果被积函数是常数

1除上x方加上px加q

在这我们是假设

p方减4q是小于0的

对这样的不定积分

我们就对分母这个二次多相式

做配方运算

配方完之后

我们用u表示x加2分之t

用A方表示4分之4q减p方

那么我们的不定积分

就转化成了

u方加A方分之1

它的不定积分问题

在前面我们曾经求过

这个不定积分

就等于A分之1倍的arctanA分之u

再加上常数C

我们将u与x的关系代回就得到了

我们要求的不定积分的表达式

这是在这种情况下

第一类函数

也就是说分子是常数

分母是一个二次多项式

下面我们来看一下

这个时候的第二种情况

也就是真分式是ax加b

除上x方加px加q

这个时候分子

就是一个一次多项式

对于这样的不定积分

我们首先将分子的一次项部分

我们给它凑成分母的导数

常数项部分我们单独处理

也就是我们就把

我们要求的不定积分

变成了2分之a倍的分母的导数

乘上bx再除上分母

再加上一个常数部分

乘上1除上x平方

加px加q的不定积分

这样我们就把

我们要求的不定积分

变成了两部分

第一部分是2分之a这个常数

乘上被积函数是分母的导数

除上分母

再求不定积分

第二部分是变成一个常数

再乘上被积函数是1除上x方

加px加q的不定积分

在这两个不定积分中

第二个不定积分在前面

我们刚刚讨论过它的处理方法

而第一部分这个不定积分

也就是要求f′比上f的原函数

根据凑微分

我们知道它的原函数

应该是f绝对值的自然对数

这样我们就把

我们要求的不定积分

给处理完了

这是我们介绍的

第三种特殊情况

下面第四种情况

当真分式的分母

是一个二次重因式的时候

对于这样的被积函数

我们怎么样求它的不定积分

我们看一道具体的题目

我们求x3次方

减去2倍的x平方加1

再除上x平方加x加1括起来平方

求这个真分式的不定积分

对于这个被积函数

我们将它写成

两个最简分式之和

第一个最简分式是

大写的A1x加上大写的B1

再除上x方加x加1

第二个最简分式是

大写的A2乘上x

再加上大写的B2

再除上x方加x加1括起来平方

我们对这个等式的右端通分

我们就会得到这个分子

是一个三次多项式

三次方的系数是A1

平方项的系数是A1加B1

一次项的系数是

A1加A2再加B1

常数项是B1加B2

我们比较这个等式的最左端

和最右端分子对应项的系数

就会得到我们的待定系数

AB满足的一次方程组

我们求解这个方程组

就会得到A1等于1

B1等负3 A2等2 B2等4

这样我们就把我们的被积函数

写成了两个具体的

最简分式之和

下面我们来看

这两个最简分式的原函数

或者是不定积分 它的求法

对于第一个最简分式

它的不定积分

我们就按照刚才介绍过的方法

首先将分子的一次项

凑成是分母这个

二次多项式的导数

这样我们就把这个不定积分

写成了两部分

第一部分用凑微分法

第二部分对于分子

是常数的这个被积函数

我们将分母进行配方

最后我们就得到了

这个最简分式

它的原函数是

2分之1倍的x方加x加1

它的自然对数

再减去2分之7乘上根下3分之2

再乘上arctan根下3分之2x加1

这是第一个最简分式的原函数

跟第二个最简分式

他的不定积分

我们的处理方法是这样子的

对于分子上的一次方部分

我们首先还是

把它凑成是分母中

这个二次多项式的导数

这样我们也把

这个最简分式的不定积分

写成了两个不定积分之和

对于第一个不定积分

它相当于是u′乘上u的平方

它的原函数

我们利用凑微分法

就可以求出第一个不定积分

而对第二个不定积分

也就是对分子是常数的

这个真分式的不定积分

对分母这个二次多项式

我们仍然进行配方运算

这样就将我们要求的

这个最简分式的不定积分

变成了我们最后这个等式中

第二个不定积分

对最后这个表达式中的

这个不定积分

我们在前面介绍分部积分法时

曾经得到过一个

简单的递推关系

利用那个递推关系

我们就会求得这个不定积分

就等于两倍x

除上3倍的括号里面

x方加上4分之3

再加上4除上3倍的根下3

再乘上arctan根下3分之2x

我们当时得到的

递推关系是这样子的

也就是我们用ln来表示

1除上a方加x方括起来n次方

它的不定积分

那么我们就得到了ln加1

就等于2n减1除上2na方

再乘上ln再加上x除上2na方

再乘上a方加x方括起来的n次方

在这个题目中我们的n是等于1的

n加1是等2的

这样我们就得到了我们要求的

第二个最简分式的不定积分

所以我们要求的原来的不定积分

就等于这两个最简分式的

不定积分之和

也就得到了它最后的表达形式

这是对于这种特殊情况下

我们求这个真分式的不定积分的

一般处理方法

对于这类问题尽管具体的计算量

一般比较偏大

但是它的处理思路

应该说还是明确的

也就是将我们要求

不定积分的真分式

表示成最简分式之和

而对于最简分式

它的不定积分从理论上来讲

我们都是可以求出的

下面我们介绍

最后一种特殊情况

也就是第五种特殊情况

我们考虑真分式的分母

是一次因式与二次因式乘积的

这样的被积函数

看一看对于这样的被积函数

我们怎么样求它的不定积分

我们讨论一般的情况

我们假设被积函数分子

就是bx方加Cx加d

分母一个一次因式是x减a

一个二次因式是x方加px加q

对于这样的被积函数

我们根据它分母的形式

我们就把它表示成

两个最简分式之和

第一个最简分式

就是大写的A除上x减a

第二个最简分式

是大写的B乘上x

再加上大写的C

再除上原来分母上的

这个二次因子

在这我们同样

对等式的右端做通分运算

并且比较最后得到的

分子对应项的系数

我们就会得到bx方加cx加d

应该等于右边这个二次多项式

通过相应项系数相等

就会得到待定系数

大写的ABC满足的一次方程组

求解这个一次方程组

就可以求出待定系数ABC的值

也就是说通过这种方式

我们确实能够把被积函数

表示成两个最简分式之和

这样就把我们要求的不定积分

变成了最简分式的不定积分问题

下面我们对上面我们讨论的

五个特殊情况中

所牵扯到的简单的积分

做一下总结

在上面的讨论中

我们牵扯到了ax加b分之A

它的不定积分问题

这是一个简单的

幂函数的不定积分

所以大家应该是比较熟悉的

我们牵扯到的

第二个不定积分式

A除上ax加b括起来的k次方

它的不定积分

这也是一个简单的幂函数的

不定积分问题

第三个牵扯到的不定积分

是分子是一次多项式

也就是bx加c

分母是一个一般的二次多项式

用px平方加上qux加r表示

分母在实数范围里面

是没有实根的

对于这样的不定积分

我们的处理方法

就是首先把分子中的一次项

透成分母的导数

那么就把这样的不定积分

变成了两个不定积分之和

第一个就是f′

除上f的不定积分

第二个我们将分母进行配方

就变成了u方加a方分之1的

原函数问题

这样我们这个不定积分

也有一般的处理方法了

牵扯到的第四个

简单的不定积分是

分子上是一次多项式

Bx加c

分母上是一个

二次多项式的k次方

对这样的不定积分

我们处理的思路

仍然是这样子的

分子上的一次多项式

先凑成分母上

二次多项式的导数

那么这个不定积分

就变成了u′除上u的k次方

它的原函数问题

利用凑微分法

这就是一个简单的

幂函数的原函数问题

而第二个不定积分

我们将括号里面的二次多项式

进行配方

就变成了u方加a方括起来

k次方分之1它的不定积分

这个不定积分从理论上讲

我们可以利用

在分部积分法部分

得到的递推关系

就会求得它的原函数

这是我们上面五种特殊情况下

最后要处理的简单的

不定积分问题

我们在前面介绍有关概念时

一定强调过在这我们碰到的

这四类简单积分的被积函数

就是我们所说的

有利函数中的最简分式

最后我们给出一个一般的结论

我们假设Qx

比上Px是一个真分式

那么这个真分式从理论上讲

就可以表示成最简分式之和

而且它的表示形式是唯一的

也就是说从理论上讲

真分式的不定积分问题

就转化成了最简分式的

不定积分问题

当然 在处理具体问题时

我们关心的是如何表示

它的表示方法是这样子的

如果我们能够写出

这个真分式分母的

因式分解的形式

当多项式的系数是实数时

在实数范围里面

我们可以将分母

分解成一次因式

或者是一次因式的k次方

再乘上二次因式

或者是再乘上二次因式的r次方

这样的形式

也就是说在实数范围里面

分母一定是

可以分解成一次因式

和二次因式的乘积的

如果知道了

这个因式分解的形式

那么我们这个真分式

就可以分解成

一些最简分式的和

分解的原则是

分母中的单纯的一次因子

就对应着一项

也就是A除上a1x加上b1

分母中的k中一次因子

就对应着k项

分别是A1除上a2x加上b2

一直加到Ak除上

ax加上b2括起来k次方

分母中的单重的二次因子

对应着一项

就是bx加C除上

这个单重的二次因子

而分母中的r重二次因子

对应着r项

也就是我们表达式中

最后这个中括号中的项

分别是B1x加C1

除上这R次因子

一直加到Brx加上Cr

除上这个二次因子的r次方

这样从理论上讲

我们就将有理函数的积分问题

通过转化成多项式的积分问题

和真分式的积分问题

而真分式的积分问题

我们就可以转化成

最简分式的积分问题

所以说从理论上讲

有理函数的积分法就解决了

有理函数求原函数的所有问题

在这一讲中我们给出了

有理函数的有关理论结果

并介绍了最简分式的

具体积分方法

总结起来也就是

一 假分式可以通过多项式除法

表达成多项式与真分式之和

二 真分式在它的分母分解成了

一次因子和二次因子的乘积之后

可以利用待定系数法

表示成最简分式之和

这样通过代数运算

我们就将有理函数的积分

转化成了多项式

和最简分式的积分

所以说有理函数的原函数

一定是初等函数

而且我们一定能求出它的原函数

在处理具体的有理函数积分时

一方面将一个实系数多项式

分解成一次因子

和二次因子的乘积

是一件非常困难的事情

另外一方面

待定系数法本身的计算量

也是非常大的

所以说上述的方法

更多的是强调了一个很好的理论结果

在求具体的有理函数积分时

我们还是要具体题目具体分析

尽可能寻找简单的特殊方法

下一讲将介绍三角有理式的积分

谢谢同学们

下一讲 再见