6.1.2 换元积分法(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第一节 换元积分法

本讲将介绍

不定积分的第二换元积分法

和定积分的换元积分法

我们接下来介绍一下

不定积分的第二换元积分法

我们前面介绍了第一换元积分法

第一换元积分法主要就是讲

被积函数中某个因子

看作是某一个函数的导数

但是在实际情况中

很多被积表达式并不见得

很容易就能凑出微分形式

我们需要根据某些化简的目的

比如说要去根号

从一开始我们就做换元

对被积函数进行变形

也就是说我们要求fx的不定积分

如果这个不定积分

不在基本积分公式之内

我们可以让x等于ht

那么形式的我们就得到了

一个新的不定积分

也就是说fht的复合乘上h′t

求这个函数的不定积分

我们讲这个关于t的函数

用小写的gt来表示

如果我们知道

gt的原函数是Gt

那么我们

利用函数大Gt与ht的反函数

就得到了一个新的关于x的函数

也就是G与h的反函数的复合

我们关心的是我们最后得到的

这个与x有关的函数

与我们一开始要求的fx的原函数

之间到底是什么关系

下面 我们给出一个定理

定理2

我们说如果fht的复合乘上h′t

它的一原函数是大写的dt

而且函数x等于ht的导数存在

不等于零

我们就说fx的一个原函数

就是G与h的反函数的复合

这就是我们要证的

第二换元积分公式

我们先给出这个结论的证明

从定理中的条件

我们知道GT关于T的导数

就等于fht的复合乘上h′t

因为h′t是不等于零的

所以它的反函数是可导的

那么 根据复合函数的列导法则

我们进一步就知道

G与h反函数的复合

关于x的导数是存在的

而且根据列导法则

这个导数就等于G的导数

在h反函数这个地方取值

再乘上h反函数的导数

h反函数的导数

也就等于h导数的倒数

我们进一步将Gh的导数表达式代入

考虑到h在h的反函数这个地方取值

就是x

这样我们就得到了

G与h反函数的复合

关于x的导数

就等于fx

直接就证明了fx的一个原函数

是G与h反函数的复合

这就是这个公式的证明

有了这个公式的证明之后

我们也就得到了

我们对fx求不定积分

如果让x等于ht

那么这个不定积分

就变成了fh的复合

乘上h′t

这个函数的不定积分

也就是通过引进x与t的关系

把我们原来

这个不定积分的被积函数

fx变成了关于t的

一个新的被积函数

从而达到了

对被积函数进行变形的目的

而这个公式

这就是我们平时说的不定积分的

第二换元积分公式

利用这个公式求不定积分的方法

就是我们所说的第二换元积分法

下面我们看几道例题

第一道例题

我们求1加根下x分之一

它的不定积分

对这个不定积分我们知道

如果分母不是根下x

而是1加x

它就是一个利用基本积分公式

求不定积分的简单问题

所以说这里面它的困难

应该就是在根下x上

下面我们就让根下x等于t

也就是让x就等于t方

这样就可以把根号去掉

相应的dx就等于两倍的tdt

这样我们利用第二换元积分公式

原来的不定积分就变成了两倍的t

除上t加1求不定积分

我们将t除上t加1进行变形

变成是1减掉t加1分之一

我们知道1的原函数就是t

而t加1分之一的原函数

应该是（劳令 音）t加一的绝对值

前面还乘上一个倍数二

这样我们就得到了

关于t的这个原函数的形式

我们将t等于根下x带回

这样就得到了我们求的

不定积分的最结果是

两倍的根下x

减掉两倍的（劳令 音）1加根下x

再加上常数C

下面我们看第二道例题

我们求根下x

加上3次根下x分之一

它的根下积分

与第一道例题一样

在这道题目中

我们的困难主要

还在于被积函数里面

带有根号运算

我们为了将两个根号去掉

我们就直接令x等于t的6次方

6实际上就是取2和3的

最小公倍数

这样dx就等于6倍的

t的5次方乘上dt

所以我们要求的不定积分

就变成了6倍的t的5次方

除上t的3次方

加上t的平方

我们上下把t的平方削掉

把分子上的t的3次方

我们写成t的3次方加上1

再减去1

进一步我们就将要求的不定积分

变成了要求6倍的t的平方减t加1

再减掉t加1分之一

它的不定积分

而这个新的被积函数

每一项都是简单的逆函数

所以我们就求出了

最后关于t的原函数的形式是

两倍的t的3次方

再减掉3倍的t的平方

加上6倍的t

减去6倍的（劳令 音）

t加1的绝对值

再加上常数C

我们将t与x的关系

也就是x等于t的6次方代入

就得到了我们要求的不定积分的

最后结果是两倍的根下x

减去3倍的3次根下x

再加上6倍的6次根下x

再减去六倍的（劳令 音）

1加上6次根下x再加c

下面我们看第三道例题

我们求根下a方减x方的不定积分

我们假设a是大于零的

与前面的两道例题一样

在这道题目中

我们主要还是将根号带来的困难

克服掉

也就是想办法将根号去掉

我们利用三角函数的性质

可以令x就等于a乘上sint

那么dx就等于a乘上costdt

相应的t就等于arcsin a分之x

当x界于负a到a之间变化时

t是界于负二分之π

到二分之π变化时

有了这些准备工作之后

我们要求的不定积分

就可以转化成只求a方 sin方t

它的不定积分

我们利用被教公式

也就进一步转化成是要求

2分之a方乘上1加cos2t不定积分

这样我们就得到了

我们要求的原函数

在t的表现形式下是2分之a方

乘上t

再加上4分之a方乘上sin2t

加上常数C

我们将t与x的关系带回

第一项就变成了2分之a方

乘上arcsin a分之x

第二项

我们先写成2分之a方

乘上sint

再乘cost

而sint就等于a分之x

cost我们就给它写成

根下1减sin方t

这样我们整理就会得到

最后的结果是

2分之a方乘上arcsin a分之x

再加上2分之x

再乘上根下a方减x方加上常数c

这就是我们通过做所谓的三角换元

去掉根号

最后得出的结果

下面我们看第四道例题

求根下x方加a方分之1

它的不定积分

我们仍然还是假设a大于0

在这我们利用三角函数的性质

可以令x等于a乘上tant

那么dx就等于a乘上sec方tdt

在这种变化下

我们要求的不定积分

就变成了sec方t除上sect

它的不定积分

也就是说要求sect的不定积分

前面我们已经求过正函数的原函数

就是sect加tant 它的绝对值

取自然对数

再加上c

下面我们把t用x带回

我们知道tant是等于a分之x

而sec方是等于tan方加1的

这样我们就可以用x将sect

表示成根下a方加x方

除上a

所以我们要求的不定积分

最后的形式就是

（劳令 音）根下a方加x方

再加上x

再加常数c

请大家注意在我们求解过程中

最后一行和倒数第二行

我们都是用的常数c来表示

实际上在这

这两个表达式中的常数

并不是同一个

最后这个常数

应该是倒数第二行中的常数c

减掉a的自然对数

但是 在不定积分中

c仅仅是表示一个任意常数

它并不表示这个常数具体的大小

所以 在求不定积分问题时

我们不再刻意的区分

两个不相等的常数

只要它是任意的

我们都可以用同一个记号来表示

下面看第五道例题

我们求根下x方减a方分1

它的原函数

a仍然假设为大于0

在这个不定积分中

我们可以令x就等于a乘上sect

那么dx就等于a乘上sect

再乘tant 乘上dt

这样我们要求的不定积分

经过变形仍然变成了

要求sect的不定积分

也就是求得的结果是

（劳令 音）sect

加上tant的绝对值加常数c

我们利用sect等于a分之x

依据正切与正根的关系

就会得到tant

就等于根下x方减a方除上a

我们将sect与tant与x的关系

带回这个不定积分中

就得到了我们最后的结果

是（劳令 音）根下x方减a方

再加上x的绝对值

再加常数c

前面这几个例题

我们主要解释了

怎么样利用第二换元积分公式

将我们要求的

被积函数中的根号去掉

在某些形式下

比如说我们最后三个例题中

我们做的是

所谓的三角换元

用的主要就是

我们中学里面学过的三角关系式

在我们前面的例1 例2中

实际上我们用的

主要就是说我们的目的

取根号

如果没有相应的代数关系式可用时

我们就直接把根号本身

看作是一个新的变量

这是我们利用第二换元积分公式时

去根号时常用的一种思路

关于第二换元积分公式

再求其他具体不定积分中的应用

希望大家在做具体题目时

要不断的总结

通过总结才能够熟练准确的

用好第二换元积分公式