6.2.2 分部积分法(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第二节 分部积分法

本讲将介绍定积分的分部积分法

并给出定积分计算中

一个常用的结果

即沃利斯公式

下面我们将介绍定积分的分部积分法

定积分的分部积分法

与不定积分的分部积分法是类似的

我们都是从

两个函数乘积的导数公式出发

也就是我们假设函数

u和v在区间ab上存在连续导数

那么它们两个函数的乘积的导数

就应该等于u的导数乘上v

再加上u乘上v的导数

我们在上面这个等式的两端

从a到b求定积分

利用定积分的加快运算性质

我们就得到了u乘上v

它的导数从a到b的定积分

等于u的导数乘上v

从a到b的定积分

再加上u乘上v的导数从a到b的定积分

我们将这个等式移项就会得到

u的导数乘上u

从a到b的定积分

就等于u乘v在b点的值

减掉a点的值

再减去u乘上v的导数

从a到b的定积分

这个等式就把两个定积分

联系在了一起

我们只要求出其中的一个

那么也就求出了

另外一个定积分的值

这实际上就是我们要介绍的

定积分的分布积分公式

我们把这个结论写成一个定理

这就是定理5

我们假设函数ux和vx在区间ab上

存在连续导数

那么 u的导数乘上v

在a到b上的定积分值

就等于u乘上v在b这里的函数值

减去在a这里的函数值

再减去v乘上v的导数

在a到b区间上的定积分值

这就是我们要介绍的分布积分公式

利用定积分的分布积分公式

求定积分值的方法

我们一般也就称为是

定积分的分部积分法

在利用定积分的分部积分公式

求定积分值时

利用凑微分法

求定积分的情况是类似的

也就是我们要把被积函数

写成两个因子的乘积

其中一个因子可以看作是

另外一个函数的导数

这样我们就可以用分布积分公式

把我们要求的定积分

转化成另外一个被积函数的定积分

在利用这公式时

请大家注意等式的右端

是两部分做差

注意两部分之间正负号的取法

下面我们看几个具体的例子

例1

我们计算自然对数

从1到e的定积分值

在这个定积分中 被积函数

我们可以看作是x的导数乘上lnx

所以我们利用分布积分公式

这个定积分值就等于

x乘上lnx在e点的函数值

减掉1这点的函数值

再减去x不动乘上自然对数的导数

从1到e求定积分

我们求得最后的结果

就等于1

根据定积分的几何域

这个定积分值1在集合上表示的

应该就是对数曲线

y等于lnx与x轴

即x等于1和x等于e

围成的平面图形的面积

实际上也就是图中这个曲边

三角形的面积等于1

下面我们看第二道例题

我们求x乘上1的负x次方

在0到ln2区间上定积分值

这个被积函数的形式

是我们介绍的典型的

可以利用分布积分公式

处理的被积函数类型

我们将1的负x次方

看作是负的1的负x次方的导数

那么我们利用分布积分公式

我们要求的定积分

就可以写成是x乘上负的1的负x次方

在ln2这边的值

减掉在0这点的值

再加上1的负x次方

在0的ln2上的定积分

在这第二项应该是

减去负的1的负x次方不动

再乘上x疏导

最后化简之后

就变成了1的负x方

在0到ln2上的定积分值

对第二个定积分

我们求出它的原函数

是负的1的负x次方

利用牛顿莱布尼兹公式

我们就求得了最后的结果

是2分之1减掉2的自然对数

下面我们看第三道例题

我们求1的根下x次方的

0到1上的定积分值

这个定积分中

被积函数的指数上

带有根下x

我们的困难就是因为指数是根下x

所以我们不知道它的原函数是什么

下面我们首先做一个变量替换

令根下x等t

把根号去掉

那么dx就等于2倍的tdt

而且在x等0时 t等0

在x等1时 t等1

我们利用定积分的换元积分公式

就得到了我们要求的定积分的值

就等于2倍的t乘上1的t次方

在0到1这个区间上的定积分值

对于这个新的定积分

这个被积函数是一个典型的

可以利用分布积分公式

求原函数的函数类型

所以对这个新的定积分

我们将1的t次方看作是

1的t次方的导数

利用分布积分公式

就变成了2倍的t乘上1的t次方

在1点的值减掉0点的值

再减去2倍的1的t次方

从0到1的定积分

最后利用牛顿牛顿莱布尼兹公式

我们求得了最后的定积分值

就等于2

下面我们来看第四道例题

我们求x除上根下1减x方

再乘上arcsinx

在0到2分之1这个区间上的定积分值

在这个定积分中

被积函数我们就写成了

两个因子的乘积

其中一个因子是arcsinx

我们知道当被积函数

带有反三角函数时

我们一般的选择

就是看一看

能不能用分布积分公式

求这样的积分问题

再用分布积分公式时

我们的目的是要对

反三角函数进行求导

换句话说

我们也就是要把另外一个因子

x除上根下1减x方

看作是某一个函数的导数

下面我们看一下

这个因子是哪一个函数的导数

我们知道根下1减x方

关于x求导

就等于负的x除上根下1减x平方

也就是说x除上根下1减x平方

应该就是负的根下1减x平方的导数

我们利用分布积分公式

就把我们要求的这个定积分

转化成了负的根下1减x方

乘上arcsinx

在2分之1这点的值

减掉在0这点的值

再加上根下1减x方

乘上arcsinx的导数

也就是乘上1除上根下1减x方

在0到2分之1这个区间上的定积分值

我们知道正弦等2分之1的角

对应的是6分之π

正弦等0的角

对应的是0

所以我们就求得了最后的定积分值

就等于2分之1减掉12分之根3倍的π

上面我们讨论的四个例题

在这四个例题中

我们处理的都是利用分布积分公式

求具体的定积分值的问题

在处理这类问题时

关键就是我们要熟悉

能够利用分布积分公式

求原函数的函数类型

另外在具体的计算过程中

一定要正确的运用分布积分公式

尤其是需要注意正负号

以及某些项的系数不要出错

下面我们再看几道例题

例5

我们证明1减x的n次方

乘上x的m次方

在0到1上的定积分值

就等于m的阶乘乘上n的阶乘

再除上m加n加1的阶乘

在这我们的m和n是正整数

对于这个问题

因为被积函数

实际上就是一个多项式函数

所以它在0到1上的定积分值

我们是可以利用

牛顿莱布尼兹公式直接求出的

如果我们直接用

牛顿莱布尼兹公式时

我们需要对1减x的n次方做展开

展开之后会有一些综合数出来

这个时候

我们要想把一个比较复杂的

带有综合数的表达式

表示成我们等式的右端

我们需要用到综合数的相关性质

下面我们换一个思路

我们知道这个被积函数

就是两个因子的乘积

而这两个因子

都是幂函数的形式

所以无论是求导还是求原函数

都应该是非常简单的

下面我们就利用分布积分公式

来证明这个等式

我们在被积函数中

我们将x的m次方

看作是m加1分之1

乘上x的m加1次方的导数

我们利用分部积分公式

就把这个定积分值写成了两部分

其中第一部分

这个函数在1这点

和在0这点的值是等于0的

所以第一部分的值

应该是等0的

第二部分

也就是M加1分之1

x的M加1次方不动

再乘上1减x n次方的导数

我们求完导之后

会出现一个n

还有一个负1

而这个负号和分布积分中的负号

正好相乘 变成了加号

这就是我们这个等式中

第二项的来历

这样我们就将原来的定积分值

转化成了n除上m加1

再乘上x的m加1次方

再乘1减x的n减1次方

在0到1上的定积分值

我们利用同样的方法

对这个新的定积分

再用一次分布积分公式

我们就得到了

它就应该等于n除上m加1

乘上括号中两项之和

而括号中的第一项

在1这点的值

和0这点的值都是等0的

所以这样我们就将我们的定积分

转化成了n除上m加1

再乘上n减1除上m加2

再乘上x的m加2次方

乘1减x的n减2次方

在0到1上的定积分值

我们一直这样用下去

最后我们就会得到

我们要求的定积分值

就等于分子上是n乘n减1

一直乘到1

分母上是m加1一直乘到m加n

最后还要乘上x的m加n次方

在0到1上的定积分

最后这个定积分

我们利用牛顿莱布尼兹公式

可以求得它的值是m加n加1分之1

这样我们就可以将

我们要求的这定积分值

写成n的阶乘再除上m加1

一直乘到m加n加1

在这个分式的分子分母

我们通乘m的阶乘

就得到了我们要求的定积分值

分子上是m的阶乘乘上n的阶乘

分母上就是m加n加1的阶乘

这就是我们要证的结果

也就是说我们利用分布积分公式

除了可以求具体的定积分值之外

还可以得到一些

有关的定积分的计算公式

下面我们来看第六道例题

我们假设n是自然数

我们将sin的n次方x

在0到2分之π上的定积分值

记做ln

我们来证明ln的值

在n是偶数时它就等于

分子上是n减1的双阶乘

除上n的双阶乘

再乘上2分之π

如果n是奇数

那么我们ln的值就等于

n减1的双阶乘

除上n的双阶乘

在这双阶乘表示的是

一个个位相乘的运算

比如说4的双阶乘指的是2乘上4

而5的双阶乘

指的是1乘3再乘5

这是双阶乘这个记号

表示的这个值的运算

下面我们来证明这个结论

我们知道当N等0时

我们要求的l0

实际上就是sin的0次方

在0到2分之π上的定积分值

也就等于2分之π

当n等1时

我们要求的定积分值

就是sinx在0到2分之π上的定积分值

我们利用牛顿莱布尼兹公式

求得这个值

应该是等于1的

在n大于等于2时

我们将sin的n次方

看作是sin的n减1次方

再乘上sinx

而第二个因子sinx

我们可以看作是负的cosx的导数

那么我们用分布积分公式

我们要求的定积分值ln

就写成了两部分之和

第一部分大家可以发现

sinn减1次方x乘上cosx

前面有一个负号

这个函数在2分之π

和零点的值都是等0的

所以第一部分的值是等0的

第二部分

我们有一个cos方x

我们将cos方x写成1减sin方x

这样我们进一步就把第二部分

这个定积分

写成了是两个定积分做加减

第一个就是n减1倍的sinn减2次方x

在0到2分之π上的定积分

第二项就是减去n减1倍的sinn次方x

在0到2分之π上的定积分

根据我们ln的定义我们知道

第一部分就等于n减1倍的ln减2

第二部分就变成了

减去n减1倍的ln

这样我们就得到了

ln满足的一个方程

我们对这个方程进行变形

就得到了ln满足的一个递推关系

也就是ln就等于n减1除上n

再乘上ln减2

所以当n是偶数时

我们将n表示成2倍的k

我们就有l2k

就等于2k减1除上2k

再乘上l2k减2

我们不断的用这个递推关系

最后就知道l2k

就等于2k减1的双阶乘

再除上2k的双阶乘

再乘上lo

lo是等2分之π的

这样在n的偶数时

我们就求出了ln的值

类似的当n等于奇数时

我们将n表示成2k加1

那么利用递推关系

我们就知道l2k加1

就等于2k除上2k加1

再乘上l2k减1

我们不断的用这个dt关系

最后就知道

l2k加1的值

就等于2K的双阶乘

再除上2k加1的双阶乘

再乘上l1

l1是等于1的

这样我们就证明了n是奇数时

l1的计算公式

事实上我们可以证明cosn次方x

在0到2分之π上的值

与sinn次方x

在0到2分之π上的定积分值

是相等的

也就是说cosn次方x

在0到2分之π上的定积分值

当n是偶数时

他也等于n减1的双阶乘

除上n的双阶乘

再乘上2分之π

n是奇数时

它就等于n减1的双阶乘

再除上n的双阶乘

在微积分里面

我们这两个定积分值的计算公式

也就称为是所谓的沃利斯公式

当n等于正整数时

我们求这个定积分值时

一般的是直接套用沃利斯公式

进行计算的

最后我们来看一个具体的例子

这就是例7

我们计算cos4次方x

乘上sin平方x

在0到2分之π上的定积分值

我们利用sin方等于1减cos方

减我们要求的这个定积分值

写成是cos4次方

它的定积分减去cos6次方的定积分

我们利用沃利斯公式

我们知道cos4次方

在2到2分之π上的定积分

就等于4分之3

乘上2分之1 再乘2分之π

也就等于16分之3倍的π

而cos6次方x

在0到2分之π上的定积分

同样利用沃利斯公式

我们就求出它的值

就等于6分之5

再乘上16分之3倍的π

这样我们要求的定积分的值

最后的结果是32分之1倍的π

在这一讲中

我们给出了定积分的分部积分公式

这个公式利用函数乘积的导数公式

和牛顿莱布尼兹公式

就可以直接得到

定积分的分部积分公式

将两个不同的定积分

用一个等式联系在一起

既可以用来求

具体函数的定积分值问题

也可以用来讨论

不同定积分之间的关系

研究与定积分有关的理论问题

沃利斯公式

是计算定积分时的一个常用结果

许多定积分求值问题

往往会归结到这种积分的计算问题

换元积分法和分部积分法

是我们这个课程中

要求的基本积分法

下一讲将介绍有理函数的积分

谢谢同学们

下一讲再见