1.7.2 无穷小量(2)在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课微积分课程

今天我们介绍

第一章极限

第七节无穷小量

在前面

我们研究极限问题时

我们知道

在同一个极限过程下

可以有

许多个无穷小量

每一个无穷小量

它们的值

都趋向0

那么

我们能否判断

不同的无穷小量

向0跑的快慢呢

这就是无穷小量的比较

要解决的问题

在这一讲中

我们主要介绍

无穷小量阶的比较

和无穷小量阶的概念

下面我们来介绍一下

关于无穷小量的比较的内容

我们知道

在自变量的同一个趋向下

两个无穷小量

它的和差乘积仍然是无穷小量

但两个无穷小量的商

却可能会出现不同情况

比如我们熟悉的

在x趋向于0时

sinxln(1+x) 1-cosx

都应该是无穷小量

而我们知道sinx比上

ln(1+x)

在x趋向于0时它的极限

应该等于1

而1-cosx比上ln(1+x)

在x趋向于0时

我们可以求得

它的极限是等0的

第一个极限等于1

它就说明在x趋向于0时

sinx与ln(1+x)的大小是相当的

如果从它们趋向0的快慢来说

它们趋向0的快慢应该是相仿的

而第二个极限等于0

它就说明

当x趋向于0时

|1-cosx|的值要远远小于|ln(1+x)|的值

也就是说

前者趋向0要比后者趋向0要快得多

我们为了解决在自变量的同一个趋向下

如何判断

不同的无穷小量趋向0的快慢问题

我们就给出了无穷小比较的有关概念

因为x一般来说

有6个变化趋向

我们下面给出的定义

就以x趋向x0为例

写出它的具体结果

定义8

我们假设

f(x)和g(x)

在x趋向于x0时都是无穷小量

我们来考虑

f(x)与g(x)的比值

在x趋向x0时的变化情况

如果这个比值

它极限存在

或者说这个比值

尽管它极限不存在

但它是个无穷大

这时候

我们就说

如果比值的极限存在而且等于0时

我们就称分子

是分母在x趋向x0时的高阶无穷小

我们一般用小写的o来表示

高阶无穷小这个关系

在这

也就是说f(x)=o(g(x))

如果这个比值的极限存在

而且值是等于1

这时候我们就称分子

与分母

在x趋向x0时

是等价无穷小

我们就用等价符号

来表示

分子和分母之间的关系

如果

这个比值的极限存在

但是极限值既不等0也不等1

这时候我们就称

分子与分母

在x趋向x0时是同阶无穷小

从这个定义我们可以看出

高阶无穷小

等价无穷小

和同阶无穷小

它在一定程度上就能够反应

在自变量的同一个趋向下

不同无穷小量

他们向零跑的快慢之间的关系

值得大家注意的是

在这个定义中

我们有一个假设

也就是说

两个无穷小量的比

它的极限是存在的

如果两个无穷小量的比

极限不存在

甚至也不是无穷大

这就说明

这两个无穷小量之间

是不能做比较的

如果

两个无穷小量的比极限不存在

是无穷大的时候

我们就说

分子

是分母

在x趋向x0时的低阶无穷小

因为

我们知道无穷大量的倒数是无穷小量

如果分子是分母的低阶无穷小

自然就意味着

分母是分子的高阶无穷小

所以说我们这时候

无穷小量比较的时候

主要强调的是

高阶无穷小

等价无穷小

和同阶无穷小

三个比较关系

而低阶无穷小

我们往往就转化成

高阶无穷小来加以说明

有时候

为了进一步刻画

一个无穷小量

它趋向于0的

这个快慢

我们还引进了无穷小量阶的概念

在x趋向x0时

如果f(x)与(x-x0)的k次方

是同阶无穷小

这个时候

我们就称f(x)

在x趋向x0时

是k阶无穷小量

在x趋向无穷时

如果f(x)与x的k次方分之一

是同阶无穷小量

这时我们就称f(x)

是x趋向无穷时的k阶无穷小

从这个定义

我们可以看出

也就是说

在x的某种变化趋向下

我们取一个参照物

实际上取的就是幂函数

我们将

其它的无穷小量

与这个幂函数作比较

如果与这个幂函数是同阶的

我们就说

其它的无穷小量

它的阶数就是这个幂函数的阶数

在前面我们知道

1-cosx比上x

在x趋向于0时极限等0

所以我们就可以说

x趋向于0时1-cosx

是x的高阶无穷小

而我们知道sinx比上x

ln(1+x)比上x

e的x方-1比上x

在x趋向于0时的极限

都等1

那么

我们就说

在x趋向于0时

x sinx ln(1+x) e的x次方-1

都应该是等价的无穷小量

而且也可以说

它们在x趋向0时

都是1阶无穷小量

我们知道

1-cosx比上x平方

在x趋向0时的极限是1/2

所以我们就可以说

x趋向0时1-cosx

与x平方是同阶无穷小量

那1-cosx也可以称作

是x趋向0时的

2阶无穷小量

下面我们通过几个具体的例题

来练习一下这几个概念

例1

证明

如果在自变量x的某个趋向下

f(x)与g(x)

是等价无穷小量

那么

f(x)-g(x)就是f(x)的高阶无穷小量

这个题目

主要考察

我们清楚不清楚

什么是等价无穷小

什么是高阶无穷小

我们不妨假设

自变量的变化趋向就是x趋向x0

那么f(x)与g(x)是等价无穷小

也就是说

g(x)比上f(x)

在x趋向x0时的极限是等1的

所以f(x)-g(x)再比上f(x)

根据极限的减法运算

我们就知道

这个比值的极限等于0

根据高阶无穷小的概念

我们知道

这个分子

和分母

都是无穷小量

它们的比值极限又等于0

所以

分子

就是分母的高阶无穷小

定理17

我们假设f（x）与g（x）

在x趋向x0时是等价无穷小

函数h（x）在x0的某个去心邻域内

是有定义的

我们证明下面两个结论

第一个结论

如果f（x）乘上g（x）

在x趋向x0时

它是趋向A的

那么g（x）乘上h（x）

在x趋向x0时

也是趋向A的

第二个结论

如果h（x)除上f(x)

在x趋向x0时

是趋向A的

那么h（x）除上g（x)

在x趋向x0时

也是趋向A的

这个定理给出的结果

大家仔细分析一下就可以看出

第一个结论是说

如果我们把f（x）

用它的等价无穷小g（x）代替

那么结果是一样的

第二个结论

是说如果我们把分母上的f（x）

用他的等价无穷小代替

得到的结果也是相同的

所以说这个结论

实际是给出了在极限运算过程中

乘法因子和它的除法因子

都可以用它们的等价无穷小代替

而不影响我们最后的极限值

事实上在用这个定理时

我们还可以进一步的

得到更广的结果

也就是说

在极限运算中

乘除因子用它的等价无穷小代替之后

不影响原来的极限问题

也就是说

如果原来的极限是存在的

那么代换之后

极限仍然是存在的

而且极限值不变

如果原来的极限是不存在的

那么做了等价无穷小代换之后

极限仍然也是不存在的

下面我们对定理17

给出一个简短的证明

第一个结论

因为g（x）乘上h（x）

我们可以变形为

f（x）乘上h（x）

乘上g（x）除上f（x）

在题中的条件说

f（x）乘上h（x）

极限等A

而g（x）除上f（x）

极限等1

这样我们就得到了

g（x）乘上h（x）

它的极限就等于A乘上1

也就等A

所以我们就证明了第一个结果

类似的

对第二个结果

我们可以做同样的变形

也就是说

h（x）除上g（x）

我们可以写作

h（x）除上f（x）

在乘上f（x）除上g（x）

其中的条件说

h（x）除上f（x）极限是A

而f（x）与g（x）的比的极限

是等于1的

所以我们就得到了

h（x）除上g（x）

它的极限就等于A乘1

也就等A

这样我们就给出了第二个结论的证明

下面我们再强调一次

这个定理给出的结论

就是我们平时说的

在极限运算中

它的等价无穷小代换

具体的说就是

在极限运算中

乘法因子和除法因子

可以用它们在同一个极限过程下的

等价无穷小代替

而不影响我们最后的结果

在前面我们已经得到了

在x趋向0时

sinx与x等价

1-cosx与x平方/2等价

tanx与x等价

In（1+x)与x等价

e的x次方-1也与x等价

这些等价无穷小

也是我们在

求极限值时

经常用到的等价无穷小量

下面我们看第二个例题

我们求

tanx-sinx

除上x3次方

在x趋向0时的极限

对于这个极限

我们利用前面重要极限结论

以及极限的四则运算法则

实际是可以求得它的值

下面我们再利用等价无穷小代换

来求这个极限的值

我们对这个极限

它的表达式

tanx-sinx

除上x3次方

我们进行变形

这个函数我们可以写作

分子上是

1-cosx括起来

乘上sinx

分母上是x3次方乘上cosx

在这1-cosx和sinx

是两个乘法因子

所以说

sinx我们可以用

它的等价无穷小x代替

而1-cosx

可以用它的等价无穷小

1/2倍的x平方代替

这样我们要求的极限

就变成了

1除上2倍的cosx

在x趋向0时的极限

这个极限就等于1/2

下面我们看一下

在这个极限问题里

分子上tanx-sinx

我们知道在x趋向0时

tanx与x是等价的

sinx与x也是等价的

如果我们在加减项里面

用等价无穷小代替时

我们会得到什么样的结果

也就是说

这个时候分子上两项

如果用等价无穷小代替的时候

应该是x-x

那么这样得到的极限值应该等0

而我们知道这个极限值

是等于1/2

所以说如果加减项里面

用等价无穷小代替

我们就得到了一个错误的结论

在这我们再强调一次

在极限运算里面

乘除因子用等价

无穷小代替是没问题的

而加减项是否能够

用等价无穷小代替

一定要做进一步分析

才可以决定

第三个例题

我们求

e的1-cosx次方-1

除上x平方

在x趋向0时的极限值

在这个极限问题里面

我们知道

e的u次方-1

在u趋向0时

是等价与u的

而1-cosx

在x趋向0时

是与1/2倍的x平方等价的

我们将这个分式的分子

作为一个乘法因子

用他的等价无穷小代替

我们就得到要求的极限值

就是1-cosx比上x平方的极限

如果我们把这个新的

分式的分子

在作为一个乘法因子

用他的等价无穷小做代换

我们就会得到

1/2x平方

在除上x平方

在x趋向于0时求极限

这个极限值就等于1/2

我们看第四个例题

我们要求

x平方乘上(3的1/x次方

减掉3的1/x+1次方）

在x趋向正无穷时的极限

这是两个因子相乘的一个函数

在x趋向正无穷时

我们知道

第一个因子

x平方是趋向于无穷的

而第二个因子

是趋向于0的

所以我们不能直接用

乘法运算

我们对这个求极限的函数

做一个变形

我们提出3的(x+1)分之一次方

大家注意到

我们知道一个极限结论

就是a的x次方-1

除上x

在x趋向0时的极限

应该是a的自然对数

所以

在我们变形后的这个表达式里面

我们把这个括号做一个乘法因子

我们用它的等价无穷小

来代替

我们就得到

这个括号可以写作

3的自然对数除上x(x+1)

这样我们的极限就变成了

x平方乘上3的(x+1)分之一次方

再乘上ln3除上x(x+1)

在x趋向正无穷时取极限

我们把x平方给除掉

我们就会得到3的(x+1)分之一次方

乘上ln3除上(1+1/x)求极限

这个极限我们利用极限的四则运算

就可以得到

极限值是3的自然对数

下面

我们来看第5道例题

我们证明(1+x)的a次方-1除上x

在x

趋向于0时

它的极限是a

对于这个极限

我们要利用

指数和对数的性质

将(1+x)的a次方

这个幂函数

转化成

指数函数的形式

我们再利用前面介绍的

有关的等价无穷小量

做等价无穷小代换

最后得到我们要求的结果

我们知道

在x趋向于0时

aln(1+x)极限是0

所以

在x趋向于0时

e的（aln(1+x)）次方-1

就应该等价于aln(1+x)

这样我们要求的极限

我们对它进行变形之后

就可以转化成

e的ln(1+x)的a次方

再减1

除上x的极限

也就

转化为e的(aln(1+x))次方-1

除上x极限

我们利用等价无穷小代换

最后就变成了aln(1+x)除上x的极限

这个极限

我们知道它是等a的

这样我们就证明了

这个题目的结果

在这一讲中

我们介绍了高阶无穷小

等价无穷小

同阶无穷小

以及

k阶无穷小的概念

了解了

刻画

不同无穷小量快慢的方法

介绍了

等价无穷小

在极限运算中的应用

请大家注意

并不是任意两个

无穷小量都能作比较

两个无穷小量

能够作比较

是需要条件的

同时

我们要理解

低阶无穷小的含义

并能将无穷小量比较的思想

推广到无穷大量的比较

在利用等价无穷小

进行极限运算时

要注意

使用等价无穷小代换的条件

至此

极限的内容就全部介绍完了

在第二章

我们将

利用极限作为工具

来研究函数的一种性质

即函数的连续性

谢谢同学们

下一讲再见