1.5.1 夹逼定理与单调有界收敛定理(1)在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课

微积分MOOC课程

今天我们介绍第一章

极限

第五节

夹逼定理与单调有界收敛定理（1）

夹逼定理是极限理论中的

一个重要结论

是微积分中

判断极限存在的基本方法之一

正是有了夹逼定理

我们才能得到微积分中的

两个重要极限的值

也就是sinx比上x

在x趋向于0时的极限

等于1

和

1+x分之1括起来x次方

在x趋向无穷时的极限等于e

正是因为有了

这两个重要极限的值

我们才能得到

sinx的导数等于cosx

e的x次方的导数等于

e的x次方

这样的基本导数公式

在这一讲中

我们将介绍夹逼定理的具体内容

以及利用夹逼定理

求极限的具体方法

夹逼定理

定理13

我们假设

函数f(x) g(x) h(x)

在x0的某个去心邻域内有定义

而且满足

下面两个条件

第一个条件

f(x)小于等于g(x)

g(x)小于等于h(x)

第二个条件

f(x)和h(x)

在x趋向于x0时的极限

都存在

而且相等

那么我们得到的结论就是

函数g(x)在x趋向于x0时的

极限也存在

而且极限值

与f(x)和h(x)的极限值是相等的

在这个定理中

第一个条件

这个不等关系我们一般称为

夹条件

第二个条件

这两个极限相等

我们一般称为逼条件

所以说

这个定理

我们习惯地称为夹逼定理

夹逼定理给出的结论是很直观的

所以接受这个结果

并没有什么困难

下面我们给出夹逼定理的证明

对于任意的正数ε

因为f(x)和h(x)在x趋向x0时的极限

都等于A

所以根据极限的定义

我们一定找到一个大于0的数δ

只要x-x0的绝对值小于 δ

而且大于0

我们就一定有f(x)

是大于A-ε小于A+ε

同时h(x)也是

大于A- ε小于A+ε

因为我们定理中的条件1

说明g(x)是介于f(x)和h(x)之间

所以

只要x-x0的绝对值小于δ

而大于0

我们就有

g(x)一方面是大于等于f(x)

大于A-ε

另外一个方面

是小于等于h(x)

小于A+ε

那么根据极限的定义

这样我们也就证明了g(x)

在x趋向x0时的极限就等于A

对于数列我们也有夹逼定理

数列的夹逼定理

写出来

具体的就是

定理14

我们假设

数列an bncn

它满足下面两个条件

第一个条件

就是

an小于等于bn

bn小于等于cn

第二个条件

就是an和cn的极限存在

而且相等

我们的结论就是

bn的极限存在

而且bn的极限与an和cn的极限

是相等的

下面我们利用夹逼定理来求

几个具体的极限值

例1 我们求一下

根下(x+1)减掉根下(x-2)

在x趋向正无穷时的极限

这个函数在x趋向正无穷时

它的两部分极限并不存在

我们做一个简单的有理化

也就是

根下(x+1)减掉根下(x-2)

就等于

3除上（根下(x+1)+根下(x-2)）

我们给它放大到3除上根下x

因为

这个不等式的左端

0的极限是0

而右端根下x分之3

在x趋向正无穷时

它的极限等0

所以利用夹逼定理

我们就得到

我们要求的极限值就是0

第2个例题

我们已知b大于a

a大于0

我们来求

a的n次方加上b的n次方

括起来的n分之1次方的极限

在这个数列中

我们知道b是大于a的

所以说b的n次方

应该是比a的n次方要大得多

我们做下面这个变形

我们将b的n次方提出

那么我们数列的通项

就变成了b乘上括号里面

是a除上b括起来的n次方

加上1

再括起来之后做n分之1次方

因为a除上b是大于0

小于1的

所以我们就得到我们数列的通项

一方面是大于b的

另外一方面是小于b乘上

2的n分之1次方

在这个不等式的两端

左端的极限是b

而右端的极限

我们利用

2的n分之1次方的极限

等于1

就得到

右端的极限也是b

所以利用夹逼定理

就得到了我们要求的极限值

就等于b

第3个例题

我们求一下x乘上x分之1取整

在x趋向于0时的极限

在这个题目中

取整只是一种记号

它不是一个常规的数学运算符号

所以说我们要求这个函数的极限

不能直接利用前面得到的

四则运算

或者是复合函数它的运算法则

但是利用取整函数的性质

我们知道

对于任意的x不等0

那么x分之1取整

一定是小于等于x分之1

同时

要大于x分之1减1

在x大于0时

我们两端同乘x

就会得到x乘上x分之1取整

一方面小于等于1

另外一方面就大于1-x

在这个不等式的两端

我们让x大于0趋向于0

右端的极限是1

左端的极限也是1

所以我们根据夹逼定理

就得到了x乘上x分之1取整

这个函数在0这点的右极限就等于1

如果x是小于0

那么我们就会得到下面这个不等式

也是x乘上x分之1取整

一方面是大于等于1

另外一方面是要小于1-x

在这个不等式的两端

当x小于趋向于0时

左端的极限是等于1

右端的极限也是1

这样利用夹逼定理

我们就得到了x

乘上x分之1取整

在0这点的左极限也是1

那么

根据极限与左右极限的关系

我们知道

我们要求的极限值是存在的

而且它的值就等于1

第4个例题

我们求下面这个数列的极限

数列的通项是n方加1分之1

加上n方加2分之2

一直加到

n方加n分之n

对这个数列来说

我们没法得到它通项的简单表达式

所以我们也就

无法利用极限的运算法则

直接求得

这个数列的极限值

如果我们对这个数列的通项

做个适当的缩小

和适当的放大

我们看看情况会怎么样

我们为了把这个数列的通项缩小

那么我们就把求和里面

每一项的分母变大

也就是

这个数列

它的通项应该是大于n方加n分之k

对k从1到n求和

这个和式我们是可以求出的

也就等于2分之1倍的n方加n

分之n乘(n+1)

也即是2分之1

这说明

这个数列它的每一项都是大于

2分之1的

而这个数列

我们

对它进行适当的放大时

就是要把

求和中的每一个的分母

都变成最小

也就是

它小于n方加1分之k

对k从1到n取值求和

也就等于

2分之1倍的n方加1分之

n乘(n+1)

我们上下同除以n的平方

就知道

这个数列的极限

应该是

等于2分之1

这样

我们利用夹逼定理

就求出了我们要求的极限值

就等于2分之1

对于任意的实数a

我们证明

a的n次方

除上n!它的极限是等0的

在这个问题中

a=0是显然的

a的绝对值小于等于1也是容易求证的

我们接下来

只证明a的绝对值大于1的情况

对于给定的实数a

我们知道

一定存在正整数N

使得a的绝对值是大于等于N

而小于等于N+1的

所以

当n大于N时

我们就有

a的n次方除上n！的绝对值

一方面它是大于等于0的

另外一方面我们给它写开

就等于a的绝对值除1乘上a

的绝对值除2

一直到a的绝对值除上N

后面就是a的绝对值除上N+1

一直

乘到a的绝对值乘n

在这些项中N是常数

所以从1到N

这N个因子乘起来应该是常数

而从N+1到n-1

这个因子它都是小于1的

所以我们把这几个因子放大到1

另外a的绝对值也是常数

所以这样放大之后

我们知道

这些项的乘积

可以统一地写成是小于n分之C

其中C是与n无关的一个常数

在这个不等式中

左端的极限是0

而右端的极限显然也等于0

所以利用夹逼定理

我们就得到了

A的n次方除上n!的绝对值的极限

是等于0的

也就是a的n次除上n!的极限

等于0

在这一讲中

我们介绍了判断极限存在的夹逼定理

对一个具体的数列来说

如何做适当的放大和适当的缩小

是正确运用夹逼定理的关键

通过一定量的练习

我们要了解常用的放缩方法

逐步地掌握夹逼定理及其应用

在下一讲中

我们将介绍判断极限存在的

另一个重要方法

也就是

极限存在的单调有界收敛定理

谢谢同学们下一讲再见