8.4.2 常系数微分方程简单应用举例(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第八章

常微分方程

第四节常微分方程简单应用举例

本讲将介绍两个经典问题

一个是马尔萨斯的人口理论模型

另一个是微分方程早期研究的

弹性振动问题

下面我们来看人口增长问题

我们知道在18世纪末

马尔萨斯首先提出了一个人口理论

他说在一个地区人口的增长率

与当时人口的总数是成正比的

也就是Nt关于t的导数

等于r乘上Nt

在这Nt表示的就是在时刻t

这个地区的人口总数

而r大于0是一个比例常数

它代表的是人口的增长率

这个方程是一个一阶齐次线性方程

它的解就是Nt等于N0乘上e的rt次方

在这N0表示的是

这个地区初始时的人口总量

下面这个图表示的

就是这个指数函数的图像

根据指数函数的性质

我们知道当N0比较小时

在段时间内

这个指数函数它的取值

与这个地区在相应时刻的人口数

还是相差不多的

但是随着时间的增长

我们可以想象

这个指数函数它的取值就很难反应

相应时间这个地区的人口总数了

在19世纪30末

菲尔胡斯对马尔萨斯的人口模型

做了一些修正

也就是将人口的增长率

从常数r变成了r减去b乘上Nt

b是大于0的

同时使得r减去b乘上Nt也是大于0的

也就是人口的增长率

随着人口数的增大而不断的变小

这个时候Nt满足的微分方程

就变成了N关于t的导数

就等于括号里面r乘上b减Nt

再乘上Nt

这个方程就是所谓的逻辑斯谛方程

逻辑斯谛方程

是一个我们熟悉的变量分离方程

我们对它分离变量

就会得到dN除上R减bN括起来

再乘上N 就等于dt

我们对这个方程的左端进行拆项

就会得到r分之1乘上括号里面N分之1

加上r减bN分之b

再扩起来乘上dN等于dt

我们积分得lnN减去lnr减b乘上N

就等于rt加上一个任意常数C1

我们利用对数函数的运算性质

以及对数函数和指数函数

是互为反函数的

我们就会得到N除上r减去bN

就等于C乘上e的rt次方

C是e的C1次方

也是一个任意常数

这是关于n的一个一次方程

所以我们就会得到Nt与时间t的关系

在最后这个表达式里面

N0表示的仍然是初始时刻

这个地区的人口数

这个函数的图像就是下边这个图中

单调上升的这条曲线

从图中我们可以看出

随着时间越来越长

这个地区的人口总量

是逐渐趋向一个固定值

这个值的大小就是r比上b

这就是被改进的马尔萨斯人口模型

我们得到的一个地区的人口数

与它的增长时间数之间的关系

下面我们来看

另外一个简单应用

也就是有关弹性振动问题

我们假设有一个水平放置的弹簧

它一端是固定的

另一端与质量是m的一个物体相连

我们假设在弹性力的作用下

这个物体沿着水平方向

在有阻力的介质中运动

为了求得这个物体的运动方程

我们再假设在开始时

也就是在t等于0的时候

物体是位于图中的平衡位置O处

在t时刻

物体距离平衡位置的距离

我们用xt来表示

假设物体在运动过程中

除了受到弹性力的作用之外

还会受到一个

大小与它的运动速度大小

成正比的阻力

那么我们根据牛顿第二定律

也就是物体所受的力

应该等于物体的质量

乘上它的加速度

在这个具体问题中

我们就会得到质量m

乘上这个运动物体的加速度

也就是距离关于时间的二阶导数

应该等于它受到的弹性力

就是负的H乘上x

其中H是弹性系数

弹性力的大小与

它离平衡位置的位移

是成正比的

再减去k乘上dx dt

这项表示的是所受的阻力

k是阻力系数

在等式的右端

之所以两项前面都是符号

这表示的是它受到的力

与它的运动方向是相反的

这样我们就得到了在弹性力

和阻力的作用下

运动物体它的运动方程x

等于xt满足的微分方程

这是一个

二阶常系数齐次线性微分方程

如果我们再假设

物体在运动的过程中

还会受到其他的外力的作用

那么它的运动方程

y等于yt

满足的微分方程就是y的二阶导

加上2倍的ny的一阶导

再加上w方乘上y等于ft

在这我们习惯将未知函数

用y来表示

t仍然表示它的运动时间

在这个微分方程中

y的两阶导项

实际上代表的是加速度

而y的一阶导向

在这个问题中

表示的是它受到的阻力

而w方乘上y

表示的应该是与弹性力有关的

右端项ft指的是它受到的

其他的外力作用

下面我们来考虑几个特殊的情况

首先我们来看无阻尼自由振动的情况

所谓无阻尼指的是受到的阻力

等于0

也就是阻尼系数n等于0

自由振荡表示的是不会受到强迫力

所以ft恒为0

这时的运动方程

就变成了一个简单的

二阶常系数齐次线性微分方程

也就是y′′加上w方乘上y等于0

这个方程的通解

就是y等于C1乘上coswt

再加上C2乘上sinwt

我们利用辅助简化公式

也就把它整理成

A乘上sinwt加上ψ

其中A表示是振幅

ψ是所谓的初相位

下面这个图表示的就是这个时候

它的运动方程的图形

在整个过程中

它的振幅是不变的

所以说这就是

所谓的无阻尼自由振动

下面我们再来看第二种情况

也就是所谓的

小阻尼自由振动的情形

所谓小阻尼我们指的是

阻尼系数n小于w

而自由振动同样指的是

强迫力ft等于0

在这个条件下

运动方程就变成的一个

二阶常系数齐次线性微分方程

这个微分方程

在n小于w时

它的两个特征根

就是w等于负n加减根下w方减n方

再乘上i

也就是它有一对（公有负根 音）

那么这个时候这个微分方程通解

最后就是y等于A乘上e的负的nt次方

再乘上sin根下w方减n方

乘上t再加上ψ

在这个表达式中

有一个指数因子

e的负nt次方

这个因子表示的是

随着时间t越来越大

它的振幅越来越小的

所以说这个因子

表示的是它的衰减的性质

而后边有一个sin因子

这个因子表示的是它的振荡因子

这个时候它的图形

就是一个衰减的振荡图形

下面这个图形刻画的

就是一个衰减的振荡运动

下面我们来看另外一种特殊情况

也就是第三种情况

我们考虑强迫力ft

等于H乘上sinwt的

无阻尼的强迫振荡的情形

这时候阻尼系数n仍然等于0

所以运动方程就变成了

一个2阶常系数非齐次线性微分方程

它的右端项是H乘上sinwt

它对应的齐次方程的通解

就是y等于A乘上sinwt加上ψ

我们利用待定系数法

考虑到我们设特解的基本原则

因为这个时候

w乘上a它正好是

它对应的齐次方程的一个单特征根

所以这个非齐次方程的一个特解

我们就设为y*等于t乘上括号里面

一个一般的0次多项式

B乘上coswt

再加上一个一般的零次多项式

c乘上sinwt

我们将y*的表达式

y*′′的表达式

代入原来的非齐次方程

我们就会得到

要求的两个待定参数

B就等于负的H除上2倍w

C就等于0

通过这个图形我们可以看出

随着运动的时间越来越长

实际上它的振幅也越来越大

而且可以趋向于无穷大

这就是所谓的共振现象

在这一讲中

我们首先介绍了

马尔萨斯的人口理论模型

和菲尔胡斯的改进模型

记逻辑斯谛方程

逻辑斯谛方程在经济学

医学 生物学等领域

都有着广泛的应用

通过这个例子

可以看出许多理论在建立之初

并不见得完善

正确的态度应该是

首先看看我们如何改进

从马尔萨斯的人口理论模型

到菲尔胡斯的逻辑斯谛方程

就很好的体现了这一思想

在这一讲中

我们介绍的另一个例子

是弹性振动问题

在这个例子中

一方面体现了

数学建模的思想方法

建立了振动物体的位移

满足的微分方程

另一方面通过讨论

无阻尼自由振动

小阻尼自由振动

和特殊的无阻尼强迫振动

这三种情形

体现了科学研究的一种基本方法

也就是在化解问题的同时

要保留问题的主要特征

作为大学先修课程

我们只是介绍了

常规方程的最基本的内容

所以有着广泛应用的一个数学分支

微分方程具有丰富的内涵

也含有许多新的问题

等待着有志者去探索

希望大家都是有志者

谢谢同学们的坚持

也谢谢同学们的陪伴

再见