当前课程知识点：微积分（先修课） > 第一章 极限 > 1.3 极限的性质 > 1.3.1 极限的性质(1)
同学们大家好
欢迎来到大学先修课
微积分MOOC课程
今天我们介绍
第一章 极限
第三节极限的性质（1）
在研究极限的问题时
除了利用极限的定义
更多的是利用极限的有关性质
以及相关的运算法则
在这一讲中我们将介绍
极限的两条基本性质
也就是极限值的唯一性
和收敛函数的局部有界性
我们在书写结论时都是以
x趋向于x0时的极限为例写出的
事实上所有的结论在其它在极限过程下
也是成立的
一极限值的唯一性
关于极限值的唯一性
我们给出如下定理
定理4 如果函数在x趋向于x0时的极限存在
则这个极限值是唯一的
我们给出这个定理的证明
如果我们假设有两个数A和B
使得f(x)在x趋向于x0时的极限既等于A
又等于B
那么对于任意的正数ε
根据函数极限的定义
我们就知道一定存在大于零的数δ
使得当x减x0的绝对值
小于δ大于0时
我们就有
f(x)减A它的绝对值是小于ε的
同时f(x)减B的绝对值也是小于ε 的
根据绝对值的三角不等式
我们知道A减B的绝对值
是小于等于A减掉f(x)的绝对值
再加上f(x)减B的绝对值
所以只要x减x0的绝对值小于δ大于0
我们就有
A减B小于等于
A减f(x)的绝对值加上
f(x)减B的绝对值
而这时这两个绝对值
都是严格小于ε 的
所以我们就得到了
A减B是严格小于两倍的ε
因为A B是常数
而ε 是一个可以任意小的数
所以这时我们就得到
A减B只有等于0
也就是A必须等B
这样我们就证明了
f(x)在x趋向于x0时的极限是唯一的
极限值的唯一性在极限理论里面
是一个非常重要的结果
至少它能够保证我们利用不同的方法
求极限时
我们求得的应该都是
同一个值
下面我们看一下
极限与有界的关系
所谓有界包括
数集有界和函数有界
我们说函数f(x)在一个非空数集上
是有界的那指的是
下面这层意思
也就是
假设f(x)在D上有定义
如果存在两个实数
m和M 使得f(x)大于等于m
小于等于M 这个不等式对于D
中的所有x都成立
我们就说函数f(x)在D上是有界函数
其中 m就称为f(x)在D上的下界
而M就称为f(x)在集合D上的上界
从上面的这个定义可以看出
函数f(x)在D上有界
它的充分必要条件
就是f(x)在D上是
既有上界又有下界的
对于数列来说
说一个数列是有界的
指的是存在一个正数M
对于任意的正整数n
我们都有an的绝对值
是小于等于M的
这时候就说数列an是有界的
好有了函数有界和数列有界
的概念之后
我们来看一下极限与有界的关系
定理5 如果f(x)在x趋向于x0时的
极限是存在的
那么函数f(x)在x0的某个去心邻域
内就是有界的
我们对这个定理做一个简短的证明
因为函数在x趋向于x0的极限存在
我们不妨就把它的极限值设成A
那么对于ε 因为函数在x趋向于x0
时的极限是存在的
我们不妨就把它的极限值记成A
函数在x0点的极限等于A
也就是说对于任意的ε大于0
我们都能找到x0的一个去心邻域
在这个去心邻域中
函数f(x)的图像
应该位于一条水平的带状区域中
所以说
从几何上
我们很容易
就会得到
在x0附近函数就是有界函数
下面我们就用严格的数学语言将
证明写出
我们特别的取 ε=1
我们利用f(x)在x0的极限等A
所以一定存在一个大于0的数δ
只要x减x0的绝对值
它是小于 δ而大于0时
我们就有
f(x)减A的绝对值是小于1的
这时候
f(x)的绝对值一定是小于A的绝对值
加上1的
这就说明函数f(x)在x0的去心邻域
U0（x0,δ ）内是有界的
这样我们就证明了
这个函数在x0附近是有界的
这个性质我们又称为
函数f(x)在极限点附近的局部有界性
也就是说它在一点有极限
那么在这点附近就是有界函数
如果我们考虑的极限过程
是x趋向于正无穷
那么当极限存在时
局部有界性指的是
存在一个正数X
使得函数f(x)在X到正无穷
这个无界区间内是一个有界函数
当极限过程是其它情况时
我们有相应的结论
下面我们给出数列极限存在
与数列有界的关系
这就是定理6
如果数列an的极限存在
那么数列就是一个有界数列
这个定理的证明与定理5的证明是类似的
我们记an的极限就是A
我们取ε =1因为an的极限是A
所以根据数列极限的定义
我们就找到
一个正数N
当n大于N时
我们就有
an减A的绝对值是小于1的
也就是an的绝对值是小于
A的绝对值加1
这说明在N项之后所有的项都是有界的
而在N项之前
只有有限项
所以如果我们取M就等于
a1的绝对值 a2的绝对值
以及aN的绝对值
和A的绝对值加1
这N加1个数中的最大值
那么我们就知道对所有的n来说
an的绝对值总是小于等于M的
也就是说
数列an是一个有界列
这样我们就证完了定理6
定理6说明收敛数列一定是
有界数列
所以说一个数列如果无界
它一定是发散的
有界的数列是否一定收敛呢
我们可以看一下
这个数列就是(-1)的n次方
它是一个有界数列
同时大家也知道它是一个
发散的数列
这说明有界的数列不见得一定收敛
在这一讲中
我们介绍了极限值的唯一性
和收敛变量的有界性
对函数来说
极限存在能够得到
它们在极限点附近是局部有界的
而对数列来说
收敛数列它一定是一个有界数列
同时极限值的唯一性
保证了在求极限值时
我们利用不同的方式
求得的极限值都是相同的
下一讲我们将介绍
极限的另外一个重要性质
也就是极限的保号性质
同时我们还将介绍
函数极限与数列极限的关系
谢谢同学们
下一讲再见
-0.1 绪论
--0.1.1 绪论
-1.1 极限概念引例
--第1.1节测试 极限概念引例
-1.2 极限的概念
--第1.2节测试 极限的概念
-1.3 极限的性质
--第1.3节测试 极限的性质
-1.4 极限的运算
--第1.4节测试 极限的运算
-1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(1) 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(2) 夹逼定理与单调有界收敛定理
-1.6 两个重要的极限
--第1.6节测试 两个重要的极限
-1.7 无穷小量
--第1.7节测试 无穷小量
-2.1 连续函数的概念
--第2.1节测试 连续函数的概念
-2.2. 初等函数的连续性结论
--第2.2节测试 初等函数的连续性结论
-2.3 连续函数的性质
--第2.3节测试 连续函数的性质
-3.1 导数与导函数
--第3.1节测试 导数与导函数
-3.2 微分
--3.2.1 微分
--第3.2节测试 微分
-3.3 导数的运算
--第3.3节测试 导数的运算
-3.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--3.4.1 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--第3.4节测试 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
-3.5 高阶导数
--第3.5节测试 高阶导数
-4.1 极值和极值点
--第4.1节测试 极值和极值点
-4.2 微分中值定理
--第4.2节测试 微分中值定理
-4.3 洛必达法则
--第4.3节测试(1) 洛必达法则
--第4.3节测试(2) 洛必达法则
-4.4 函数单调性的判定
--第4.4节测试 函数单调性的判断
-4.5 函数的极值及其求法
--第4.5节测试 函数的极值及其求法
-4.6 函数的最值及其应用
--第4.6节测试 函数的最值及其应用
-4.7 曲线的凸性和拐点
--第4.7节测试 函数的凸性和拐点
-4.8 曲线的渐近线
--第4.8节测试 曲线的渐近线
-4.9 泰勒（Taylor）公式
--第4.9节测试 泰勒公式
-4.10 原函数与微分方程初步
--第4.10节测试 原函数与微分方程初步
-5.1 定积分问题举例
-5.2 定积分的概念
--第5.2节测试 定积分的概念
-5.3 定积分的基本性质
--第5.3节测试 定积分的性质
-5.4 微积分基本定理
--第5.4节测试 微积分基本定理
-5.5 定积分的几何应用
--第5.5节测试 定积分的几何应用
-5.6 定积分的物理应用
-6.1 换元积分法
--第6.1节测试 换元积分法
-6.2 分部积分法
--第6.2节测试 分部积分法
-6.3 有理函数的积分法
--第6.3节测试 有理函数的积分法
-6.4 定积分应用举例
--第6.4节测试 定积分应用举例
-6.5 反常积分
--第6.5节测试 反常积分
-7.1 无穷级数
--第7.1节测试 无穷级数
-7.2 正项级数
-7.3 比值判敛法和根式判敛法
--第7.3节测试 比值判敛法和根式判敛法
-7.4 一般项级数
--第7.4节测试 一般项级数
-7.5 幂级数
-7.6 函数的幂级数
--第7.6节测试 函数的幂级数
-7.7 泰勒级数
--第7.7节测试 泰勒级数
-7.8 幂级数的简单应用
-8.1 一阶可求解常微分方程
--第8.1节测试 一阶可求解常微分方程
-8.2 一阶线性微分方程
--第8.2节测试 一阶线性微分方程
-8.3 二阶线性常系数微分方程
--第8.3节测试 二阶线性常系数微分方程
-8.4 常系数微分方程简单应用举例
-期末考试
--期末考试说明
-期末考试--期末考试
