5.2.1 定积分的概念(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第二节

定积分的概念

本讲将给出定积分的定义

介绍定积分的几何意义

为了更好地表述定积分的定义

我们先介绍

区间的划分的概念

我们假设点集xk

都包含在闭区间[a,b]内

而且满足a等于x0

x0小于x1一直小于xn

xn等于b

那么我们就称

这n加1个点构成的点集

是这个区间[a,b]的一个划分

xk减1到xk这个区间

我们就称为是划分的一个子区间

当然这个子区间

也是[a,b]区间的一个子区间

我们用△xk

表示第k个子区间的长度

我们记所有子区间

长度里面那个最长的是λ

λ就称为是这个划分的直径

也就是说

对于给定的一个划分来说

我们有唯一的一个划分直径λ

而λ的大小刻画的应该就是

这个划分它的粗细程度

也就是说λ越小

说明这个划分是越细的

λ趋向于0指的就是这个划分

他每一个子区间长度都趋向于0

有了划分的概念之后

下面我们给出定积分的定义

定义1

我们假设函数f(x)

在区间[a,b]上有定义

对于[a,b]的任意划分

x0 x1一直到xn

以及在每一个小区间上

任取的一点ξk

我们做和f(ξk)乘上△xk

对k从1到n求和

如果这个和式

在划分直径趋向于0时

极限存在

我们就说函数f(x)

在区间[a,b]上是可积的

这个和式的极限值

就称为是这个函数f(x)

在区间[a,b]上的定积分值

我们用记号f(x)

从a到b求定积分来表示

也就是函数f(x)

在区间[a,b]上的定积分值

就等于这个和式

在划分直径趋向于0时的极限

在定积分的记号中

f(x)称为被积函数

x称为积分变量

f(x)dx称为被积表达式

a称为积分下限

b称作是积分上限

在我们定义中

这个和式我们又称作是

f(x)在[a,b]区间上的

一个积分和

因为在微积分中

我们介绍的积分

是所谓的黎曼积分

所以说这个积分和

有时候我们也称作是黎曼和

对于区间的一个划分来说

由于在每个子区间上

取点方式是任意的

所以这个和不仅与划分有关

而且与取点的方式也是有关的

在定积分的定义中

我们说划分直径趋向于0时

积分和的极限存在

也就是说当划分直径趋向于0时

无论以何种方式划分

以什么样的方式取点

那么我们得到的积分和

都应该是趋向于同一个值

有了定积分的定义

那么在前面我们介绍的

曲边梯形面积A

就是函数f(x)

在区间[a,b]上的定积分

也就是说曲边梯形面积

就是一个定积分值的大小

同样的

我们介绍的

变速运动物体运动距离S

就是速度函数

在区间[a,b]上的定积分

也就是说我们对速度函数做积分

得到的就应该是距离

那么同样的

物体在变力F的作用下

从点a运动到点b

那么变力做的功就是F(x)

在区间[a,b]上的定积分

也就是W就是F(x)

在[a,b]区间上的定积分值

有了定积分的概念之后

我们可以将

有限个点的平均值的概念

推广到函数f(x)

在一个区间上的情形

一般的如果f(x)

在区间[a,b]上是可积的

那么我们就称f(x)

在[a,b]上的定积分值

除上区间长度b减a

是函数在这个区间上的平均值

结合着我们前面介绍的例子

我们知道比如说曲边梯形

它的平均高度

就可以理解为它的面积

除上他底边的长度

而变速直线运动它的平均速度

就是他走过的距离

除上他走这段距离所用的时间

下面我们利用定义

来做两道具体的题目

例1

我们假设函数

f(x)等于x的平方

在区间[0,1]上是可积的

我们求x的平方

在[0,1]上的定积分值

我们要求这个定积分值

实际上就是利用了

定积分定义中

说如果他是可积的

那么它的任何一个积分和极限

就应该等于定积分的值

那么对这个具体的题目来说

只要我们能够求出

一个特殊的积分和的极限

也就等于我们求得了

我们要求的定积分的值

具体的求解过程是

我们将区间[0,1]等分为n份

分点xk就等于k/n

其中k从0到n取值

在每个小区间上

我们取它的右端点

因为条件告诉我们函数

在[0,1]区间上是可积的

在我们的划分方式和取点方式下

我们知道我们得到的积分和就是

k/n的平方乘上1/n

对k从1到n求和

那么我们要求的定积分的值

就是这个和式

在n趋向于无穷时的极限

我们对这个和式利用

1的平方加2的平方

一直加到n的平方的表达式

就会求出这个和式的表达式是

n乘上n加1再乘上2n加1

除上6倍的n的三次方

这个表达式

在n趋向无穷时的极限

是等于1/3的

也就是说我们要求的

定积分的值就等于1/3

在这个解答过程中

我们的极限过程

用的是n趋向无穷

因为我们具体的划分是等分

所以说划分直径趋向于0

与子区间个数趋向无穷是等价的

下面我们来看第二道例题

我们假设f(x)等于e的x次方

在区间[0,1]上是可积的

我们求这个函数

在[0,1]区间上的定积分值

同样的我们将

[0,1]区间n等份

分点就是xk等于k/n

k从0到n取值

因为这个函数

在[0,1]区间上是可积的

所以我们利用这个划分

以及每个小区间上取右端点的值

就得到了它的一个积分和式

这个积分和式它的极限值

就应该是我们要求的

定积分的值

对于我们做的

这一个特殊的积分和来说

我们利用等比数列

前n项和的公式

我们就能求出

这个和式的表达式

我们再利用前面我们介绍过的

重要极限的有关结论

我们知道1/n除上

e的1/n次方减1

在n趋向无穷时的极限是等于1的

而e的1/n

在n趋向无穷时的极限

也是等于1的

所以我们这个和式的极限是e减1

这就是我们要求的这个定积分的值

这两道例题就告诉我们

在知道定积分存在的前提下

对于简单函数

我们可以用特殊的积分和

来求它的积分值

当然通过这两道例题的求解

我们也可以看出

即使这么简单的函数

我们利用积分和求定积分时

也是需要一些技巧的

所以说怎么样求定积分的值

是我们定积分部分

需要特别关注的一个问题

在后面的章节中

我们会进一步展开介绍

下面我们来介绍一下

定积分的几何意义

也就是说有了定积分的概念之后

我们定积分的值

怎么样与平面图形的面积联系起来

如果我们y等f(x)

他是一个非负连续函数

根据前面

我们曲边梯形面积的例子

我们知道这时候

f(x)在[a,b]区间上的积分值

就是由连续曲线y等f(x)

以及直线x等a x等b

还有x轴他们围成的

曲边梯形的面积

也就是说这时候积分值就是

一块儿平面区域的面积值

同样的如果函数y等f(x)

在区间[a,b]上是连续非正的

那么这个时候f(x)

在[a,b]区间上的定积分值

就应该是等于连续曲线y等f(x)

与直线x等a x等b以及x轴

所围成的曲边梯形面积的负值

也就是在f(x)小于等于0时

那么他在[a,b]区间上的积分值

应该是等于

一块平面图形的面积的相反数

这个等式的关系从几何上看

就可以从图一中能够来得到解释

也就是我们要求的定积分的值

是我们图一中

这个曲边梯形面积的相反数

如果f(x)在[a,b]区间上连续

而且在这个区间上

它既能取到正值也能取到负值

也就是图二中的情况

这个时候f(x)

在[a,b]区间上定积分的值

就是由连续曲线y等f(x)

以及直线x等a x等b还有x轴

所围成的曲边梯形面积的代数和

所谓代数和

也就是这个定积分的值

就应该等于图中面积A1的负值

再加上图二中面积A2的值

再加上图二中面积A3的负值

这就是所谓的代数和

这样无论f(x)

它的正负号如何变化

我们总可以从几何上

来得到定积分值大小的几何解释

下面我们利用定积分的几何意义

做几道具体的例题

例三计算这个定积分值的大小

根据定积分的几何意义

我们知道

给了定积分之后

我们就得到了四条曲线

分别是y等f(x)

y等0 x等a和x等b

对这道具体的题目来说

这四条线分别是x等0 x等2

y等0和y等于根下4减x方

那么从几何上我们知道

y等于根下4减x平方

是一个圆心在原点

半径为2的1/4圆周

所以这四条线围成的平面图形

应该是一个半径

是2的四分之一圆盘

所以我们要求的定积分值的大小

就是这个1/4圆盘的面积

也就是等于半径为2的

圆的面积的1/4

所以这个定积分的值是等于π的

第四道例题

我们假设已经知道x平方

在[0,1]上的定积分是1/3

我们利用定积分的几何意义

来求根下x在0到1上的定积分

在这道例题中

我们不仅要用到定积分的几何意义

同时我们自然要分析

x平方与根下x到底是什么关系

事实上我们知道

y等于x平方和y等于根下x

他是互为反函数的

我们在同一个图中来看

也就是在这个图中

根据定积分的几何意义

我们知道A1这块区域的面积值

就是x的平方在0到1上的定积分值

在这个图中

A2这块区域的面积值等于什么

我们假设在y等于x平方这条曲线上

如果我们给了纵坐标y

他对应的横坐标应该就是根下y

那么我们将A2这个图形

用垂直于y轴的直线去给他划分

就会得到一些小的曲边梯形

我们将这些小的曲边梯形

用相应的小的矩形面积来近似

我们求和取极限

根据我们前面介绍的定积分的定义

我们就知道在图中A2的面积值

就应该是根下y从0到1的定积分值

作为一个定积分来说

它的大小是只与

被积函数和积分区间有关的

所以说图中A2部分的面积值

也就等于根下x

在0到1上的定积分值

这就是这两块

区域面积值之间的关系

这样也就得到了我们题目中

两个定积分值之间的关系

下面我们给出具体的求解过程

因为A1就等于x方

在0到1上的积分也就等于1/3

A2等于根下x在0到1上的积分

而且从图中我们知道

A1和A2之和

应该就是边长为1的

一个正方形面积

也就等于1

所以我们要求的积分值也就是A2

就等于正方形面积减掉A1的值

所以我们求的

定积分值的大小是2/3

下面我们看第五道例题

我们假设知道e的x次方

在0到1上的定积分值是e减掉1

我们利用定积分的几何意义

求lnx在1到e上的定积分值

与第四道例题类似

我们在这个题目中

不仅用到了定积分的几何意义

还用到了指数函数和对数函数

是互为反函数的

下面我们来看他的具体求解过程

在这个图中

我们A1表示的就是e的x次方

从0到1求定积分

而这个图中我们的

A2表示的应该就是

lnx在1到e上的定积分

也就是我们A1就等于e减1

A2就等于lnx从1到e求定积分

从图上我们可以看出

A1加A2应该等于一个长方形面积

这个长方形它的底边长是1

它的高是e

也就是它的面积就等于e

这样我们就得到了

我们要求的定积分

也就是A2就等于e减掉e减1

所以我们最后的

定积分结果是等于1的

在这一讲中

我们介绍了区间划分的相关术语

给出了函数在一个闭区间上

可积的概念和定积分值大小的定义

介绍了定积分值的大小

与相应的平面图形面积之间的关系

我们知道定积分

反映的是函数

在积分区间上的整体作用效果

是积分和

在划分直径趋向于0时的极限

定积分值的大小与被积函数

在有限个点的函数值的大小无关

在可积的条件下

任意一个积分和的极限

都等于定积分的值

利用这个关系我们既可以求

简单函数定积分的值

也可以将特殊的

和式极限转化为一个定积分

利用定积分的几何意义

我们不仅可以求

特殊函数的定积分值

更重要的是

我们能从几何上解释

一些定积分间的关系

这有利于帮助我们

更好的理解相关问题

下一讲将介绍

定积分存在的必要条件和充分条件

谢谢同学们

下一讲 再见