4.9.1 泰勒（Taylor）公式(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第九节

泰勒公式

在所有的函数中

多项式函数是最简单的函数

在一点附近

能否将一般的函数

用多项式函数近似

如果可以的话

多项式函数与函数之间

又有什么关系

多项式函数的值与函数值

之间的差到底有多大

所有这些问题

都会在本节中得到解答

本讲将介绍函数

在一点泰勒多项式的概念

并给出带有

皮亚诺余项的泰勒公式

所谓泰勒公式

主要讨论的就是

如果函数在一点

具有各阶导数时

在这一点附近

我们能不能

用一个多项式来近似这个函数

如果能够用多项式来近似这个函数

那这个多项式与这个函数之间

有什么关系

而函数值与这个多项式之间

它的差别是多少

这就是我们泰勒公式

要处理的问题

在我们的课程中

我们主要根据

函数值与多项式值之差

他们的形式

来介绍两种不同的余项形式

我们首先来看一下

带有皮亚诺型余项

这样的泰勒公式

首先我们从我们熟悉的

函数在一点的连续性出发

如果函数f(x)在x0是连续的

那么根据连续的定义

以及极限与无穷小的关系

我们就知道在x0附近

f(x)就等于f(x0)

加上一个无穷小量

我们换一个角度

来看一下这个等式

也就是说在x0附近

f(x)的值可以用一个常数来近似

这两个值之间的差

就是一个无穷小量

也就是一个极限为0的东西

下面我们来看一下

如果函数在x0这点是可导的

那么根据可导的定义

我们就可以得到

在x0附近

f(x)可以写成f(x0)加上

f'(x0)乘以x减x0再加上

x减x0的高阶无穷小量

这个等式也就是说

在x0附近

我们可以用一个一次多项式

f(x0)加上f'(x0)乘上x减x0

用这个一次多项式的值来近似f(x)

他们之间的差是

x减x0的高阶无穷小

那如果函数在x0这点

具有二阶导数 三阶导数

一直到n阶导数时

我们能不能得到在这点附近

f(x)相应的可以用一个

二次多项式 三次多项式

一直到n次多项式来近似

如果能

那么函数值

与相应的多项式值之间

它的差有多大

该如何表示这个差别

为了讨论这个问题

我们先给出一个多项式的定义

定义6

如果函数f(x)在x0处

存在n阶导数

我们就称下面这个多项式

也就是f(x0)加上

f'(x0)乘上x减x0一直加到

n的阶乘分之一

乘上f的n阶导数

在x0这点的值

再乘上x减x0的n次方

我们就称这个多项式

是函数f(x)

在x0点的n次泰勒多项式

我们用连和号

就可以简单的记作

k的阶乘分之一乘上f的k阶导

在x0这点的值

再乘上x减x0的k次方

对k从0到n求和

这就是函数

在x0这点的泰勒多项式

在这里面

这个系数k的阶乘分之一

f的k阶导在x0这点的值

我们一般就称作是f(x)

在x0这点的泰勒系数

这个定义也就是说

我们只要知道了

f(x)在x0这点的各阶导数值

我们就利用这个各阶导数值

构造了这么一个多项式

所以说这个多项式

只依赖于函数

在这一点的各阶导数值

下面我们就证明这个多项式

具有以下的性质

定理14

如果函数f(x)在x0处

存在n阶导数

那么在x0附近我们就有

f(x)就等于他在x0这点的

n次泰勒多项式的值

再加上x减x0的n次方的

高阶无穷小

这个等式是成立的

这个等式我们就称作是

函数f(x)在x0这一点的

带有皮亚诺型余项的

n阶泰勒公式

其中x减x0的n次方的高阶无穷小

就称为是皮亚诺型余项

这个公式就意味着在x0附近

函数值可以用他的

n次泰勒多项式的值来近似

而两者的误差就是

x减x0的n次方的高阶无穷小

下面我们来证明这个公式

要证明泰勒公式

根据高阶无穷小的定义

也就是要证明f(x)减去

他n次泰勒多项式的值

再除以x减x0的n次方

在x趋向x0时的极限是等于0的

根据泰勒多项式它的定义

我们知道

这个极限是一个

0比0型的分式极限

而且函数f(x)

在x0这点具有n阶导数

也就意味着

他在x0这点附近

具有n减1阶导数

所以我们可以对这个0比0型的

分式极限连续应用

n减1次洛必达法则

我们就得到分母上变成了

n的阶乘乘上x减x0

而分子上就变成了

f的n减1阶导数

减掉f的n减1阶导数

在x0这点的值

再减掉f的n阶导数

在x0这点的值乘上x减x0

在x趋向x0时

这仍然是一个

0比0型的分式极限

但是由于我们不知道f(x)

它的n阶导数在其他点是否存在

所以我们不能继续用洛必达法则

但是我们可以利用在x0这一点

n阶导数的定义

来求最后这个表达式的极限

因为f(x)在x0这点具有n阶导数

所以我们知道f的n减1阶导

减掉它的n减1阶导在x0这点的值

比上x减x0

在x趋向于x0时的极限

就是f的n阶导在x0这点的值

所以我们就知道

下面这个表达式

在x趋向x0时

它的极限是等于0的

这样我们就证明了

f(x)减去他n次泰勒多项式的值

除上x减x0的n次方

在x趋向x0时的极限是等于0的

也就是f(x)就等于

它的n次泰勒多项式的值

再加上x减x0的n次方的高阶无穷小

这样我们就证明了

在给定条件下

我们的公式是成立的

也就是这时候泰勒公式是成立的

事实上我们可以证明

如果一个形如

ak乘上x减x0的k次方

对k从0到n求和

这个形式的多项式

他如果满足f(x)

等于这个多项式的值

在加上x减x0的n次方的高阶无穷小

那么这样的多项式

不是别的

就是函数在x0这点的

n次泰勒多项式

也就是这个多项式中的系数ak

就等于函数在x0这点的泰勒系数

k的阶乘分之f的k阶导

在x0这点的值

这说明满足皮亚诺型余项的

这个形式的多项式是唯一的

下面我们来求几个简单函数

它的泰勒多项式

例1

我们求f(x)等于e的x次方

在x0等于0处的n阶

带皮亚诺余项的泰勒公式

因为这个指数函数

它的k阶导数就是他本身

所以它的k阶导数

在0这点的值就等于1

那么根据带有皮亚诺型余项

泰勒公式的定义

也就是f(x)就等于k的阶乘分之

f的k阶导在0这点的值

再乘上x的k次方

对k从0到n求和

再加上x的n次方的高阶无穷小

我们将导数值代入

就得到f(x)他在0这一点的

n阶带有皮亚诺余项的泰勒公式

就是k的阶乘分之一乘上x的k次方

对k从0到n求和

再加上x n的高阶无穷小

这就是指数函数e的x次方

在0这一点的泰勒公式

下面我们看第二个函数

我们求函数f(x)等于1/1加x

在0这一点的n阶

带皮亚诺型余项的泰勒公式

我们知道这个函数

它的k阶导数就等于

-1的k次方乘上k的阶乘

再除以1加x的k加1次方

在x等于0时

它的k阶导数也就等于

-1的k次方再乘上k的阶乘

这样我们利用n阶

带皮亚诺型余项的

泰勒公式的定义

就知道这个函数f(x)

在0这点的n阶泰勒公式是

-1的k次方乘上x的k次方

对k从0到1求和

再加上x的n次方的高阶无穷小

同样的大家可以得到

函数1/1减x在0这点的n阶

带有皮亚诺型余项的泰勒公式

也就是x的k次方

对k从0到n求和

再加上xn的高阶无穷小

下面我们看第三个函数

我们求f(x)等于ln(1加x)

在x0等于0处的n阶

带皮亚诺余项的泰勒公式

这个函数它的k阶导数

就等于-1的k减1次方

乘上k减1的阶乘

再除以1加x的的k次方

这个时候我们的k是从1

开始取值

那么它的k阶导数在0这点的值

就是-1的k减1次方

再乘上k减1的阶乘

这个函数他在0这点的值

就是f(0)是等于0的

所以这个函数在x0等于0处的

n阶带皮亚诺余项的泰勒公式

就可以写成k分之-1的k减1次方

乘上x的k减1次方

我们对k从1到n求和

再加上x^n的高阶无穷小

下面我们来看第四个函数

我们求函数f(x)等sinx

在x0等于0处的带有

皮亚诺型余项的泰勒公式

我们知道sinx的k阶导数

也就等于sin(x+kπ/2)

所以它的k阶导数在0这点的值

也就等于sin(kπ/2)

那么我们知道k如果是偶数时

这个k阶导数值是0

而k如果是奇数

也就是写成2m加1时

这个k阶导数值

就是-1的m次方

所以根据它的k阶导数

在0这点值的情况

我们就可以写出sinx

在x0等于0处的带有

皮亚诺型余项的泰勒公式

它的泰勒多项式是

2m加1阶乘分之

-1的m次方乘上x的2m加1次方

我们对m从0到n求和

这是一个2n加1次多项式

也就是这是sinx在0这点的

2n加1次泰勒多项式

所以后面我们加的余项形式是

x的2n加1次方的高阶无穷小

因为对正弦函数来说

他在0这点的2n加1次多项式

和他在0这点的

2n加2次泰勒多项式是一样的

所以我们也可以写成

余项形式是

x的2n加2次方的高阶无穷小

这是sinx在0这点的

带皮亚诺型余项的泰勒公式

与sinx的情况类似

我们就可以得到

cosx在0这点的

带有皮亚诺型余项的泰勒公式

也就是2k的阶乘分之-1的k次方

乘上x的2k次方

我们对k从0到n求和

这是cosx在0这点的

2n次泰勒多项式

所以我们的余项形式是

x的2n次方的高阶无穷小

因为cosx在0这一点的

2n次泰勒多项式

和他的2n加1次

泰勒多项式也是一样的

所以余项形式还可以写作

x的2n加1次方的高阶无穷小

在这一讲中

我们利用函数在一点的各阶导数值

定义了他在这一点的泰勒多项式

证明了带有皮亚诺型余项的

泰勒公式

并说明了满足这种性质的

多项式是唯一的

带有皮亚诺型余项的泰勒公式

是在给定条件下我们能够得到的

最好结果

但由于误差只是给出了一种

定性的描述

反映的是在x0附近的性态

所以在应用上

受到了一定限制

下一讲介绍的

带有拉格朗日型余项的泰勒公式

就是在条件加强的基础上

得到了应用更方便的余项形式

也就是拉格朗日余项

谢谢同学们

下一讲 再见