2.3.2 闭区间上连续函数的性质在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第二章

连续函数

第三节

连续函数的性质

在前面

我们已经介绍了

连续函数的一些性质

在这一讲中

我们还要介绍

关于连续函数的两个结果

这两个结果

不仅与

函数的连续性有关

也与我们考虑的范围有关

这就是闭区间上

连续函数的有界性

和最大最小值的存在性

闭区间上连续函数的性质

定理10 如果函数f(x)

在闭区间[a,b]上连续

那么f(x)就在闭区间

[a，b]上有界

也就是存在一个正数M

使得f(x)绝对值小于M

对区间中的任何一个点

x都成立

从几何上看

闭区间上

连续函数的有界性指的是

当函数y等f(x)的图像

是一段

连续不间断的曲线时

将曲线两段按着

在中间向上或向下拉动

只要曲线不被拉断

那么

曲线上的点

就不会无限地高

也不会无限的低

所以函数f(x)是既有上界

又有下界

关于闭区间上的连续函数

我们不仅能够得到

它是有界的

我们可以

进一步得到

下面一个结果

这就是

闭区间上

连续函数的最值存在性

具体内容是

如果

函数f(x)

在闭区间[a，b]上连续

则在区间[a，b]中

存在两个点ξ η

使得

对任意的

区间中的一个点x来说

我们都有

f(ξ）小于等于f(x)

小于等于f(η)

也就是说f(ξ）

是所有点的函数值中

最小的

而f(η)是所有函数值中

最大的

与闭区间上

连续函数的有界性类似

闭区间上

连续函数的最大最小值的存在性

我们也可以

从几何上

做一个解释

也就是说

对于连续函数来说

我们从它的一个端点(a，f(a) )

到另外一个端点(b，f(b))

因为它的图像

是不断开的

所以

无论你的函数值

如何变化

你总有一个

最上面的点

和一个最下面的点

而最上面的点

对应的函数值

就应该是

函数在区间[a，b]上的最大值

同样的

最下面的点

对应的函数值

就是函数

在区间[a，b]上的最小值

对于开区间来说

即使函数是连续的

我们也不能保证

函数在这个区间上是有界的

更谈不上

它有最大和最小值了

比如

我们熟悉的函数

f(x)等于x分之一

它在开区间(a，b)内是连续函数

但是这个函数

在区间（0，1）内

既不存在最大值

也不存在最小值

下面我们看两道例题

例一

我们看一下

在这个图上

我们假设函数f(x)

是闭区间

[a，b]上的连续函数

而且

函数值是非负的

那么它的图像

y等f(x)与直线

x等a

x等b

以及x轴

就围成了一块平面区域

这块平面区域的面积

我们记作是A

我们来证明

在ab之间存在一个点c

使得

这块区域的面积

就等于f(c)乘上b减a

从几何上看

也就是

这个曲边

四边形的面积

应该与一块长方形面积是一样的

下面

我们给出这个结论的证明

因为函数

f(x)在[a，b]上连续

所以它应该有

最大值和最小值

也就是存在ξη两个点

使得f(ξ)是所有值中的最小值

而f(η）是所有函数值中的最大值

那么从图上可以看出

我们那个曲边四边形的面积

应该就介于

f(ξ)乘上b减a

和f(η)乘上b减a之间

我们两端

同除以b减a

我们就知道

A除上b减a

就应该介于它的最小值

和最大值之间

那么

根据连续函数的介值定理

我们知道

存在介于ξ与η之间的点c

使得

f(c)是等于

A除上b减a的

这就是我们要证的结果

下面我们看第二道例题

我们证明

闭区间上

连续函数的值域

是闭区间

我们假设

函数f(x)就在闭区间

[a，b]上连续

我们用Zf表示f(x)在[a，b]上

所有点的函数值

构成的集合

因为f(x)在区间[a，b]上是连续的

所以

它应该存在

最小值点和最大值点

也就是存在ξ η属于[a，b]

使得f(ξ)

是所有函数值中最小的

f(η)是所有函数值中最大的

这说明

对任意的x属于[a，b]

它的任意点的函数值

都是在闭区间

f(ξ)到f(η)之间

也就是说它的值域是包含在

这个闭区间中的

接下来

如果

对这个闭区间中

任何一个数μ

那么我们根据

连续函数的介值定理

就知道

一定在[a，b]中存在某一个点c

使得μ是这一点的

函数值

这样也就是说

区间f(ξ)

到f(η)之间的任何一个数

都是某一点的函数值

所以这样我们就证明了

这个闭区间

又是包含在

这个值域中的

根据

两个集合相等的定义

我们就知道

这个值域

Zf就等于

这个闭区间f(ξ)到f(η)

这样我们也就证明了

闭区间上的连续函数

它的值域

仍然是一个闭区间

我们看第三道例题

我们假设函数

f(x)在[a，b]上连续

而且

对[a，b]中的任何一个点x

总存在[a，b]中的另一个点t

使得f(t)的绝对值是不超过

f(x)绝对值的一半

我们证明

在[a，b]中至少存在一个点ξ

使得

f(ξ)是等于0的

也就是

在给定的条件下

这个函数

在区间[a，b]上

至少要有一个零点

下面

我们给出这个题目的证明

我们用反证法

我们假设

函数f(x)

在[a，b]上没有零点

那么

它的绝对值函数

在[a，b]上也就没有零点

所以

对[a，b]中的任何一个x来说

f(x)的绝对值

就应该大于0

题中的条件

告诉我们

函数

f(x)

在[a，b]上连续

所以它的绝对值函数

也在[a，b]上连续

根据闭区间上连续函数的性质

我们就知道

绝对值函数

在区间[a，b]上

是存在最小值的

也就是

在[a，b]中

存在一个点c

使得

f(c)的绝对值

是这个绝对值函数

在[a，b]区间上的最小值

因为它在任何一点的绝对值

都不等于0

所以说

它的最小值

f(c)的绝对值

是大于0的

根据题目中的条件

我们知道

对于c这个点来说

在[a，b]中

一定存在另外一个点t

使得

t这点的函数值的绝对值

是不超过

c这一点函数值的绝对值的一半

也就是

t这一点函数值的绝对值

要小于

c这一点函数值的绝对值

这个不等关系

它是与

f(c)的绝对值

是绝对值函数的最小值

这个结论矛盾的

这个矛盾说明

我们的假设

是不成立的

所以

我们得到了

函数f(x)

在区间[a，b]上

就至少存在一个零点

也就是

存在[a，b]中的一个点ξ

使得f(ξ)是等于ξ的

在这一讲中

我们介绍了

闭区间上连续函数的有界性

和最大最小值的存在性

连续是函数的一个点性质

而有界性

和最大最小值的存在性

是函数的一个整体性质

如果要想从点性质出发

得到整体性质

对我们所考虑的范围

是有要求的

我们知道

只有当考虑的范围是闭区间时

我们才能保证

由连续

这种点性质

能够得到相应的整体性质

也就是

有界性和最大最小值的存在性

这反应的是

闭区间的特殊性质

到这一讲为止

我们就将连续函数的所有内容

全部介绍完了

从下一讲开始

我们介绍

函数的导数与微分

谢谢同学们

下一讲

再见