1.4.1 极限的运算在线视频

同学们大家好

欢迎大家来到

大学先修课

微积分MOOC课程

今天我们介绍

第一章极限

第四节极限的运算

在函数计算中

四则运算和复合运算

是最常见的函数运算

如果已知某些简单函数的极限

那么如何求

由这些简单函数

通过四则运算和复合运算得到的函数的极限

这就是本讲所要介绍的主要内容

在这一讲中

我们将介绍

极限的四则运算法则

和复合函数求极限的方法

下面我们首先来讨论一下

极限的四则运算

定理10

我们的条件是f（x）

和g（x）在x0这点的极限都存在

极限值分别是A和B

我们得到下面三个结论

第一个结论是说

f(x)加上g(x)它的极限也是存在的

而且极限值就等于A加B

同时f(x)减掉g(x)

它的极限也存在

极限值就是A减掉B

第二个结论是说

f(x)与g(x)的乘积

极限也是存在的

极限值就等于A乘B

第三个结论

在B不等于0的前提下

f(x)除上g(x)的极限

也是存在的

而且它的极限值

就等于A除上B

这就是极限的四则运算法则

这个定理既说明了

相应的极限的存在性

也给出了新的函数的极限值

与原来两个简单函数极限值之间的关系

下面我们来证明一下定理10

第一个结论我们只证明

极限的加法运算

对于任意的正数ε

因为f(x)和g(x)的极限

分别是A和B

所以根据极限的定义

我们就知道

一定存在正数δ

只要x-x0的绝对值

是小于δ而且是大于0时

我们就有

f(x)-A的绝对值

是小于二分之ε

同时g(x)-B的绝对值

也是小于二分之ε

这时我们就有

f(x)+g(x)-(A+B)

根据绝对值的三角不等式

我们将这个表达式

放大到f(x)-A的绝对值

再加上g(x)-B的绝对值

因为我们已经知道

f(x)-A的绝对值

这时是小于二分之ε的

同时g(x)-B的绝对值

也小于二分之ε

这时我们就知道

f(x)+g(x)-(A+B)

它的绝对值

应该是小于ε 的

也就是证明了f(x)+g(x)

在x趋向于x0时的极限

就等于A+B

下面我们来看一下

极限乘法的运算

我们要证明f(x)乘上g(x)

它的极限是A乘B

也就是要证明

f(x)g(x)-AB

它的绝对值是足够小的

因为我们的条件是说

f(x)-A的绝对值

与g(x)-B的绝对值

都是可以足够小的

所以我们做一个恒等变形

也就是将这个绝对值

写成f(x)乘上g(x)

减掉g(x)乘上A

再加上g(x)乘上A

再减去A乘B

这个表达式的绝对值

我们利用绝对值的三角不等式

给它放大到g(x)的绝对值

乘上f(x)-A的绝对值

再加上A的绝对值

乘上g(x)-B的绝对值

因为条件告诉我们

g(x)在x0这点的极限存在

所以根据极限与有界的关系

我们就知道存在一个正数M

及一个大于0的数δ1

只要x-x0的绝对值

是小于δ1

而且大于0

我们就有

g(x)的绝对值

是小于等于M的

对于任意的正数ε

因为f(x)和g(x)

在x0这点的极限分别是A和B

那么根据极限的定义

我们就知道一定存在

一个大于0的数δ2

只要x-x0它的绝对值

是小于δ2 而且是大于0时

我们就有

f(x)-A的绝对值

是小于2M分之ε

同时g(x)-B的绝对值

就小于2A的绝对值

如果我们取δ1 δ2

两个数中的小的数是δ

那么δ是大于0的一个数

而且它满足

当x-x0的绝对值小于δ

而且大于0时

就一定有

f(x)g(x)-AB的绝对值

这时就小于等于ε

这样根据极限的定义

我们就证明了

x趋向于x0时

f(x)g(x)

它的极限

就等于AB

在上面这个证明中

我们是假设f(x)在x0的极限

A是不等于0的

如果A等于0时

它的证明

会更加简单

具体的证明过程

请同学们自己写出

下面我们看一下

除法的运算法则的证明

有了乘法的运算法则

我们只需证明

g(x)分之一的极限

是B分之一就可以了

因为我们的条件是g(x)

在x0这点的极限是B

而且B是不等于0的

所以根据极限的保号性质

我们就知道一定存在一个大于0的数δ1

只要x-x0的绝对值小于δ1

而且大于0时

我们就有

g(x)的绝对值是大于等于

二分之B的绝对值

这样在x-x0的绝对值小于δ1

而且大于0时

我们就有

g(x)分之一减掉B分之一的绝对值

小于等于B方分之二

乘上g(x)-B的绝对值

对于任意的正数ε

因为g(x)在x0的极限是B

所以根据极限的定义

我们能够找到一个大于0的数δ2

使得只要x-x0的绝对值

小于δ2而且大于0

我们就能保证

g(x)-B的绝对值

是小于二分之B方再乘上ε

这时如果我们取δ1 δ2

这两个数中的小的数是δ

那么δ是个大于0的数

而且它满足只要x-x0的绝对值

小于δ而且大于0

我们就有

g(x)分之一减掉B分之一的绝对值

是小于ε的

所以根据极限的定义

我们也就证明了

g(x)分之一在x趋向于x0时的极限就等于B分之一

这样我们就把极限的四则运算法则

给出了一个完整的证明

对于数列来说

它的极限的四则运算法则

具体形式可以写成

如果an它的极限是A

bn的极限是B

那么an+bn

这个数列的极限

就是A+B

an乘上bn

这个数列的极限应该是A乘上B

在B不等于0的前提下

an除上bn这个数列的极限

也存在

而且它的极限值

就等于A除上B

再运用极限的四则运算法则时

大家要注意定理中的条件

定理中的条件

总结起来就有两条

一条是在等号的右侧

用到的极限一定要都存在

另外一条是

参加运算的函数的个数

只能是有限个

我们来看下面两个例题

第一个就是计算n方分之一

加上n方分之二

一直加到n方分之n

这个数列它的极限

对这个数列来说

我们利用1+2一直加到n的计算公式

我们可以得到它的通项

就是二分之一乘上括号里面1+n分之一

所以

这个数列的极限就等于

二分之一乘一

也就等于二分之一

对这个数列

如果大家

先把每一项极限求出来

再求和

应该得到的结果是等于0的

这就说明在这个例子中

先求和后求极限

与先求极限后求和

是不相等的

之所以出现这种现象

原因是

在这个加法运算里面

我们碰到的并不是有限个数列之和

而是无穷多个数列之和

再看第二个例子

我们来看1+n分之一

从k=1到k=n求乘积

因为1+n分之一

与k是无关的

所以说这个乘积就等于

1+n分之一括起来的n次方

在后面我们会讨论这个数列的极限

我们可以证明这个数列的极限是存在的

而且它的极限值就是我们自然对数的底

所以说它的极限值应该约等于2.71828

同样地

在这个例子中

如果我们先求极限后求乘积

那么得到的结果

应该是等于1的

这说明对这个数列来说

先乘积后求极限

与先求极限后乘积

也是不等的

理由同样是因为在这个计算中

我们碰到的并不是有限个数列的

的乘积

而是无穷多个数列的乘积

这两个例题主要就是告诉大家

极限的四则运算对有限个函数

有限个数列都是没有问题的

但是

对于无穷多个函数

或者是无穷多个数列的情况

结论不能直接套用

下面我们再看几个利用四则运算

求极限的例子

例1

我们计算x的3次方减去2x的平方加2这个函数

在x趋向2时的极限

因为我们知道x三次方在x趋向2时

的极限是8

x平方在x趋向2时的极限是4

常数2在x趋向2时的极限是2

所以我们利用前面介绍的极限的

加减运算

就会得到我们要求的极限值

就等于8减掉2乘4再加上2

最后的极限值

就是2

下面我们来看第二个例题

我们求一下3倍的x5次方

减掉2倍的x加1

除上2倍的x

5次方

加上16倍的x

4次方

在x趋向无穷时的极限

这个分式在x趋向无穷时

它的分子分母极限并不存在

但是大家知道

如果我们把它的分子分母

同除以x

5次方

就会得到分子是3减掉2除上x

4次方

加上x

5次方分之一

分母就变成了2加上

16除上x

那么在x趋向无穷时

这时候

它的分母就趋向于2

而分子就趋向于3

所以说

根据极限的四则运算

我们知道

最后要求的极限值

就等于2分之3

我们来看第3个例题

我们求一下

x的平方+x-6

除上

根下x减掉根下（4-x）

在x趋向2时的极限

同样的

在x趋向2时

这个分式

它的分子

分母尽管都有极限

但是在x趋向2时

分子分母的极限都是等于0的

所以我们不能直接

利用极限的

除法运算

但是大家知道

之所以在x趋向2时

分子分母都趋向于0

这正好说明分子分母

都有x-2这个因子

所以我们就利用因式分解

和有理化的方法

将

在x趋向2时那个趋向于0的因子

也就是x-2

给它找出来

因为在x趋向2的过程中

x-2并不等0

我们分子分母同除x-2

这样我们要求的极限值

就与x+3乘上括号里面

根下x+根下(4-x)

再除上2

就与这个表达式在x趋向2

的极限是相等的

而这个表达式在x趋向2时

我们知道x+3极限是5

根下x+根下（4+x）的极限是

2倍的根下2

所以

利用极限的四则运算

我们就得到

最后我们要求得极限值

是5倍的根下2

下面我们来看第4个例题

我们求(1-x)分之一

减掉(1-x^3)分之三

在x趋向1时的极限

这个函数由两个函数做减法得到

但是

在x趋向于1时

这两个函数的极限

都不存在

这样的函数极限问题又如何处理呢

因为它是分式的加减运算

所以我们先对分式做通分

通分完之后

我们发现分子分母都含有x-1

这个因子

那么将这个因子消掉

我们就知道在x不等于1时

我们要求极限的函数

它的函数值就等于

x+2除上(1+x+x^2)

它的负值

所以说我们最后要求的极限值

也就等于-3除上

分母上是三个1相加

所以最后的结果

就是

极限值等-1

接下来我们来看一下

第5个极限

我们来求一下k次根下（1+x）

减掉1再除x

在x趋向0时的极限

与前面的例3有些类似

这个函数在x趋向于0时

它的分子分母极限都等于0

所以这个极限不能直接套用

极限的除法运算

我们利用

a-b等于a的k次方-b的k次方

再除上a的(k-1）次方

一直加

加到b的(k-1)次方这个公式

我们就将

这个分子进行变形

也就是

k次根下(1+x)再减掉1

就应该等于1+x-1

再除上这个分母

这样

我们就知道

我们要求极限的这个函数

实际上就等于

1除上k次根下(1+x)

括起来的(k-1)次方

一直加到k次根下(1+x)

括起来的0次方

也就是1

而分母中共有k项

在x趋向于0时

每一项的极限都是1

所以利用极限的四则运算

我们知道

要求的极限值

就等于k分之1

下面我们来看一下第6道例题

我们假设a大于0

b大于0

我们来求5倍的a的x次方

减掉3倍的b的x次方

除上5倍的a的x次方

加上3倍的b的x次方

在x趋向于正无穷时它的极限

在这个极限中因为a

b是参数

那么a b的大小关系

能够影响到这个极限值的大小

所以我们在求这个极限时

要分几种情况进行讨论

如果a=b

那么我们知道

这个分式

就等于2倍的a的x次方

除上8倍的a的x次方

所以

它的极限

就是4分之1

如果a是大于b的

那么我们分子分母

就同除以a的x次方

这个时候我们就可以利用b

除上a是大于0小于1的

所以 a分之b括起来的x次方

在x趋向正无穷时

它的极限就等于0

利用极限的四则运算

我们就得到这时要求的极限值

就等于1

如果a是小于b的

我们分子分母就同除以

b的x次方

这时b分之a括起来的x次方

在x趋向于无穷时的极限

是等于0

最后就得到

我们要求的极限值

是等于-1的

上面的几道例题主要介绍了如何

利用极限的四则运算

求具体函数的极限问题

在有些极限计算问题中

有时

不能直接套用四则运算法则

这时候大家一定要分析原因

对有些极限问题来说

我们可以通过

上述几个例题中的变形方式

经过对极限进行简单变形后

继续再用四则运算法则

直至最后求出极限的值

下面我们看一下复合函数的极限

关于复合函数的极限

我们有下面结论

定理12

我们假设函数

y=f(g(x))是由函数u=g(x)

与函数y=f(u)复合而成

如果g(x)在x0这点的极限是u0

f(u)在x0这点的极限是A

而且x不等于x0时

g(x)的函数值是不等于u0的

那么我们得到的结论是

复合函数在x趋向x0时的极限

存在

而且极限值就等于A

关于这个定理

在给出证明之前

我们先解释一下

定理中的这个条件

也就是

当x不等于x0时

要求g(x)的函数值是不等于u0的

我们可以看两个具体的函数

比如说

f(u)它的定义是这样子的

在u不等于0时

函数值恒等于1

在u等于0时

函数值就等0

而g(x)这个函数

它的定义是这样给出的

如果x是有理数

那么函数值就是x

如果x是无理数

那么函数值就等于0

对这两个函数来说

我们很容易就得到

f(u)在u趋向0时的极限

存在

而且是等于1的

而g(x)在x趋向0时的极限

也是存在的

极限值就等于0

如果我们把它的复合函数求出来

那就能够得到它的表达式是

在x属于有理数而且x不等于0时

复合函数的函数值是等于1的

而在x是无理数或者是x=0时

复合函数的函数值是等于0的

那么对这个复合函数来说

我们知道在x趋向于0时

它的极限是不存在的

也就是说

在我们上面介绍的定理12中

x不等于x0时

要求g(x)不等于u0这个

条件是必要的

下面我们给出复合函数求极限

这个运算法则的一个证明

对于任意的正数ε

首先因为f(u)在u0这点的极限等于A

所以我们一定能找到

一个大于0的数δ 一撇

使得只要u-u0的绝对值是小于δ 一撇

而大于0时

我们就有f(u)-A的绝对值是小于ε 的

而对于

我们取得的δ 一撇来说

又因为g(x)

在x趋向x0时的极限

是等于u0的

而且x不等于x0时

它的函数值g(x)也不等于u0

所以我们能找到一个大于0的数δ

只要x-x0的绝对值小于δ大于0

我们就有g(x)-u它的绝对值是

小于δ一撇而且是大于0的

这样

我们就能保证f(g(x))这个复合函数

的函数值减掉A它的绝对值

就小于ε

那么根据函数在x0这点极限的定义

这样我们也就证明了复合函数

在x趋向x0时

它的极限值就等于A

在我们的定理12中

如果将条件g(x)在x0这点的极限等于u0

换作g(x)

在x0这点它是一个无穷大量

或者是

g(x)在x趋向无穷时它是个无穷大量

而将关于f(u)的条件

也就是f(u)在u0这点的极限等于A

我们换作f(u)

在u趋向于无穷时的极限是A

如果这些条件作了相应改变之后

我们仍然可以得到类似地结果

也就是复合函数f(g(x))

在x趋向x0时的极限等于A

或者是

复合函数f(g(x))在x趋向无穷时的极限

等于A

也就是说只要相应的极限过程是对应的

我们复合函数的极限运算法则

仍然是成立的

有了复合函数极限的运算法则之后

我们来看一类具体的函数的极限求值问题

例7

我们设u(x)在x0这点极限是a

而且a是大于0的

函数v(x)在x0这点的函数是b

我们求证函数u(x)的v(x)次方

在x0这点的极限是a的b次方

我们记y等于u(x)的v(x)次方

根据对数函数的性质

我们就得到y的自然对数

应该等于

v(x)乘上u(x)的自然对数

因为

在给定的条件中

极限值a是大于0的

而且

对数函数在自变量趋向a时的极限

就是a的自然对数

又

条件中给出了

函数u(x)在x0处的极限是等于a的

所以根据复合函数的极限运算法则

我们就得到

u(x)的自然对数

在x趋向x0的极限就是a的自然对数

那么

利用极限的乘法运算法则

我们就得到

y的自然对数

它的极限

就等于

v(x)的极限乘上u(x)的自然对数的极限

也就是它的极限值等于

b乘上a的自然对数

也就是等于a的b次方的自然对数

我们利用指数和对数

互为反函数这个性质

以及复合函数的极限运算法则

我们就能求出

y在x趋向x0时的极限

就等于a的b次方

在这个例题中

函数u(x)的v(x)次方

我们就称为幂指函数

这个例题

实际上给出了

在一定条件下

幂指函数求极限的方法

在这一讲中我们介绍了

极限的四则运算法则

和复合函数求极限的方法

在运用这些法则计算极限时

我们一定要注意条件是否满足

如果不能直接运用运算法则时

我们要了解和

掌握一些常见的变形方式

极限求值是在

极限存在的前提下进行的

如何判断极限是否存在

在后面的两讲中

我们将介绍常用的

判断极限存在的方法

也就是要介绍

关于极限的

夹逼定理和单调有界收敛定理

谢谢同学们

下一讲再见