5.2.2 定积分的概念(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第二节

定积分的概念`

有了定积分的概念后

一个函数的定积分是否存在

就是我们首先要关注的问题

本讲将给出并证明

函数可积的一个必要条件

给出函数定积分存在的

几个充分条件

有了定积分的定义之后

下面我们来介绍一下

什么样的函数才有可能是可积的

以及什么样的函数

他一定是可积的

也就是我们要介绍一下

关于可积的必要条件和充分条件

首先我们来看

定积分存在的必要条件

根据定积分的定义

函数f(x)在[a,b]上的

定积分等于I

指的是它的积分和

在划分直径趋向于0时的极限

是等于常数I的

根据极限的定义

也就是说对于任意的ε大于0

我们存在δ大于0

对于区间[a,b]的任意划分

只要划分直径λ小于δ

那么对任意的取点方式来说

我们都有它对应的积分和

减掉定积分值这个绝对值

是小于ε的

特别的如果我们取ε0就等于1

那么相应于ε0等于1

我们就会存在一个确定的δ0

对于区间的任意划分来说

只要划分直径λ小于δ0

无论怎么样取点

那么我们得到的积分和

减掉定积分的值再取绝对值

总是小于1的

也就是在λ小于δ0时

我们知道无论怎么样取点

我们得到的积分和的绝对值

总是小于定积分的绝对值加上1的

这个不等式说明

当划分直径小于δ0时

对所有的取点方式来说

它对应的积分和都是有界的

这是根据极限的定义

以及定积分的概念

我们得到的一个结果

下面我们就利用

得到的这一个结果

来证明函数可积的

一个必要条件

定理1

假设函数f(x)

在区间[a,b]上有定义

如果函数f(x)

在区间[a,b]上是可积的

那么f(x)在[a,b]区间上

一定是有界的

这就是我们得到的

定积分存在的必要条件

有了这个定理之后

那么对于无界函数来说

就没有定积分问题需要讨论了

也就是我们只对有界函数

才可以讨论它的定积分

是否存在的问题

下面我们给出定理1的证明

我们利用反证法

也就是我们假设f(x)

在[a,b]上是无界的

我们来推矛盾

为了书写方便

我们不妨就假设函数f(x)

是在a点的右侧附近无界

因为f(x)在[a,b]上可积

所以就存在δ0大于0

对[a,b]的任意划分来说

只要划分直径λ小于δ0

无论怎么样取点

我们知道这个时候得到的积分和

总是有限的

这是我们前面已经得出的结论

现在我们就取

定区间[a,b]的一个划分

使得这个划分的划分直径就小于δ0

在这个划分中

我们取第二个子区间

一直到第n个子区间的n减1个点

我们用ξ一杠k来表示

我们把这些点取定

对于任意的正数M来说

因为函数f(x)在第一个子区间

x0一杠到x1一杠上

是一个无界函数

所以我们在这个子区间中

一定能找到一点

使得函数在这一点的函数值

也就是fξ一杠1它的绝对值

是比已给定的任何一个正数

都要大的

现在我们知道M已经给出来了

是一个确定的正数

我们的划分已经取定了

而从第二个区间到第n个子区间

我们的点也取定了

所以说fξk一杠乘上δk一杠

k从2到n求和它的绝对值

也是一个定值

而Δx1一杠也是一个定值

这样我们就知道

这个表达式表示的是定值

所以我们总可以在第一个子区间中

找到ξ一杠1

使得这点的函数值的绝对值

比这个定值来得大

也就是得到了下面这个不等式

有了这个不等式之后

那么我们就得到了一个具体的和式

也就是f(ξ一杠k)乘上Δx一杠k

对k从1到n求和

这就是一个具体的积分和式

这个积分和式的绝对值

我们利用绝对值的三角不等式

他应该大于f(ξ一杠1)

它的绝对值

乘上Δx一杠1减掉

后面这个和式的绝对值

而根据我们ξ1一杠的取法

我们知道这个差是大于M的

这个不等式说明

对任意的M大于0

我们找到了一个

划分直径小于δ0的划分

找到了一个具体的取点方式

使得他们得到的积分和

绝对值是比M大的

这个结论就与f(x)它的积分和

在λ小于δ0时

是有界的是矛盾的

这个矛盾说明

我们的假设是错误的

所以说如果函数是可积的

那么函数就一定是有界的

这样就得到了可积的必要条件

当然这仅仅是一个必要条件

因为我们的下面一个例题就说明

有界不见得可积

我们看一下例1

我们定义一个函数

有理数对应的函数值等于1

无理数对应的函数值等于0

我们证明这个函数

在区间[0,1]上是不可积的

前面我们曾经讨论过

利用定积分的定义求定积分的值

当时利用的是只要可积

那么任何一个积分和的极限

都等于定积分的值

现在我们仍然用定积分的定义

来证明这个函数

在[0,1]上是不可积的

我们只要能够证明

能找到它的两个特殊的积分和

他们的极限不相等就可以了

具体的证明过程就是

我们假设x0到xn是一个划分

我们在第k个小区间中

任取一个有理点ξk

那么这种划分和这个取点方式

对应的积分和就等于

子区间的长度之和也就等于1

我们再在第k个小区间中

任取一个点是无理点

那么这种划分和这种取点方式

对应的积分和

由于函数值总是等于0的

所以说积分和也是等于0的

因为f(ξk)乘Δxk

对k从1到n求和

以及f(ηk)乘上Δxk

对k从1到n求和

都是函数f(x)在区间上的积分和

但是这两个积分和在划分直径

趋向于0时的极限

一个是等于1

一个是等于0的

这就说明这个函数

在区间[0,1]上是不可积的

所以说有界仅仅是可积的必要条件

关于什么样的函数一定是可积的

我们不加证明的给出

常用的几个结论

我们常用的第一个结论

也就是定理2

如果函数f(x)

在区间[a,b]上是连续函数

那么f(x)在区间[a,b]上

就是可积函数

也就是说连续函数的定积分

一定是存在的

我们常用的第二个结论

就是定理3

也就是如果函数f(x)

在区间[a,b]上是单调函数

那么他一定是

区间[a,b]上的可积函数

也就是说单调函数

无论连续与否

它的定积分都是存在的

我们常用的第三个结论

我们写成定理4

也就是如果函数f(x)

在区间[a,b]上有界

而且只存在有限个间断点

那么f(x)在区间[a,b]上

就是可积的

这是我们常用的

关于定积分存在的

三个充分条件

这三个结论有了之后

我们就知道在微积分中

我们碰到的绝大部分函数

定积分都是存在的

所以说关于定积分

我们主要讨论的问题

是定积分的运算问题

和定积分的应用问题

而关于定积分的存在问题

我们在微积分课程中

不做进一步的讨论

最后我们来看一道例题

例2

我们将下面这一个和式的极限

表示成定积分的形式

这个例题想要解决的问题是

有了定积分的概念之后

我们可以将一些无穷和的极限问题

转化成定积分的计算问题

要想把一个无穷和

表示成是定积分

实际上也就是要想办法

对这个和式中的通项做变形

给他转化成是某一个函数

在某一个点的值乘上

子区间长度这个形式

然后在函数可积的前提下

我们就能把这个极限值转化成

一个函数在某个区间上的定积分值

下面我们来看

这道例题的具体求解过程

我们对这个和式变形

也就是我们提出一个n分之1

这个和式就写成了

1除上根下1加n分之k的平方

再乘上n分之1

对这个新的和式形式

n分之1我们可以理解成是

将一个长度为1的区间n等分

每一份的长度就是n分之1

而n分之k我们可以理解成

是将[0,1]区间n等份之后

每一个子区间的右端点

就是n分之k

也就是说对这个和式

这种新的表现形式来说

我们可以理解作是

将区间[0,1]n等份

取子区间的右端点n分之k

那么对函数f(x)等于

根下1加x方分之1做一个积分和

也就是f(ξk)乘上n分之1

对k从1到n求和

就是我们这个新的积分和的形式

又因为我们这个函数f(x)

在[0,1]上是连续的

所以它的定积分是存在的

那么在n趋向无穷时

这个积分和的极限就应该是等于

这个函数在[0,1]上的定积分

也就是我们要求的极限值

可以转化成根下1加x方分之1

这个函数在[0,1]上的定积分值

在这一讲中

我们给出并证明了

可积函数一定是有界函数这一结果

这说明只有闭区间上的有界函数

才需要讨论定积分是否存在的问题

我们给出的可积的充分条件说明

一些常见函数像连续函数 单调函数

只有有限个间断点的有界函数

都是闭区间上的可积函数

关于函数可积性的讨论

已超出了本课程的要求

所以在处理定积分问题时

我们总是假设函数是可积的

下一讲将介绍

定积分的性质

谢谢同学们

下一讲 再见