1.6.2 两个重要的极限(2)在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课微积分课程

今天我们介绍

第一章极限

第六节

两个重要极限

1+x分之1的x次方

在x趋向无穷时的极限

是一个

1的无穷次方

型的幂指函数极限

关于这个结果

我们没有直接的

运算法则可以利用

在前面介绍

单调有界收敛定理时

我们曾经证明了

1+n分之1的n次方

在n趋向无穷时的极限

等于e

在这个极限问题中

极限变量n是离散的

在这一讲中

我们将

利用夹逼定理

再利用

极限变量离散时的结果

得到极限变量连续时的结论

也就是得到

1+x分之1的x次方

在x趋向无穷时的极限

也等于1

下面

我们来看

第二个重要极限

也就是

1+x分之1

它的x次方

在x趋向无穷时的极限情况

首先

我们考虑

这个表达式

在x趋向正无穷时的极限情况

在介绍数列极限时

我们曾经利用单调有界收敛定理

证明过

(1+n分之1)的n次方

在n趋向无穷时

它的极限是存在的

我们将它的极限值就记做e

我们为了用上

已知的结果

我们就

利用取整函数的定义

我们知道

x是大于等于x的取整

而小于等于x取整加1

我们给它做一个倒数

再加上1

我们就会得到

1+x分之1是

小于等于(1+[x])分之1

又大于等于1+(1+[x])分之1

我们在不等式的两端

同时求一个x方次

根据幂函数的单调性

我们就得到

(1+x分之1)的x次方

就小于等于

(1+[x]分之1)的x方次

也大于等于

(1+([x]+1))的x的方次

我们对这个不等式的右端

和这个不等式的左端

利用指数函数的单调性

我们进行放大和缩小

就会变成(1+x分之1)的x次方

应该就小于等于(1+[x]分之1)

它的取整次方

再乘上(1+[x]分之1)

同样我们将左边处理成

(1+([x]+1)分之1)的([x]+1)次方

再除上

(1+([x]+1)分之1)

那么在这个不等式的左端

和右端

我们利用已知的结果

就是(1+n分之1)的n次方

在n趋向无穷时的极限等于e

我们就知道

左边这个极限

在x趋向正无穷时

它是趋向于e的

而右边这个极限

在x趋向无穷时

它的极限也等于e

那么利用夹逼定理

我们就得到了

x趋向正无穷时

(1+x分之1)做x次方

应该是等于e的

为了得到我们的结果

我们再考虑

x趋向负无穷时的情况

我们做一个简单的变量替换

也就让x等于-t

那么

我们就将(1+x分之1)

它的x次方

就变成了

(1+(t-1)分之1)

做(t-1)次方

再乘上

(1+(t-1)分之1)

因为在x趋向负无穷时

t是趋向正无穷的

利用我们前面

刚刚得到的结果

我们就知道

在t趋向正无穷时

(1+(t-1)分之1)的(t-1)次方

极限就等e

而另外一个因子

在t趋向于正无穷时

极限等1

所以

这样我们就得到了

x趋向负无穷时的极限

仍然是e

那么根据

我们前面介绍

x趋向无穷时的极限

和x趋向正无穷

以及x趋向负无穷时的极限的关系

我们就证明了

我们这个极限

它是存在的

它的值就等于e

对于这个极限

我们有时也写作

(1+x)的x分之1次方

在x趋向于0时

它的值就等于e

在这个极限表达式中

底数是写成了1加上

一个趋向于0的东西

而指数应该是

这个趋向于0的表达式

的完全倒数

只要是这样的幂指函数

那么它的极限就等于e

下面

我们利用这个

极限的结果

来求

几个其它极限的值

第一个例题

我们求一下

(1+x分之m)做x次方

在x趋向无穷时的极限

这就是一个所谓的

幂指型的函数

在x趋向无穷时

它的底数是趋向于1的

指数趋向无穷

为了用上我们刚刚得到的

极限结果

我们就将

这个表达式

进行变形

我们给它写成

(1+x分之m)

做m分之x次方

为了保持恒等

我们再在这个基础上

再做m的方次

那么在这个中括号里面

在x趋向无穷时

这个表达式的值

它是趋向于e的

所以说我们要求的

这个极限的值

就应该是e的m次方

我们看第二道例题

我们求((x+5)除上(x+2))

它的(x+3)次方

在x趋向无穷时它的极限

对于这个幂指函数来说

我们容易判定

在x趋向无穷时

它的底数是趋向1的

指数仍然趋向无穷

为了用上我们的重要极限

我们对它进行变形

也就写成(1+(x+2)分之3)

我们在这做一个3分之(x+2)次方

为了保持恒等

在中括号外面

我们再做一个(x+2)分之3次方

注意到

原来它的方次是(x+3)

在这个形式下

中括号里面的表达式

在x趋向无穷时

它的极限就应该是e

而指数上它的分子是3(x+3)

分母是x+2

在x趋向无穷时

这个分式的极限就等于3

所以我们要求的极限值

就是e的3次方

下面我们来看第三道例题

我们求两个极限的值

第一个极限

是ln(1+x)除上x

在x趋向0时的极限

第二个极限是e的x次方-1

除上x

在x趋向0时的极限

我们先求第一个极限

我们知道(1+x)

它的x分之1次方

在x趋向0时极限等e

而且u的自然对数

在u趋向e时

极限就是e的自然对数

也就等于1

那么利用对数的性质

我们知道

我们要求极限的这个表达式

可以写成(1+x)的x分之一次方

求自然对数

那么利用复合函数的极限运算

我们最后的结果

应该就等于1

接下来

我们来求第二个极限的值

我们做一个简单的变量替换

就是令e的x次方-1等于t

那x=ln(1+t)

而且我们知道

当x趋向于0时

t也是趋向于0的

这样

我们就将我们要求的极限问题

转化成了极限t除上ln(1+t)

在t趋向于0时的极限

这应该就等于

第一个极限的倒数

也就等于1

利用我们第二个极限值

我们可以求出a的x次方-1

除上x

在x趋向于0时的极限

是等于lna

下面我们看第四道例题

求一下(1+sinx)做(2x)分之1次方

求在x趋向于0时

这个表达式的极限

在x趋向于0时

底数是趋向于1的

指数是个无穷大量

我们利用重要极限

我们就要做变形

也就是将这个表达式

化作(1+sinx)

做sinx分之1次方

为了保持恒等

我们指数上变成了(2x)分之sinx

我们知道在这个形式下

底数的极限就是e

而指数的极限

利用第一个重要极限

我们知道是1/2

所以我们要求的这个极限值

就等于e的1/2次方

我们来看第五道例题

函数的表达式

底数是cosx

指数是1除上sinx的平方

我们的极限过程是x趋向于0

在x趋向于0时

我们知道

底数是趋向于1的

指数是个无穷大量

我们同样

利用我们的重要极限

所以我们将

这个表达式进行变形

中括号里面我们写作

1+(cosx-1)

它的指数部分我们写作

1除上(cosx-1)

为了保持恒等

这个表达式的指数

我们写成

(cosx-1)

再除上sinx平方

在这个表达式中

大括号中的部分

极限就是e

而指数的极限

利用我们前面得到的极限结果

我们能够求出来

它的极限是-1/2

所以我们要求的极限值

应该是(根下e)分之1

下面我们看最后一道例题

我们假设将一笔本金P0存入银行

年利率是r

而且是以复利方式计息

我们先求一下到第t年末

将增值到Pt

那么Pt的值等多少

在这个题目中所谓的复利计息

就是将

每个存期的利息在存期末

再作为本金

再算入下一个存期

那么根据题意

将P0存入银行

一年末的本金和利息

加起来就是P1

P1=P0(1+r)

类似地我们将

第一年末得到的P1

再作为第二年的本金

存入银行

那么第二年末

它的本金和利息之和

P2=P0(1+r)的平方

类似地

我们就可以求得第t年结束之后

本金和利息之和

Pt=P0(1+r)的t次方

下面我们将这个问题做进一步的讨论

如果我们把一年

分成n个计息周期

这时每期的利率我们

可以认为是n分之r

而利用上面同样的方法

我们就可以推得

到了第t年

结束

那么它的本金和利息之和

Pt就变作P0(1+n分之r)

nt作为方次

如果我们让每年的计息的

次数n趋向于无穷

那么根据上面介绍的

重要极限

我们就能得到第t年结束之后

本金和利息之和它的变化趋势

也就是它的趋向应该就等于

P0乘上e的rt次方

这个结果就是我们简单的

连续计息时

本金与利息之和的计算公式

这也是连续计息时

复利的计算公式

在这一讲中我们介绍了

利用夹逼定理与(1+n分之1)

的n次方在n趋向于无穷时的

极限等于e

求得了(1+x分之1)的x次方

在x趋向无穷时的极限

也等于e的结论

并且给出了ln(1+x)除上x

在x趋向于0时的极限等于1

e的x次方减1

除上x

在x趋向于0时的极限等于1

以及a的x次方减1除上x

在x趋向0时的极限

等lna

这几个常用的极限结论

在处理1的无穷次方型的

幂指函数极限

和处理0比0的分式极限时

这几个极限结论都是我们常用的结果

在下一讲中我们将介绍

无穷小量和无穷大量的有关内容

谢谢同学们

下一讲再见