4.10.2 原函数与微分方程初步(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第十节

原函数与微分方程初步

我们知道

函数关系是客观事物的

内部联系在数量方面的反应

利用函数关系可以研究

客观事物的变化规律

因此如何寻找函数关系

就具有重要的意义

在大量的实际问题中

反映变量与变量之间的函数关系

往往不能直接建立

但在一定条件下

我们却能够得到

变量与他们的变化率之间的关系

当变量连续变化时

变化率就是导数

这种含有未知函数的导数

或微分的方程

就是微分方程

本讲将介绍

微分方程的基本概念

和一类简单微分方程的求解方法

我们首先介绍

微分方程的有关概念

为了说明我们微分方程

要处理的基本问题

和微分方程牵扯到的

一些基本概念

我们先看几道例题

第一道例题

我们假设曲线y等y(x)

在每一点(x,y)处的切线斜率

就等于两倍的x

而且假设这条曲线

是经过(1,2)点

我们求这条曲线的方程

这个问题我们在不定积分部分

曾经做过介绍

我们来看这道题的具体解答

我们根据导数的几何意义

我们就知道y'(x)

是等于两倍x的

而且当x等1时

y的值是等于2的

也就是我们要根据这两个条件

来将y(x)的表达式求出来

我们由y'等于两倍x

我们就知道y就等于x平方加上C

其中C是任意常数

因为x等1时

y是等于2的

所以我们就会求得C是等于1的

这样我们就得到了

曲线的方程就是

y等于x的平方加上1

在这道例题中

我们就碰到了未知函数的导数

等于两倍x这个等式

这实际上就是一个

简单的微分方程

下面我们看第二道例题

与第一道例题类似

我们确定一条

过点(0,2)而且曲线上任意一点

(x,y)处的切线与坐标原点

到这个点的连线是垂直的

这样的曲线

我们根据导数的几何意义

那么曲线y等y(x)

在点(x,y)处的切线斜率

就是y关于x的导数

坐标原点到点(x,y)处的

连线的斜率

就是y比上x

两条直线垂直

说明这两条直线的

斜率是互为负倒数

所以我们就得到了

y关于x的导数就等于

负的x除上y

我们将这个等式变形

就会变作y乘上dy

等于-x乘上dx

在这个等式两端

我们做积分就会得到

1/2倍的y的平方等于

-1/2倍的x的平方

再加上常数C

我们整理之后就可以记作

是x的平方加上y的平方等于C

C是任意常数

因为这条曲线他是

过(0,2)这一点的

所以我们就能得到

C是等于4的

这样我们就得到了

我们要求的曲线方程是

x方加上y方等于4

这是一个圆心在原点

半径为2的圆周的方程

下面我们来看第三道例题

我们假设某人

以本金A0进行一项投资

投资的年利率是r

如果我们以连续复利计算

我们来求t年末

这个人的本金与利息之和是多少

我们假设在t时刻

这个人的本金与利息之和

用A(t)来表示

那么在t时刻这个人

他总的资金的变化率

也就是A(t)关于时间t的导数

也就等于在t时刻

这个人的资金总额获取的利息

这个利息是利率乘上资金数A(t)

所以我们就得到了

一个等式A关于t的导数

等于r乘上A

我们将这个等式进行变形

就会得到dA除上A

等于r乘上dt

我们对这个等式两端做积分

就会得到A的自然对数

应该等于r乘上t再加上一个常数C

我们整理之后就可以将

A(t)表示成常数C乘上e的r乘t次方

其中C是任意常数

因为在t等于0时

这个人的本金就是A0

所以我们就会得到

常数C就等于A0

所以在第t年末

这个人的本金与利息之和

就等于A0乘上e的r乘t次方

下面我们看第四个例题

我们假设

某列车以每秒30米的速度在行驶

从某个时刻开始

列车以0.4每秒方米的

制动加速度开始制动

我们求这列火车它的制动距离

我们假设

在制动过程中列车的运动距离

与时间的关系

也就是它的运动方程为S等S(t)

制动开始的时刻我们记作是0时刻

那么我们知道

距离关于时间的导数是速度

那么距离关于时间的二阶导数

应该就是加速度

所以根据题意

我们就得到

x的两阶导就等于-0.4

负号表示制动加速度

与列车的运动方向是相反的

在开始制动的时刻

也就是在0时刻它的制动距离是0

也就是S(0)是等于0

在开始制动的时候

它的速度应该就是每秒30米

这样我们就得到了

S是等于负的0.2倍的t的平方

加上C1乘上t再加上C2

我们利用S(0)等于0

以及S'(0)等于30

我们就会得到C2等0

C1是等于30的

所以我们就将制动距离

与制动时间之间的关系得到了

这个关系就是S等于

-0.2倍的t的平方加上30倍的t

我们为了求出制动时间

我们就求S的导数

并令S的导数

也就是速度等于0

就会得到t等75

这说明我们的制动时间是75秒

所以我们的制动距离

就是S在t等于75时的值

也就等于1125米

上面我们讨论了四道简单的例题

在这四道题中

我们都碰到了类似的问题

也就是我们知道要求的未知函数的

一阶导或者是

二阶导满足的一个等式

在给定的条件下

我们来求这个函数的表达式

这实际就是我们微分方程

要处理的基本问题

下面我们给出微分方程的概念

定义10

含有自变量 未知函数

以及未知函数的导数的方程

我们就称作是微分方程

在微分方程中

出现的未知函数的

最高阶导数的阶数就称作是

微分方程的阶

当未知函数是一元函数时

这样的微分方程

我们一般称作是常微分方程

也就简称为微分方程

在我们微积分中

我们处理的都是常微分方程问题

如果我们自变量用x表示

未知函数用y等y(x)表示

那么一般的

我们就将n阶微分方程

用下面的一个等式来表示

也就是x y y的一阶导

一直到n阶导

它的一个表达式等于0

在前面我们介绍的几道例题中

我们得到的几个方程

像y'等于两倍x

dy/dx等于-x/y

或者是dA比上dt等于r倍的A(t)

这三个方程都是一阶微分方程

而我们在第四道例题中得到的

S''(t)等于-0.4

就是一个简单的二阶微分方程

下面我们来介绍微分方程解的概念

定义11

如果函数f(x)在I上存在n阶导数

而且满足下面这个方程

也就是F

x f(x)一直到f的

n阶导x他是等于0的

对于x属于I都是成立的

那我们就说函数f(x)

是n阶微分方程F

x y y的一阶导

一直到y的n阶导

等于0在I上的一个解

与我们在中学学的代数方程类似

微分方程的解也就是说

我们知道某个函数

将他代入这个微分方程

这个等式是成立的

我们求解微分方程的过程

实际上就是要

将求导运算符号去掉的过程

所以说对一阶微分方程来说

我们做一次积分

就可以去掉求导运算符号

这时候就会出现一个积分常数

对二阶微分方程来说

我们要做两次积分

才可能把求导符号去掉

所以这时候会出现两个积分常数

一般的n阶微分方程的含有

n个相互独立的任意常数的解

就称作是它的通解

与通解对应

那么不含有任意常数的解

就称作是微分方程的特解

为了用通解来得到特解

我们要加上一些条件

来确定通解中的常数

那么用来确定

微分方程通解中

任意常数的条件

我们就称作是

微分方程的定解条件

我们加定解条件时

一般就是在某一个点对函数值

或者是导数值

甚至是高阶导数值加条件

这样的条件我们

一般也称作是初值条件

比如说y等于x的平方加C

就是微分方程

y'等于2倍x的通解

而y等于x的平方加一

就是这同一个方程满足定解条件

y(1)等于2的特解

再比如说

A(t)等于C乘上e的r乘t次方

就是微分方程dA比上dt

等于r乘上A的通解

而A(t)等于A0乘上e的r乘t次方

就是这一个微分方程

满足定解条件A(t)在t等于0时

它的值等于A0的特解

下面我们来介绍一下

什么叫初值问题

简单的说就是求微分方程

满足初值条件的问题

我们就称为是初值问题

比如说dA/dt等于r乘上A(t)

A(0)等于A0

这个微分方程跟这个初值问题

合到一起就是一个简单的

一阶微分方程的初值问题

类似的dy/dx等于-x/y

再加上x等0时

y等2这个定解条件

这也是一个

一阶微分方程的初值问题

再比如说

S的两阶导等于-0.4

S(0)等于0

S'(0)等于30

这个二阶微分方程

跟这两个定解条件合到一起

构成的就是一个

二阶微分方程的初值问题

一般的对n阶微分方程来说

因为他的通解中

含有n个相互独立的任意常数

所以我们加的初值条件一般的是说

给定他在某一点S(0)处的函数值

一阶导数值一直到n减1阶导数值

这样就相对于n个任意常数

给出了n个定解条件

下面我们看两道例题

例5

我们验证函数y等于x的平方

y等于C乘上x平方

是否是微分方程x乘上y'

减掉两倍的y等于0的解

我们问如果是解时

是通解还是特解

实际上这道例题

也就是问大家

了解不了解什么叫方程的解

什么叫通解

什么叫特解

具体的解答过程是

我们将y等于x的平方

以及y'等于两倍x

代入这个微分方程

我们就会发现

他使得这个微分方程是成立的

所以y等于x的平方

是这个微分方程的解

而且是这个微分方程的一个特解

同样的我们将y等于C乘上x的平方

以及它的导数

y'等于两倍的Cx

代入这个微分方程

我们知道这个方程也是成立的

这就说明y等于C乘x平方

是这个方程的解

因为这个解中含有一个任意常数

所以说他应该就是

这个一阶微分方程的通解

我们看例6

我们验证下面这个函数

也就是y等于C1乘上coskx

加上C2乘上sinkx是微分方程

y''加上k方乘上y等于0的通解

首先因为这个表达式中

有两个相互独立的

任意常数C1 C2

所以说我们只要验证

这个函数满足这个微分方程

就能说清楚他就是这个方程的通解

具体的解答过程

我们从y它的表达式出发

就得到它的一阶导数

我们再求导就会得到y的二阶导数

我们发现y的二阶导数

就等于负的k方乘上y

也就是说y就满足

y''加上k方乘上y等于0

这就说明了我们这个函数

就是这个二阶微分方程的通解

我们介绍了

微分方程的基本概念之后

关于微分方程我们主要关心的

有两个问题

一个问题就是微分方程的解

是否存在的问题

这个问题从理论上来讲是比较难的

在微积分课程中

我们一般不讨论解的存在性问题

另外一个问题

就是对于简单的微分方程

我们能不能求出它的解

关于具体微分方程的求解问题

在后面的微分方程一章中

我们会做更进一步的介绍

在这儿

我们只介绍一种特殊的简单的

微分方程的求解方法

这就是可分离变量的微分方程

什么叫可分离变量的微分方程

我们就将g(y)乘上dy

等于f(x)乘上dx这样的微分方程

就称作是可分离变量的微分方程

也就是说在这个一阶微分方程中

与自变量x有关的

以及与应变量y有关的量

能够分别写在等号的两端

对于这样的微分方程

我们的求解方法就是

对这个方程两边

我们直接求不定积分

我们假设G(y)和F(x)

分别是被积函数

g(y)和f(x)的原函数

那么我们就得到了

这个变量和分离方程的通解

就是G(y)等于F(x)

加上任意常数C

这就是我们变量可分离方程

它的一般的求解方法

这样变量可分离方程的求解问题

就直接转化成了简单的

不定积分运算问题

下面我们来看几道具体的

变量可分离方程的求解过程

例7

我们求下面这个微分方程的通解

对于这个方程我们知道

他是一个变量可分离方程

我们分离变量

也就是将与y有关的

和与x有关的量

分写到等号的两端

就会得到1加y方分之一乘上dy

等于两倍的括号里面

x减1再乘上dx

在这个等式的两端

我们做不定积分

就会得到arctany等于

x减1的平方加上常数C

这实际上就是我们要求的

微分方程的通解

这是他通解的隐式形式

我们也可以写成是y等于tan

x减1的平方加上C

这就是他通解的显式形式

第8道例题

我们求微分方程

dy/dx等于两倍xy的通解

这个方程也是一个

变量可分离的方程

我们知道y恒等于0这个函数

是满足这个方程的

所以说y恒等于0

是这个方程的一个特解

在y不等于0时

我们分离变量就会得到

dy比上y等于2倍x乘上dx

在这个等式两端我们做积分

就会得到y的绝对值的自然对数

等于x的平方加上C1

我们将对数符号去掉

就会得到y的绝对值就等于

e的C1次方乘上e的x平方次方

在这儿也就得到了

y等于正负e的C1次方

乘上e的x平方次方

其中e的C1次方

是一个非0的任意常数

我们将它记作C

考虑到y恒等于0也是方程的解

所以我们最后就会得到

方程的通解是

y等于C乘上e的x平方次方

其中C是任意常数

下面我们看第9道例题

我们假设曲线L位于第一象限

如果曲线上任意一点的切线

位于两个坐标轴之间的部分

都是被切点平分的

我们求这条曲线L的方程

我们假设曲线L的方程

就是y等y(x)

(x,y)是曲线上的任意一点

(X,Y)我们用它来表示

曲线L在(x,y)

这点切线上的任意一点

我们知道这条切线的斜率

就应该是dy/dx

由于(x,y)和(X,Y)

是切线上的两点

所以说切线的斜率还可以表示成

这两点的纵坐标的差比上

这两点的横坐标差

我们就得到了dy/dx等于

Y减y再比上X减x

因为切线位于

两坐标轴中间的部分

都是被切点平分的

所以在Y等于0时

我们知道切线

与x轴交点的横坐标

正好就等于切点(x,y)处的

横坐标的两倍

也就是Y等于0时

X是等于2x的

这样我们就得到了

dy/dx等于负的y比上x

这是一个变量可分离方程

我们分离变量就会得到

dy比上y等于负的dx比上x

我们两边做积分就会得到

lny等于-lnx再加上lnC

C是大于0的常数

在这儿因为曲线位于第一象限

所以x y都是大于0的

所以我们直接取自然对数

而为了形式上表示简单

我们把任意常数表示成了lnC

进一步利用对数的运算性质

我们就得到了

我们要求的曲线方程就是

x乘y等于常数C

C是大于0的

这说明我们要求的曲线

实际就是我们熟悉的双曲线

下面我们看最后一道例题

我们假设运动物体

受到的阻力大小

与他的速度大小是成正比的

比例常数我们记作k

我们假设在t等0时刻

他的速度是v0

我们再假设这个物体的质量是m

我们求此物体的

速度与时间的关系

我们假设这个物体

在t时刻的速度就是v(t)

我们知道物体所受的外力

应该等于他的质量

乘上他的加速度

这是我们中学物理中

学习过的牛顿第二定律

在这儿也就是

他的质量m乘上

他的速度关于时间的导数

应该就等于k乘上他的速度

在这儿我们的负号表示

他受到的阻力

与它的运动方向是相反的

这就是速度满足的一个

简单的变量可分离的

一阶微分方程

我们变量分离得

dv比上v就等于负的

m分之k乘上dt

两边积分我们就会得到

v的自然对数就等于

负的k/m乘上t再加上C

我们将对数符号去掉

就会得到v与t的关系式

因为在t等于0时

v是等于v0的

所以我们知道

e的C次方就等于v0

所以最后我们求的

这个物体它的

运动速度与时间的关系是

v等于v0乘上

e的负的k/m再乘上t次方

在这一讲中

我们介绍了微分方程的基本概念

了解了微分方程

微分方程的阶

以及微分方程的解

通解

特解

初值条件和初值问题的含义

介绍了变量可分离微分方程的概念

和求解方法

微分方程的理论和方法

是反映客观规律和

解决实际问题的重要工具

是微积分学的重要应用

在后面的章节中

我们对微分方程的内容

还会做进一步的讨论

从下一讲开始

我们将介绍定积分的有关内容

谢谢同学们

下一讲 再见