4.1.1 极值和极值点在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第四章

微分中值定理和导数的应用

第一节

极值与极值点

前面我们已经学习了

导数与微分的概念

并掌握了初等函数与

某些特殊函数的求导运算

本章主要介绍

导数在研究函数性态

和解决有关实际问题中的应用

给出利用导数

解决一些具体问题的一般方法

由于导数只是反映了

函数在一点的性质

为了将其与函数

在某个范围上的整体性态联系起来

就需要寻找他们之间的一座桥梁

微分中值定理

就承担了桥梁的作用

他是导数应用的理论基础

这一章的主要内容有

微分中值定理

求不定式极限的洛必达法则

研究函数性态的单调性

极值 最值 凸性 拐点

以及渐近线等

还有原函数与简单微分方程

本讲中将介绍

函数的一个局部性质

也就是函数的极值与极值点的概念

并给出可导函数极值点的必要条件

我们首先来看一下

极值与极值点的概念

我们直接给出函数的

极值和极值点的定义

定义一

我们假设函数f(x)

在x0的某个邻域中有定义

如果对于这个邻域中的任一点x

我们都有

f(x)是大于等于f(x0)的

我们就称x0是函数

f(x)的一个极小值点

对应的函数值f(x0)就称为是

函数f(x)的一个极小值

类似的我们可以给出

极大值点和极大值的定义

也就是

如果对于这个邻域中的任意一个数x

我们都有f(x)是小于等于f(x0)的

我们就称x0是这个函数

f(x)的一个极大值点

相应的函数值f(x0)就称为是

f(x)的一个极大值

极大值与极小值

我们统称为是

函数的极值

极大值点与极小值点

就称为是函数的极值点

从极值点的定义我们知道

函数定义区间的端点

不会是函数的极值点

也就是说

我们在定义中

就把定义区间的端点

排除在了极值点外

同样从定义我们可以知道

函数的极值是函数的一个局部性概念

它的大小只是与极值点附近

其他点的函数值做比较

与函数在某个区间上的

最大最小值的概念不同

同一个函数

它的极大值也不见得

一定要大于它的极小值

从这张图上

我们可以看出

f(x1)和f(x3)是函数的极大值

f(x2)和f(x4)是函数的极小值

在这个图上

我们知道

极大值f(x1)是小于

极小值f(x4)的

关于函数的极值点

下面我们介绍一个常用的结论

这就是所谓的Fermat定理

Fermat定理反映的现象

从几何上看

应该是比较明显的

在这张图中

我们假设

连续曲线除了端点外

处处都有切线

那么

从图中就可以看出

在局部最高点

x1 f(x1) 和 x3 f(x3)

以及在局部最低点

x2 f(x2)和x4 f(x4)

这条曲线

它的切线都是水平的

也就是说

在这些点

切线的斜率都等于0

我们将几何上这个现象

用分析的语言表述出来

就是我们要介绍的Fermat定理

定理1

如果函数f(x)在x0处是可导的

而且他在x0处取得极值

那么函数f(x)

在x0处的导数就等于0

这就是说

可导极值点

导数一定等于0

下面

我们给出这个定理的证明

我们不妨假设f(x0)

是函数的极大值

因为函数在x0这点是可导的

所以他在这一点的左导数与右导数

都是存在的

而且

左导数 右导数与

他在这点的导数是相等的

当x小于x0趋向x0时

这时候因为f(x)

减掉f(x0)是小于等于0的

而x减x0也是小于0的

所以

函数值的改变量

与自变量的改变量

这个比值

就是大于等于0的

那么利用极限的保号性质

我们就知道

他在x0这点的左导数

是大于等于0的

而在x大于x0趋向x0时

这时f(x)减掉

f(x0)同样是小于等于0的

而这时

x减x0却是大于0的

所以这时

函数值的改变量

与自变量的改变量的比值

是小于等于0的

同样

根据极限的保号性质

我们知道

他在这点的右导数

是小于等于0的

这样我们就得到了

函数在x0这点的导数

一方面是要大于等于0的

另一方面又是要小于等于0的

所以函数在x0这点的导数

一定等于0

这样我们就证明了Fermat定理

一般的

我们将导数等于0的点

就称为是函数的驻点

或者是称为函数的临界点

Fermat定理说明

函数的可导极值点一定是驻点

那我们问

驻点是否就一定是极值点呢

我们看x三次方这个函数

我们知道

这个函数在x等于0处

导数为0

也就是说x等于0

是这个函数的驻点

但是这个函数

在x等于0却取不到极值

也就是说

驻点不见得是极值点

Fermat定理是在函数可导的前提下

给出的结论

那么导数不存在的点

是否也能称为是函数的极值点

我们看下面一个简单的例子

对于绝对值函数来说

他在x等于0这点的导数是不存在的

但是

我们知道绝对值函数

在x等于0是能取到极小值的

一般的

我们就得到了

连续函数

他的极值点

要么在导数等于0的点中取到

要么在导数不存在的点处取到

接下来我们看几道例题

例一

我们求这个三次多项式函数的驻点

我们对这个三次多项式函数求导

我们得到

它的导函数f'(x)就等于

6倍的x减1乘上x减4

我们令它的导数等于0

就会得到

导数等于0的点是

x等于1和x等于4

也就是说我们要求的驻点是

x等于1和x等于4

第二个例题

我们来求

f(x)等于sinx减掉xcosx

再减掉1/2倍的x平方

求这个函数的驻点

对这个函数求导

我们得到他的导函数

f'(x)就等于x乘上括号里面

sinx减1

我们令f'(x)等于0

我们就会得到

他所有的驻点是

x等于0和x等于2nπ加上π/2

其中这儿的n是整数

下面我们来看第三道例题

我们假设函数f(x)在闭区间

a b上可导

而且

在两个端点的导数值不相等

我们来证明

对于任意的介于

f'(a)和f'(b)之间的μ

总存在a b开区间中的一个点ξ

使得f'(ξ)是等于μ的

对于这道题目

我们首先来看一下

要证的结论它的含义是什么

我们对他进行变形

我们要证的结论

也就是说

要证存在一点ξ使得

f'(ξ)减掉μ等于0

这个等式

我们可以看作是某一个函数

在ξ这点的导数值是等于0的

而这个函数

我们知道就是

f(x)减掉μx

所以我们的证明可以这样给出

我们令F(x)就等于

f(x)减掉μx

我们知道

F(x)一定是一个可导函数

而且在给定的条件下

我们知道

F(x)在a和b这两点的导数值

是异号的

我们不妨就假设

F在a这点的导数是大于0的

他在b这点的导数是小于0的

根据F在a这点的导数值大于0

以及导数的定义

我们就知道

在开区间a b内

一定存在一个点x1

使得F(x1)是大于F(a)的

同样的

我们根据F在b这点的导数值小于0

我们就知道在b点的左侧附近

一定存在一个x2

我们不妨假设这个x2

就在x1到b之间取到

使得F(x2)的函数值

是大于F(b)的

因为函数在区间上是可导的

所以他在闭区间上是连续的

根据连续函数的性质

我们知道

F在闭区间上一定能取到

最大值和最小值

而前面的证明说明了

端点值肯定不会是最大值

所以这个函数在闭区间上的最大值

一定在开区间内取到

我们假设F(ξ)就是它的最大值

那么开区间中的最大值点

一定是极大值点

我们根据Fermat定理就知道

F在ξ这点的导数一定是等于0的

这就是我们要证的结论

f'(ξ)等于μ

在这个例题中

给出的这个性质

一般我们就称作是

导函数的介值性质

这个结论说明

导函数无论他是否连续

他一定是具有介值性质的

在我们处理导函数的有关问题时

这是我们常用的导函数的一个性质

在这一讲中

我们给出了函数极值

极值点以及驻点的定义

得到了可导函数极值点必是驻点的结论

进一步证明了

导函数具有的一个重要性质

也就是导函数的介值性质

极值是函数的局部性质

要注意函数的极值

与函数最值的区别与联系

下一讲 将介绍

微分中值定理中的罗尔定理

谢谢同学们

下一讲 再见