当前课程知识点：微积分（先修课） > 第一章 极限 > 1.2 极限的概念 > 1.2.5 极限的概念(5)
同学们大家好
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微积分Mooc课程
今天我们介绍
第一章 极限
第二节 极限的概念（5）
在这一讲中我们将介绍数列的极限
所谓数列an极限
指的是当数列{a_n}中的下标n趋向无穷时
它对应的值an趋向于某个确定值
在历史上
极限问题首先研究的就是数列极限
比如我们所熟悉的刘辉的割圆术
就是从圆的内接正六边形出发
依次得到了圆的正12边形 正24边形
他们的面积
从他们的面积公式
我们可以发现这是一个与边数n有关的数列
而且从几何上我们可以看出
当内接多边形的边数越多时
他们的面积是越大
而且是越来越接近圆的面积
也就是这个面积数列
当n越来越大时
他们会越来越接近一个确定的值
也就是趋向于这个圆的面积
在这一讲中我们主要介绍数列极限的概念
并介绍利用定义研究简单数列极限的方法
以及给出数列极限和子列极限的关系
三 数列的极限
数列极限的概念
设an是一个数列
A是一个常数
若对于任意的正数ε
总存在正整数N
使得当n>N时
我们总有|an-A|<ε
则我们就称A是数列{a_n}的极限
记作limit n趋向于无穷时an的极限等于A
如果一个数列的极限存在
我们又称这个数列是收敛的
当一个数列的极限不存在时
我们就说这个数列是发散的
在数列极限的表示中
极限过程我们一般就用n趋向于无穷来表示
因为对数列来说他的极限过程只有一个
也就是下标越来越大趋向于正无穷
所以我们不再用n趋向正无穷
来表示这个极限过程
而简记为n趋向于无穷
在几何上数列an的极限是A
它的几何意义就是我们以水平线y=A做中轴
以y=A+ε和y=A-ε两条直线做边界
得到一个水平的带状区域
对于这样一个带状区域
我们总能找到一个N
在N后边数列对应的点
都应该跑到这个水平的带状区域内
从极限的定义我们可以想象
如果这个带状区域变得更窄
那么这样的N仍然应该是存在的
也就是我们还会找到一个N
从N开始
它后面所有的数列对应的点
仍然能够跑到这个水平的带状区域内
下面我们用定义证明几个数列的极限
例1 我们来证明一下1加上n分之-1的n次方
他的极限等于1
与利用定义证明函数的极限情况是类似的
我们为了用定义来证明一个数列的极限
也就是要看当n多大时
我们能够保证|an-A|是充分小的
所以对于这个具体数列来说
因为1加上n分之-1的n次方减1
他的绝对值应该就等于n分之1
所以对于任意正数ε
我们要使|an-A|这个绝对值小于ε
在这个题目里面也就是
只要使得n分之1小于ε就可以了
这样也就是n要大于ε分之1
所以我们就可以取N
就是ε分之1的整数部分再加上1
那么当n>N时我们就一定有n>ε分之1的
根据数列极限的定义
我们就证明了这个数列它的极限是等于1的
我们来看第二个例题
当q的绝对值小于1时
我们证明q的n次方它的极限是等于1的
对于任意的正数ε
我们要使得q的n次方的绝对值小于ε
利用自然对数的单调性
也就是只要使得nln|q| 因为|q|<1 所以他的自然对数是小于0的 那么上面这个不等式就等价于 n应该大于lnε/ln|q| 我们为了保证这个比值是个大于0的数 我们不妨假设ε是小于1的 这个假设并不影响我们要证明的结论 因为作为极限我们关心的是当ε充分小时 我们能不能找到相应的N 所以说我们就假设ε是小于1的 这样就能保证ε的自然对数比上 q的自然对数是大于0的 所以我们可以取N就是这个比值的取整再加1 也就是这个分数的整数部分再加上1 这样当n>N时自然就有n大于这个比值 从而我们就得到了q的n次方的绝对值小于ε 根据数列极限的定义 这就是证明了q的n次方他的极限是等于0的 根据刚才这个例题中我们得到的结论 那么我们知道对首项为a1 公比为q的等比数列 我们知道它的前项和Sn是 等于a1乘上1减q的n次方再除上1减q的 那么利用我们刚才这个例题中的结论 我们知道当公比的绝对值小于1时 那么这个等比数列所有项的和就应该 等于a1除上1减q 下面我们看一下第三个例题 我们利用极限的定义证明 a的n分之1次方他的极限等于1 实际上这个结论对于a大于0都是成立的 为了书写方便我们只考虑a大于1时的情况 我们要证明a的n分之1次方极限是1 也就是要证明a的n分之1次方减1他的绝对值 是可以充分小的 那么根据两数的n次方之差公式 我们就会得到a-1就等于a的n分之1次方减1 括起来再乘上括号里面1加a的n分之1次方 一直加到a的(n-1)/n次方 因为a是大于1的 所以我们利用上面这个等式就可以得到 a-1是大于n乘上括号里面a的1/n次方减1 这样我们就得到了a的1/n次方减1 它是大于0而且是小于a-1除上n的 那么对于任意的正数ε 如果要使得a的1/n次方减1的绝对值小于ε 这时我们只要使得a-1除上n小于ε就可以了 也就是只要n大于a-1除上ε就可以了 我们取N就等于a-1除上ε的取整再加1 那么我们就保证当n>N时 一定有n是大于a-1除上ε的 这时也就保证了a的1/n次方减1的绝对值 是小于ε的 那么根据数列极限的定义 我们也就证明了a的1/n次方 他的极限是等于1的 第四个例题我们来证明 如果an的极限等于A 那么a1加a2一直加到an除上n 这个数列的极限也是A 实际上这个数列应该就是an这个数列的 前n项和的平均值构成的数列 我们要证明这个结论 也就是对于任意的正数ε 我们来看一看a1加a2一直加到an 除上n再减掉A这个绝对值是不是可以充分小 而我们的条件是an的极限等于A 那么根据数列极限定义 我们一定能找到一个N1 当n>N1时就能有an减掉A的绝对值 是小于ε的 为了用上这个条件 我们将a1加到an除上n减掉A的绝对值 给他写出下面这个形式 也就是前N1项多了一项 从N1+1项到第n项作为一部分 根据绝对值的三角不等式 那么我们就能把这个数放大到 a1加a2一直加到aN1减掉N1倍的A 他的绝对值除上n 再加上aN1+1-A的绝对值一直加到 an-A的绝对值再除上n 在前面这一项中N1是个常数 所以说这个分子就是一个常数 我们用C来表示 在后面这一部分 因为每一个绝对值这时都是小于ε的 所以我们给他放大到ε 第二部分就小于n-N1除上n再乘上ε 我们知道n分之C它的极限应该是等于0的 所以对给定的正数ε来说 我们一定能找到一个正数N2>0 使得当n>N2时C/n它是大于0小于ε的 如果我们取N是N1和N2中的最大值 那么当n>N时 前面我们推出的不等式都是成立的 这个时候我们就得到了a1加a2一直加到an 除上n再减A之后它的绝对值是 小于两倍的ε的 那么根据数列极限的定义 这样我们就证明了 a1加到an除上n这个数列的 极限也是等于A的 下面我们来看一下数列极限与子列极限的关系 首先我们来介绍一下什么叫子列 所谓子列就是在数列{a_n}中取出某些项后 按照原来的顺序排成一个新的数列 那么就称这个数列是原来数列的一个子列 子列一般用ank来表示 其中nk表示的是子列中的第k项 在原来的数列中应该在nk项 所以我们有nk一定是大于等于k的 也就是子列的第k项应该是在原来的数列的 第k项及其之后的项中取出 同时nk+1自然应该是大于nk的 有了子列的概念 我们就会得到数列极限与子列极限下面这个关系 我们写成一个定理 数列an的极限等于A 它的充分必要条件是 它的所有子列都是收敛的 而且子列的极限都等于A 下面我们证明一下这个定理 首先证明一下必要性 这时我们就是在数列极限等于A的前提下 来证明它的每一个子列的极限都等于A 我们假设ank是an的一个子列 对于任意正数ε 因为an的极限是等于A的 根据极限的定义 所以一定存在一个正整数N 当n>N时就有an减A的绝对值小于ε 我们取K就等于N 当k>K时 根据子列的概念我们就知道 nk它本身是大于等于k的 而k是大于K的 也就是这时候nk这一项应该在 原来的数列中N项之后 所以我们就得到了ank减A的 绝对值是小于ε的 而这正是说明了子列ank的极限等于A 根据数列极限的定义这正好说明了 子列ank的极限也是A 这样就证明了必要性 下面我们看一下充分性的证明 我们利用反证法 如果数列an它的所有子列的极限都等于A 而数列本身它的极限并不等于A 那么根据极限不是A的叙述 我们就知道这时一定存在一个正数ε0 对于任意的正整数N来说都会存在N后面的 一个整数nN使得anN减掉A 他的绝对值是大于ε0的 特别地如果我们取N=1 我们就会找到一个n1它是大于1的 使得an1-a的绝对值大于ε0 如果我们取N=2 这时候我们就一定能找到一个n2 而且可以使得这个n2同时也是大于n1的 还要满足an2-a的绝对值也大于ε0 我们这样一直找下去就会得到 数列an的一个子列ank 这个子列它每一项都满足 ank-A的绝对值是大于ε0的 这样就说明我们找到了an的一个子列 它的极限并不是A 这就与an的所有子列的极限都是A是矛盾的 这个矛盾就说明我们的假设是错的 所以这时数列an的极限一定是A 这样我们就证明了充分性 到这一讲为止 有关极限概念的内容我们就全部介绍完了 从下一讲开始我们将用两讲的篇幅 来介绍极限的有关性质 谢谢同学们 下一讲再见
-0.1 绪论
--0.1.1 绪论
-1.1 极限概念引例
--第1.1节测试 极限概念引例
-1.2 极限的概念
--第1.2节测试 极限的概念
-1.3 极限的性质
--第1.3节测试 极限的性质
-1.4 极限的运算
--第1.4节测试 极限的运算
-1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(1) 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(2) 夹逼定理与单调有界收敛定理
-1.6 两个重要的极限
--第1.6节测试 两个重要的极限
-1.7 无穷小量
--第1.7节测试 无穷小量
-2.1 连续函数的概念
--第2.1节测试 连续函数的概念
-2.2. 初等函数的连续性结论
--第2.2节测试 初等函数的连续性结论
-2.3 连续函数的性质
--第2.3节测试 连续函数的性质
-3.1 导数与导函数
--第3.1节测试 导数与导函数
-3.2 微分
--3.2.1 微分
--第3.2节测试 微分
-3.3 导数的运算
--第3.3节测试 导数的运算
-3.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--3.4.1 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--第3.4节测试 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
-3.5 高阶导数
--第3.5节测试 高阶导数
-4.1 极值和极值点
--第4.1节测试 极值和极值点
-4.2 微分中值定理
--第4.2节测试 微分中值定理
-4.3 洛必达法则
--第4.3节测试(1) 洛必达法则
--第4.3节测试(2) 洛必达法则
-4.4 函数单调性的判定
--第4.4节测试 函数单调性的判断
-4.5 函数的极值及其求法
--第4.5节测试 函数的极值及其求法
-4.6 函数的最值及其应用
--第4.6节测试 函数的最值及其应用
-4.7 曲线的凸性和拐点
--第4.7节测试 函数的凸性和拐点
-4.8 曲线的渐近线
--第4.8节测试 曲线的渐近线
-4.9 泰勒（Taylor）公式
--第4.9节测试 泰勒公式
-4.10 原函数与微分方程初步
--第4.10节测试 原函数与微分方程初步
-5.1 定积分问题举例
-5.2 定积分的概念
--第5.2节测试 定积分的概念
-5.3 定积分的基本性质
--第5.3节测试 定积分的性质
-5.4 微积分基本定理
--第5.4节测试 微积分基本定理
-5.5 定积分的几何应用
--第5.5节测试 定积分的几何应用
-5.6 定积分的物理应用
-6.1 换元积分法
--第6.1节测试 换元积分法
-6.2 分部积分法
--第6.2节测试 分部积分法
-6.3 有理函数的积分法
--第6.3节测试 有理函数的积分法
-6.4 定积分应用举例
--第6.4节测试 定积分应用举例
-6.5 反常积分
--第6.5节测试 反常积分
-7.1 无穷级数
--第7.1节测试 无穷级数
-7.2 正项级数
-7.3 比值判敛法和根式判敛法
--第7.3节测试 比值判敛法和根式判敛法
-7.4 一般项级数
--第7.4节测试 一般项级数
-7.5 幂级数
-7.6 函数的幂级数
--第7.6节测试 函数的幂级数
-7.7 泰勒级数
--第7.7节测试 泰勒级数
-7.8 幂级数的简单应用
-8.1 一阶可求解常微分方程
--第8.1节测试 一阶可求解常微分方程
-8.2 一阶线性微分方程
--第8.2节测试 一阶线性微分方程
-8.3 二阶线性常系数微分方程
--第8.3节测试 二阶线性常系数微分方程
-8.4 常系数微分方程简单应用举例
-期末考试
--期末考试说明
-期末考试--期末考试
