3.1.1 导数与导函数(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第三章 导数与微分

第一节 导数与导函数

前面我们已经学习了

函数在一点的两个性质

也就是函数在一点的

极限存在性

与函数在一点的连续性

这两个性质

刻画的只是函数

f(x)随着自变量x

在x0附近的变化

而变化的定性性质

它不能反映函数值f(x)

与自变量x之间的

量的关系

导数与微分

恰恰是反映

函数值与自变量之间

量的关系的两个概念

导数和微分

是一元函数微分学中

两个重要

而且密切相关的概念

它们在科学

和工程技术中

有着极为广泛的应用

导数与微分的概念

是从十七世纪开始

随着近代航海业

和工业的发展

而逐渐建立起来的

在这一讲中

我们将要介绍

函数在一点

可导与可微的概念

介绍函数在一点

导数与微分的定义

介绍函数在一点

连续性 可导性

与可微性之间的关系

同时给出

可导函数的

和 差 积 商函数

复合函数

以及反函数的求导法则

给出基本的导数公式

同时我们还要介绍隐函数

函数方程确定的函数

幂指函数

以及具有多个乘除因子的函数

等特殊函数的求导法

我们还要介绍

高阶导数的概念

和高阶导数的求法

首先我们来介绍

第一节的内容

导数与导函数

函数在一点连续的性质

反映的是函数值

在一点附近

随着自变量的变化

而变化的定性性质

为了反映

函数在一点

函数值的变化

与自变量的变化之间的

量的关系

就要引进函数

在一点的导数和微分的概念

在这一讲中

我们将介绍

函数在一点可导的概念

和导数的定义

介绍函数在一点

左右导数的定义

并且给出

函数在一点的导数

与左右导数的关系

我们看几个

与导数概念

有关的问题

第一个

我们介绍一下

曲线它的切线问题

我们在

平面解析几何中

我们知道

如果x0 y0和x y

是直线l上的两个点

那么比值y减y0

比上x减x0它的大小

表示的

就是直线的斜率

这个值的大小

反映的就是直线上

点的纵坐标

关于横坐标的变化率

如果对于曲线来说

我们假设

a是曲线y等f(x)上的定点

b是曲线y等f(x)上的动点

那么过ab两点的直线

我们用lab表示

那么这时候比值

f(x)减f(x0)比上

x减x0

就是直线lab的斜率

这个比值的大小

反映的就是曲线

y等于f(x)上的

点的纵坐标

关于横坐标的

平均变化率

如果点b

沿着曲线y等f(x)

趋向于点a时

直线lab

它趋向于某条直线l

我们就称直线l

是曲线y等f(x)

在点a处的切线

这是曲线

在一点的

切线的定义

那么

根据曲线的定义

我们就知道

直线lab的斜率

f(x)减掉f(x0)比上x减x0

它的极限

就应该是切线

l的斜率

这个极限值的大小

反映的就是函数f(x)

在x0这点处

函数值

关于自变量x的变化率

下面

我们来看一个具体的例子

我们求指数曲线

y等于e的x次方

在（0,1）这点的切线方程

根据我们前面

得到的极限结论

我们知道

e的x次方减掉e的0次方

比上x减0

在x趋向于0时的极限

是等于1的

这也就是说

我们要求的

切线的斜率

就等于1

又因为

这条直线

过（0,1）点

所以

这条直线的方程

就是y等于

1加上1乘上括号里面

x减0

也就是

y等于x加1

下面

我们看另外一个

与导数概念有关的例子

就是关于

变速运动物体

它的瞬时速度

我们知道

如果

质点p的运动距离s

与运动时间t之间的关系

定义为s等于s(t)时

那么

当质点p

做的是匀速运动时

s(t)减s(t0)

比上t减t0这个比值

它的大小

表示的就是质点的运动速度

如果

质点做的是

非匀速运动时

那么

这个比值的大小

表示的就是

质点从t0时刻

到t时刻之间

它的平均速度

如果

我们求的是这个比值的极限

那么根据

运动物体

在某个时刻的瞬时速度的概念

我们就知道

这个极限值的大小

表示的就是质点p

在t0时刻的

瞬时速度

下面

我们求一个

具体的运动物体的瞬时速度

我们假设

某物体的运动距离

与运动时间

之间的关系是

s(t)等于4.9倍的t的平方

那么

我们来求一下这个物体

从时刻t到时刻

t加△t的平均速度

并求这个物体

在时刻t的瞬时速度

我们根据

这个物体

它的运动距离

与运动时间的关系

我们知道

它从时刻t

到时刻t加△t的行驶距离

△s

就等于9.8倍的t

乘上△t再加上

4.9倍的△t的平方

在这段时间中

这个物体的平均速度

就是它走过的距离△s

除上

走这段距离所用的时间△t

这个比值也就等于

9.8倍的t加上

4.9倍的△t

我们求这个比值

在△t趋向0时的极限

就会得到

这个极限值

就等于9.8倍的t

所以

这个运动物体

在时刻t的瞬时速度

也就是9.8倍的t

在上面

我们处理了两个具体的问题

一个是关于

曲线在一点的切线问题

另外一个是

关于变速运动物体

在某个时刻的

瞬时速度问题

尽管这两个问题的背景不同

但在它们的处理过程中

都出现了

一个比值的极限问题

一般的如果对于函数f(x)

我们要讨论

f(x)减掉f(x0)

比上x减x0

在x趋向x0的极限问题

就是要研究

函数在一点是否可导

和求函数在一点的导数值的问题

下面

我们给出函数在一点可导

和导数值的概念

定义1

我们假设函数y等f(x)

在x0的某个邻域内有定义

如果这个函数

在x0点的函数改变量

也就是f(x)减掉f(x0)

比上自变量的改变量

也就是x减x0

在x趋向于x0的极限存在

那么

我们就称这个函数

f(x)在x0这一点

是可导的

这个极限值的大小

就称为是

这个函数f(x)

在x0这点的导数值

简称为导数

一般的

我们将导数记作

f一撇或者是dy dx

或者是df dx

为了体现

我们是在x0这点求导

也可以表示成

f一撇x0 dy dx

加一个下标x等x0

df dx加一个下标

x等于x0

一般读的时候

这三个记号我们都读作是

函数f(x)在x0这点的导数

如果我们将

自变量的改变量

用△x来表示

而函数f(x)

在x0这点的

函数值的改变量

我们用△f(x0)来表示

那么导数的定义

就可以表述为

如果△f(x0)比上△x

在△x趋向于0时的极限存在

那么我们就称函数f(x)

在x0处可导

极限值的大小

就称为是函数f(x)

在x0处的导数值

我们知道

函数值的改变量

与自变量的改变量比值的大小

就是函数f(x)在x0

到x0加△x这个区间上的

平均变化率

那么

极限值也就是导数值

f一撇x0

就是函数f(x)

在x0处的变化率

导数值的绝对值

它的大小

反映的

应该就是

f(x)在x0这点

函数值

随着自变量的变化

而变化的快慢

而导数值的正负号

反映的是函数值

随着自变量的增加

是增加的

还是减少的

我们说

函数在一点是否可导

就是要看

函数值在这一点的改变量

与自变量的改变量

在自变量改变量趋向于0时

极限是否存在

如果这个极限存在

我们就说

它是可导的

否则就说函数在这点不可导

另外请大家注意

从可导

和导数的定义

我们可以看出

函数的可导性

应该是函数的一个

点性质

也就是所谓的

局部性质

所以说

如果

我们知道函数在某一点可导

那么

即使其它的点

与这一点非常接近

我们也

得不到

其它点的可导性

我们看一个例子

例如

函数f(x)

x是有理数时它的函数值

就是x的平方

x是无理数时

它的函数值

就等于0

大家可以用导数的定义

证明

这个函数

在x等于0这点

它的导数

是存在的

导数值

是等于0的

而这个函数

在其它任何一个

不等于0的点处

它的导数

都是不存在的

我想

这个函数

它就说明了

函数

它的可导性

确实是一个点性质

下面

我们看一个具体的例子

我们用定义

求函数f(x)等于ax加b

在任一点的导数

我们假设x0

是任意的实数

因为

这个函数

在x0这点的函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量

趋向于0时的极限

也就等于

a乘上△x

比上△x

在△x趋向于0时的极限

所以说

这个极限值

就等于a

这样

也就说明了

这个函数

在x0这点是可导的

而且

它在x0这点的导数值

就等于a

事实上

在这个例题中

因为我们的函数

是一个一次函数

那么

大家根据前面

我们讨论过的

曲线的切线那个例子

我们应该知道

从几何上看

这个函数

它在任何一点的导数值

应该

就是这条直线

它的斜率

自然也就是a

下面

我们看另外一道例题

我们用定义

求指数函数f(x)

等于a的x次方

在任一点的导数

我们假设x0是任意实数

对指数函数来说

它在x0这一点的

函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时的极限

应该就等于

a的x0次方

再乘上

a的△x次方减1

除上△x

在△x趋向于0时的极限

这个极限

在我们前面

讨论重要极限时

已经求出了它的值

所以

我们最后的极限值

应该就是

a的x0次方再乘上a自然对数

这说明

这个函数

在x0这点

是可导的

而且

它在x0这点的导数值

就是

a的x0次方乘上

a自然对数

特别的

如果对指数函数来说

当底数

等于e时

我们知道

e的x次方

它在任何一点的导数

都等于

它在相应点的函数值

这个性质

应该说

是所有函数里面

独有的

也就是说

对于非0函数来说

在任何一点

函数值

与导数值相等

这样的函数

只有f(x)

等于e的x次方

下面

我们用定义

求一下

对数函数

在x0

x0大于0时的导数

对自然对数函数来说

它在x0这点的

函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时的极限

应该就等于

x0分之一

再乘上

1加上x0分之△x

它的自然对数

再除上

△x除上x0

在△x趋向0时的极限

而这个比值的极限

在我们前面

求重要极限时

也曾经知道它的结果

所以说

我们最后的极限值

就是x0分之一

也就是说

自然对数这个函数

在任意的

大于0的

x0处都是可导的

而且

它的导数值

就是x0分之一

下一个例子

我们用导数定义

求正弦函数

在任一点的导数

我们假设

x0是任意的实数

对sin x这个函数来说

它在x0这点的

函数值的改变量

也就是sin x0加△x

减掉sin x0

我们利用

正弦函数的和差化积公式

这个差

可以表示成

两倍的cos x0加上二分之△x

再乘上sin二分之△x

所以

我们要求的

函数值的改变量

与自变量的改变量

在△x趋向于0时的极限

也就是要求

cos x0加上二分之△x

再乘上sin二分之△x

除上

二分之△x

在△x趋向于0时的极限

我们根据

前面介绍的

第一个重要极限

我们就知道

这个表达式的极限值

就等于 cos x0

这说明

正弦函数

在x0这点是可导的

而且

它在x0这点的导数值

就是cos x0

利用同样的方法

我们可以求出

余弦函数

在任何一点

都是可导的

它在任何一点的导数值

正好是

相应点的

正弦的负值

也就是

cos x的导数等于负的sin x

下面

我们来介绍一下

函数在一点的单侧导数

因为

函数在一点的导数

是利用极限定义的

函数在一点

它的极限

我们曾近讨论过

左极限

和右极限

那么对于函数的导数来说

我们也有

对应的左导数

和右导数的定义

下面

我们直接给出

单侧导数的定义

我们假设

函数y等f(x)在

x0减δ到x0

这个半开半闭的区间内有定义

如果

函数在x0这点的

函数值的改变量

比上自变量的改变量

在x小于x0

趋向x0时的极限存在

那么

我们就称

函数在x0这点

是左可导的

这个极限值的大小

就称为

函数f(x)在x0处的左导数

左导数的记号

就是在导数的基础上加一个下标

负号

类似的

我们可以定义

函数在xo这点的右导数

我们假设

函数y等f(x)

在x0及其右侧附近

有定义

如果

f(x)减掉f(x0)比上

x减x0

在x大于x0趋向x0的极限

存在

我们就说

函数

在x0这点是右可导的

极限值的大小

就称作是

函数f(x)在x0这点的

右导数

右导数的记号

就是在导数的基础上

加一个下标

正号

我们在一点

给出了函数的导数

和左右导数的概念

根据极限

与左右极限的关系

我们直接

就可以得到下面一个定理

定理1

我们设函数f(x)

在x0的某个邻域内有定义

那么

f(x)在x0这点可导

而且导数值

等于a的充分必要条件是

函数f(x)

在x0这点

既是左可导的

又是右可导的

而且

它的左导数等于a

同时

右导数也等于a

这个结论

就是我们讨论

函数在一点是否可导的

理论根据

也就是说

我们讨论函数在一点是否可导

就是要求

它的左导数是否存在

右导数是否存在

而且

左右导数值是否相等

如果函数

f(x)在某个开区间内

每一点都可导

我们就说

函数f(x)在这个开区间上

是可导的

这个时候

在开区间中的每一点

都有

唯一的导数值与它对应

所以

我们有时候

也称f一撇x就是f(x)

在区间a b上的导函数

如果

函数f(x)

在开区间a b内

每一点都可导

而且

在a这点是右可导的

在b这点是左可导的

我们就说

函数f(x)

在闭区间

a b上是可导的

f一撇x也称为

这个函数

在闭区间上的导函数

下面

我们看一道例题

我们假设

f(x)是一个分段函数

它在0到1这个闭区间上

函数值就等于根下x

而在

1到正无穷这个开区间内

它的函数值就等于x

我们证明这个函数

在x等于1这点

是不可导的

我们先求

这个函数在1这点

它的左导数

是否存在

我们看一下

f(x)减掉f(1)

比上x减1

在x小于1趋向1的极限

这个时候

也就是要求

根下x减1

除上x减1

在x小于1趋向1时的极限

这个极限值

我们求出

是等于二分之一的

同时

我们来看一下

f(x)减f(1)

比上x减1在

x大于1趋向于1时的极限

这个极限

我们求出

它是等于1的

也就是说

这个函数

在1这点的左导数是存在的

它的值

等二分之一

在1这点的右导数

也是存在的

它的值

是等于1的

因为

左右导数不相等

所以

这个函数

在x等于1这点

是不可导的

我们看

下一道例题

这是关于函数的

一个一般性质

我们假设

f(x)是定义在实轴上的

可导的周期函数

周期是t

我们证明

它的导函数

也是定义在实轴上的

周期函数

周期也是t

根据条件

我们知道

函数f(x)在每一点都是可导的

所以

它的导函数的定义域

也是整个实轴

我们假设

x0是任意的实数

因为函数

在x0这点可导

所以

它在x0这点的

函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时

它的极限

就是f一撇x0

由于f(x)它是以t

为周期的周期函数

所以

函数f(x)在

x0加t这点的函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时的极限

也就等于

函数在x0这点的

函数值的改变量

与自变量的改变量的比值

在自变量改变量

趋向于0时的极限

也就等于f一撇x0

这个等式

就说明函数

在x0加t这点的导数值

与函数在x0这点的导数值是相等的

这样我们也就证明了

它的导函数

在整个实轴上

是以t为周期的

周期函数

好 下面我们来看

最后一道例题

这也是函数的一个基本性质

我们假设f(x)是定义在实轴上的

可导奇函数

我们来证明

它的导函数f一撇x

是实轴上的偶函数

因为

f(x)在整个实轴上可导

所以

它的导函数定义域

也是整个实轴

我们假设

x0是任意的实数

因为

函数在x0这点可导

所以

它在x0这点的

函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时

它的极限就等于f一撇x0

考虑到f(x)是奇函数

所以

函数在负x0这点的

函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时的极限

也就等于f(x0)加上

负的△x

再减掉f(x0)

除上负的△x

在△x趋向于0时的极限

因为

函数在x0这点可导

所以

这个极限值

就是f在x0这点的导数值

这样我们就证明了

函数在负x0这点的导数值

与它在x0这点的导数值是相等的

所以导函数是一个偶函数

在这一讲中

我们学习了

函数在一点可导的概念

函数在一点

它的导数

与左右导数的定义

知道了

导数绝对值的大小

是函数在一点的变化率

反映的是

函数值在一点

随着自变量变化

而变化的快慢

我们也知道

如何利用

导数定义

和利用导数

与左右导数的关系

研究简单函数

在一点的可导性

知道了

函数在一个区间上可导的含义

和导函数的定义

在下一讲中

我们将要介绍

导数的几何意义

介绍函数在一点可导

与连续的关系

谢谢同学们

下一讲 再见