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微积分课程
今天我们介绍
第三章 导数与微分
第一节 导数与导函数
在这讲中
我们将介绍
导数的几何意义
并给出函数
在一点可导
与连续的关系
下面我们来介绍一下
导数的几何意义
从前面我们介绍的切线的概念
以及导数的定义
我们知道函数
在x0这点的导数值
也就是曲线y等f x
在 x0 f x0 这点的切线的斜率
我们以1和f一撇x0
做分量的这个向量
也就是这条曲线
在 x0 f x0 这点的
切线的方向向量
曲线y等f x
在 x0 f x0 这点的
切线方程
我们写出来
也就是y等于f x0
加上f一撇x0
乘上括号里面x减x0
我们将过切点
而且与切线垂直的直线
定义为曲线在这点的法线
我们知道当两条直线
斜率存在时
那么它们垂直的充分必要条件
是它们斜率的乘积等负1
所以
如果f一撇x0不等于0时
那么y等f x 这条曲线
在 x0 f x0 这点的
法线斜率
就是负的f一撇x0分之一
所以它的法线方程
也就是y等于f x0
减掉f一撇x0分之一
再乘上
括号里面x减x0
当f一撇x0等0时
y等f x 这条曲线
在 x0 f x0 这点的切线
是平行于x轴的
这时候它的斜率是等0的
它的方程就是y于等f x0
这时候
它的法线是垂直于x轴的
所以法线的方程
就是x等于x0
我们有时候说
两条曲线y等f x 与y等g x
在它们的交点 x0 y0
是相切的
这时候指的是
它们在这点的切线
是重合的
也就是这个时候
它们在这点的函数值
和一阶导数值
都应该是相等的
我们说两条曲线
y等f x 与y等g x
在它们的交点
x0 y0 处的夹角
指的是这两条曲线
在这点它们切线间的夹角
关于导数的几何意义
需要提醒大家的是
我们知道导数如果存在
这说明对应的曲线
y等f x 在相应的点处
切线是存在的
事实上
函数即使在一点的导数不存在
我们也推不出相应的曲线
在这点切线是不存在的
下面我们看一具体的例子
利用导数的定义
我们可以证明
函数f x
等于3次根下x
在x等于0这点
它的导数
是不存在的
但是y等3次根下x
这条曲线它在原点
它的切线就是y轴
这就是一个
导数不存在
但对应的曲线
在相应的点
切线存在的例子
下面我们求3次曲线
y等x3次方
在 1 1 这点的
切线方程
与法线方程
我们根据导数定义
先求一下x3次方
在x这点的导数
对x3次方来说
我们用定义
可以求得
它在x这点的导数值
就是3倍的x平方
所以
当x等于1时
导数值就等于3
这就是我们要求的
切线的斜率
所以
y等x3次方这条曲线
在 1 1 点的切线方程
就是y等于3倍的x减2
y等于x3次方
这条曲线
在 1 1 点的法线方程
就是
Y等于负的三分之一倍的x
加上三分之四
下面我们来求指数曲线
y等于e的x次方
过原点的切线方程
在这个问题中
原点 0 0
并不在这条指数曲线上
所以
我们不妨假设
指数曲线在x0
e的x0次方
这点处的切线
是过原点的
因为
e的x次方的导数
就是e的x次方
所以
我们要求的切线
它的切线方程
也就是
Y等于e的x0次方
加上e的x0次方
乘上括号里面x减x0
因为
原点在这条曲线上
所以我们将x等0 y等0
代到切线方程里边去
就会得到x0等于1
所以
我们要求的指数曲线
过原点的切线方程
也就是
Y等于e乘上x
下面
我们来看第三道例题
我们假设
y等于f x 这条曲线
与y等于ln x这条对数曲线
在x等于1这一个点处是相切的
我们求f x
在1这点的函数值
和一阶导数值
因为
这两条曲线
在x等于1这一个点处
是相切的
而且自然对数
在x等于1时的值
是等于0的
而它的导数
在x等于1时
它的值是等于1的
所以
f x 在1这点的值
是等于0的
f x 在1这点的导数值
是等于1的
下面
我们看第四道例题
我们求y等x平方这条曲线
与y等于根下x这条曲线
在 1 1 点
它们的小于90度的夹角
利用导数定义
我们可以求得
x平方这个函数
在x这点的导数值
就是2倍的x
而根下x这个函数
在x大于0时的导数值
就等于2倍的根下x分之一
所以
在 1 1 点
y等x平方
它的切线的方向向量
就平行于向量t1
第一个分量是1
第二个分量是2
而曲线
y等于根下x
在 1 1 这点的切线
它的方向向量
就平行于向量t2
t2的第一个分量是1
第二个分量是二分之一
我们根据
平面向量
点积的定义
我们知道
我们要求的夹角的余弦值
就等于t1和t2的点积
除上t1和t2长度的乘积
我们将
它们的分量代进去
就求得这个值是五分之四
所以
我们要求的
它们小于90度的夹角
就是arc cos五分之四
也就是在0到90度之间余弦值
等于五分之四的角
前面
我们已经介绍了
函数在一点
可导的概念
也知道了
什么叫函数在一点连续
下面我们给出
函数在一点
可导与连续的关系
定理2
如果函数f x
在x0这点是可导的
那么f x 在x0这点
就一定是连续的
我们给出这个定理的证明
所谓函数在一点可导
我们知道
就是指的
函数值的改变量
与自变量的改变量的比值
在x趋向x0时
极限是存在的
而我们要证的是函数
在x0这点连续
那么根据连续的定义
我们也就是要证
f x 在x趋向x0时
它的极限存在
而且
就应该等于f x
在x0这点的函数值
根据我们的条件
我们知道
f x 减f x0
除上x减x0
在x趋向x0时的极限
是f一撇x0
所以
f x 减f x0
也就等于
这个比值乘上
括号里面x减x0
那么
根据极限的乘法运算
这个乘积的极限
应该就等于
它们各自的极限做乘积
前面这个比值的极限
是f一撇x0
后面这个因子的极限是0
所以我们求的极限值
就等于0
这就说明f x
在x趋向x0时的极限
就是f x0
也就是说
函数f x
在x0这点
是连续的
这个定理说明
函数
在一点连续
是它在这点可导的必要条件
下面
我们看个例子
比如f x
等于x绝对值这个函数
我们知道
这个函数
在x等0是连续的
对于这个函数
我们利用导数定义
可以求得
它在x等0这点的左导数
是等于负1的
它在x等0这点的右导数
是等于正1的
所以
这个函数
在0这点的左导数
与右导数并不相等
也就是说
绝对值函数
在x等0这点
是不可导的
这个例子说明连续
也必定是可导的
必要条件
好 下面我们看第五道例题
我们假设
f x 是一个分段函数
它在x大于0时的函数值
就是x平方
在x小于0时的函数值
是ax加上b
如果
这个函数
在x等于0处
是可导的
我们来求
参数 ab的值
我们知道
要求两个参数的值
应该有两个等式
函数在x等0这点可导
指的是它在这点的左导数
和右导数是相等的
这是一个关系式
而另外一个关系式
是因为函数在x0这点可导
那么
它就在这点一定是连续的
所谓连续
也就是极限值
应该等于函数值
这就是我们要的第二个关系
下面
我们看具体的解答
因为f x 在x等于0处可导
所以
f x 在x等于0处连续
又因为函数
在0这点的左极限
也就等于b
而函数在0这点的函数值等于0
所以
我们利用左极限
与函数值相等
去求得b是等于0的
又因为
这个函数
在0这点的右导数
我们用定义可以求出来
右导数是等0的
而它的左导数
同样用定义
可以求出来是等于a的
利用
左右导数相等
我们就得到a的值是等于0的
下面
我们来看最后一道例题
我们假设
f x 在x大于0时
它的函数值是x的ɑ次方
乘上cosx分之一
在x等0时
它的函数值定义为0
如果
这个函数在x等0这点
它是右连续的
但是
右导数并不存在
我们求ɑ的取值范围
因为
函数f x 在0这点是右连续的
所以
f x 在0这点的右极限
应该就等于函数在0这点的值
也就等于0
这说明
x的ɑ次方乘上
cosx分之一极限应该等0
这两个因子的乘积
极限等0
也就意味着
x的 ɑ次方极限必须是0
我们根据
幂函数的性质
我们知道这个时候
也就是说ɑ
必须是大于0的
根据题意
我们知道
函数f x 在0这点的右导数
是不存在的
也就是
f x 减掉f x0 除上x
这个比值
在x大于0趋向0时
极限是不存在的
而这个比值
就是x的ɑ减1次方
乘上cosx分之一
这个乘积
在x大于0趋向0时的极限
不存在
就意味着ɑ减1
要小于等于0
也就是
ɑ小于等于1
这样
我们知道
如果f x 在0这点是右连续
但是
右导数是不存在的也就意味着
ɑ这时候的取值范围是
大于0小于等于1的
在这讲中
我们介绍了
函数在一点的几何意义
和函数在这一点可导与连续的关系
给出了曲线
在一点法线的概念
了解了两条曲线在一点相切
或者是垂直的含义
知道了两条曲线夹角的求法
通过学习我们应该会求
满足一定条件的切线
和法线方程
能够解出
曲线在一点的切向量
和法向量
也能够判断
两条曲线的相互关系
并且会利用可导
与连续的性质
处理相关的问题
在下一讲中
我们将介绍
函数在一点
可微的概念和微分的定义
谢谢同学们
下一讲 再见
-0.1 绪论
--0.1.1 绪论
-1.1 极限概念引例
--第1.1节测试 极限概念引例
-1.2 极限的概念
--第1.2节测试 极限的概念
-1.3 极限的性质
--第1.3节测试 极限的性质
-1.4 极限的运算
--第1.4节测试 极限的运算
-1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(1) 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(2) 夹逼定理与单调有界收敛定理
-1.6 两个重要的极限
--第1.6节测试 两个重要的极限
-1.7 无穷小量
--第1.7节测试 无穷小量
-2.1 连续函数的概念
--第2.1节测试 连续函数的概念
-2.2. 初等函数的连续性结论
--第2.2节测试 初等函数的连续性结论
-2.3 连续函数的性质
--第2.3节测试 连续函数的性质
-3.1 导数与导函数
--第3.1节测试 导数与导函数
-3.2 微分
--3.2.1 微分
--第3.2节测试 微分
-3.3 导数的运算
--第3.3节测试 导数的运算
-3.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--3.4.1 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--第3.4节测试 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
-3.5 高阶导数
--第3.5节测试 高阶导数
-4.1 极值和极值点
--第4.1节测试 极值和极值点
-4.2 微分中值定理
--第4.2节测试 微分中值定理
-4.3 洛必达法则
--第4.3节测试(1) 洛必达法则
--第4.3节测试(2) 洛必达法则
-4.4 函数单调性的判定
--第4.4节测试 函数单调性的判断
-4.5 函数的极值及其求法
--第4.5节测试 函数的极值及其求法
-4.6 函数的最值及其应用
--第4.6节测试 函数的最值及其应用
-4.7 曲线的凸性和拐点
--第4.7节测试 函数的凸性和拐点
-4.8 曲线的渐近线
--第4.8节测试 曲线的渐近线
-4.9 泰勒（Taylor）公式
--第4.9节测试 泰勒公式
-4.10 原函数与微分方程初步
--第4.10节测试 原函数与微分方程初步
-5.1 定积分问题举例
-5.2 定积分的概念
--第5.2节测试 定积分的概念
-5.3 定积分的基本性质
--第5.3节测试 定积分的性质
-5.4 微积分基本定理
--第5.4节测试 微积分基本定理
-5.5 定积分的几何应用
--第5.5节测试 定积分的几何应用
-5.6 定积分的物理应用
-6.1 换元积分法
--第6.1节测试 换元积分法
-6.2 分部积分法
--第6.2节测试 分部积分法
-6.3 有理函数的积分法
--第6.3节测试 有理函数的积分法
-6.4 定积分应用举例
--第6.4节测试 定积分应用举例
-6.5 反常积分
--第6.5节测试 反常积分
-7.1 无穷级数
--第7.1节测试 无穷级数
-7.2 正项级数
-7.3 比值判敛法和根式判敛法
--第7.3节测试 比值判敛法和根式判敛法
-7.4 一般项级数
--第7.4节测试 一般项级数
-7.5 幂级数
-7.6 函数的幂级数
--第7.6节测试 函数的幂级数
-7.7 泰勒级数
--第7.7节测试 泰勒级数
-7.8 幂级数的简单应用
-8.1 一阶可求解常微分方程
--第8.1节测试 一阶可求解常微分方程
-8.2 一阶线性微分方程
--第8.2节测试 一阶线性微分方程
-8.3 二阶线性常系数微分方程
--第8.3节测试 二阶线性常系数微分方程
-8.4 常系数微分方程简单应用举例
-期末考试
--期末考试说明
-期末考试--期末考试
