6.5.2 反常积分(2)在线视频

接下来我们来介绍一下

无穷积分收敛性的常用判别方法

我们知道无穷积分

它是利用

变限定积分函数的极限定义的

而变限定积分函数

是要用牛顿莱布尼兹公式求值的

我们知道一般的被积函数

要想求得它的原函数

是非常困难的

所以说对无穷积分来说

我们更关心的并不是它值的大小

因为我们可以有一些

近似的计算方法

得到它的值的大小

我们更关心的

应该是一个无穷积分

是否是收敛的

也就是说一个函数

在一个无穷区间上

它的无穷积分

是否是对着一个确定的值

关于无穷积分的判敛法

在微积分中是一个非常复杂的问题

我们在这只介绍两种特殊的情况

一种情况是当被积函数不变号时

怎么样判断这样的无穷积分

它的敛散性

另外一个情况

就是说我们对被积函数

取完绝对值之后来进行判断

这就是我们这要介绍的

两种基本的判别法

我们先看第一种

就是所谓的比较判敛法

被积函数不变号

要么是大于0 要么是小于0

我们知道收敛的无穷积分

是由线性运算性质

所以说我们只要能够讨论清楚

被积函数大于0的情况就可以了

关于比较判敛法

一般的形式是这样子的

这就是定理8

我们假设函数fx gx

在任意区间a到A上可积

那么当fx大于等于0

小于等于gx

而且gx在a到正无穷上的无穷积分

收敛时

我们就能得到fx对应的无穷积分

也是收敛的

第二个结论是如果fx

大于等于0 小于等于gx

而且fx在a到正无穷上的

无穷积分发散时

那么gx对应的无穷积分

也是发散的

也就是说当被积函数非负时

形象的说就是函数值大的

对应的无穷积分收敛时

函数值小的

对应的无穷积分也收敛

函数值小的无穷积分发散时

函数值大的无穷积分也发散

关于这两个结论

第二个结论应该是

第一个结论的直接推论

所以下面我们给出

第一个结论的证明

我们将fx在a到A的

变限定积分函数

记作FA

gx相应的变上限定积分函数

记作GA

那么在fx和gx非负的前提下

我们知道FA和GA

在A到正无穷上

就是一个单调基增函数

根据单调有界收敛定律

我们知道对这两个函数来说

在A趋向正无穷时

它的极限是否存在

实际上就与这两个函数是否有上限

是等价的

我们来看第一个结论的证明

第一个结论给的条件是

gx对应的无穷积分是收敛的

也就是说GA在A趋向正无穷时

极限是存在的

那么GA它就是有上限的函数

在fx小于gx的前提下

根据定积分的比较定理

我们知道FA是小于等于GA的

这样我们就得到了FA

也是有上限的

所以它是一个单调递增

有上限的函数

那么FA在A趋向

正无穷时的极限就存在

也就是fx在A到

正无穷上的无穷积分

是收敛的

这就是我们常用的比较判敛法

它的证明

关于无穷积分的比较判敛法

除了我们常用的一般形式之外

还有所谓的极限形式

我们下面来看一下它的极限形式

定理9

我们假设函数fx gx

在任意区间上都是非负可积的

而且fx与gx的比值

在x趋向正无穷时的极限等于C

在这儿C可以是有限值

也可以是正无穷大量

那么我们得到的结果是

如果C是一个大于0

小于正无穷的一个实数

这时候fx和gx

在a到正无穷这个区间上的无穷积分

它们就是同时收敛

或者是同时发散的

如果这个比值的极限C等于0

而且gx对应的无穷积分是收敛时

那么我们就能得到fx

对应的无穷积分也是收敛的

如果这个比值极限不存在

但它是正无穷大量

这个时候如果我们还知道

gx对应的无穷积分是发散时

那么我们就能得到

fx对应的无穷积分

也是发散的

在这三个结论中

我们先来看第二第三个结论

我们知道所谓比值的极限等于0

也就是说当x充分大时

分子是远远小于分母的

这样我们自然就可以用

比较判敛法的一般形式知道

对非负函数来说

函数值大的无穷积分收敛

函数值小的无穷积分自然收敛

这就是我们的第二个结论

而对第三个结论

这个比值是正无穷大量

也就是说当x充分大时

fx要远远大于gx

那么gx对应的无穷积分发散时

fx对应的无穷积分

自然也应该是发散的

关于第一个结论

下面我们利用极限的保号性

和比较判敛法的一般形式

给出证明

因为fx与gx的比值

在x趋向正无穷时的极限等于C

C是大于0的一个实数

那么根据保号性

我们知道存在一个正数N

当x大于N时

那么fx比上gx

就大于2分之C小与2分之3倍的C

因为gx是非负的

也就是说fx大于2分之C倍的gx

小于2分之3倍的gx

那么我们利用这个不等式

它的右边这个不等号

就可以说明

gx对应的无穷积分收敛时

fx对应的无穷积分也是收敛的

而利用这个不等式中

左边的不等号

我们自然也能说明白

当gx对应的无穷积分发散时

fx对应的无穷积分也是发散的

这样就证明了这个时候

fx和gx对应的无穷积分

是同时收敛或者是同时发散的

关于比较判敛法的极限形式

有一个特殊情况

也就是说如果我们让

非负函数fx

与xp次方分之1

这个函数做比较时

我们利用xp次方分之1

它的无穷积分

它的敛散性结论

就会得到一个具体的判敛方法

一般的我们把它称为是

比值判敛法的比阶形式

具体的结论就是定理10

我们假设函数fx在区间a到A上

是非负可积的

而且在x趋向正无穷时

xp次方乘上fx

它的极限是等于C

或者是说极限不存在

它是一个正无穷大量

这个时候

我们就能得到下面两个结论

如果这个C

是个具体的实数

无论是等于0还是大于0

只要p是大于1

我们就知道fx对应的无穷积分

是收敛的

第二个结论

如果这个C是大于0的

无论它是个实数也好

还是一个正无穷大量也好

而且这时候p是小于等于1的

我们就能得到

fx对应的无穷积分是发散的

事实上这就是在刚才我们介绍过的

极限形式里面

将gx取成的xp次方分之1

对xp次方分之1

在移到正无穷上

它的无穷积分的敛散性

我们前面是介绍过的

也就是p大于1时它收敛

p小于等于1时它发散

下面我们用比较判敛法

来处理两个简单题目

例7 判断下面

两个无穷积分收敛性

第一个无穷积分

是x除上1加x3次方

在2到正无穷上的无穷积分

我们先来看这个问题

我们知道在x大于等于2时

x除上1加x3次方它是大于0

我们把分母变小

它是小于x除上x三次方

也就是小于x平方分之1

而且我们知道x平方分之1

在2到正无穷上的无穷积分

是收敛的

所以利用比较判敛法

它的一般形式

我们就知道第一个无穷积分

是收敛的

下面我们再来看第二个无穷积分

对于第二无穷积分来说

当参数p等1时

实际上在前面

我们已经专门讨论过这个例题

我们再复习一下

当b等于1时

因为我们了用凑微分可以将

这个变上限定积分函数的表达式求出

从这个表达式我们可以看出

如果指数上的q减1大于0

那么在A趋向正无穷时

它是有极限的

如果q减1小于0

它是没有极限的

所以当p等1时

q大于1收敛

q大于0小于1 它是发散的

如果p等于1 q也等于1

我们利用凑微分法

很容易证明

这个时候

这个无穷积分也是发散的

这是我们前面曾经得到过的结果

下面我们来看p不等于1的情况

如果p是大于1

我们知道这个时候

在x趋向正无穷时

被积函数之所以趋向于0

起主要作用的

应该是xp次方分之1

我们就取

x2分之p加1次方分之1

与这个被积函数做比较

也就是考虑x的2分之p加1次方

除上xp次方

乘上lnx的q次方

这个极限是趋向于0的

这时候因为2分之p加1

是大于1的

所以x的2分之p加1次方分之1

它对应的无穷积分是收敛的

那么根据比较判敛法的极限形式

我们就知道

我们考虑的无穷积分是收敛的

类似的如果p是小于1时

我们同样考虑这个函数

与x2分之p加1次方分之1做比较

也就是考虑x的2分之p加1次方

除上xp次方再乘上lnx的q次方

这个时候这个极限它是不存在的

它是个正无穷大量

而且由于2分之p减1是小于1的

所以x的2分之p加1次方分之1

对应的无穷积分是发散的

所以利用比较判敛法的极限形式

我们考虑的无穷积分

也是发散的

这样我们就讨论清楚了

这个无穷积分它的敛散性

与参数p和q的取值关系

下面我们来介绍无穷积分的

绝对值判敛法

因为比较判敛法处理的

主要是被积函数不变号的情况

当被积函数变号时

我们先介绍我们最常用的

一个简单判敛法

就是绝对值判敛法

先介绍一下绝对收敛

和条件收敛的概念

定义2

如果fx的绝对值函数

对应的无穷积分是收敛的

我们就称fx在相应区间上的

无穷积分是绝对收敛的

如果fx对应的无穷积分是收敛的

但是它的绝对值函数

在相应区间上的无穷积分是发散的

这个时候我们就说

fx在这区间上的无穷积分

是条件收敛的

无论是绝对收敛

还是条件收敛

实际上都是要考虑

函数的绝对值函数

在相应区间上无穷积分的敛散性

这是绝对收敛和条件收敛的定义

我们的绝对值判敛法

给出的就是如果fx的绝对值函数

它对应的无穷积分是收敛的

那么 fx在相应区间上

对应的无穷积分

就一定是收敛的

也就是平时我们说的

绝对收敛的无穷积分

一定是收敛的

有了这个结论之后

对被积函数变号的情况

我们可以通过先取绝对值运算

将它变做是被积函数

不变号的无穷积分来处理

下面我们证明一下

这个绝对值判敛法

根据绝对值的概念和性质

我们知道fx加上fx的绝对值

大于等于0

同时它是小于等于

2倍的f的绝对值

因为fx绝对值对应的

无穷积分是收敛的

所以根据比较判敛法的一般形式

我们就得到fx加上fx的绝对值

对应的无穷积分是收敛的

我们再根据收敛的无穷积分

它的现行运算性质

我们就知道fx加上fx绝对值

再减去fx绝对值对应的无穷积分

是收敛的

也就是fx

对应的无穷积分是收敛的

下面我们来看第八道例题

我们证明sinx除上

x平方的1到正无穷

这个区间上的无穷积分

是绝对收敛的

实际上根据绝对收敛的概念

也就是要证明sinx

除上x平方的绝对值

它对应的无穷积分是收敛的

因为sinx的绝对值

是小于等于1的

所以我们的被积函数是

小于等于x平方分之1的

我们又x平方分之1

在1到正无穷

这个区间上的无穷积分收敛

所以根据比较判敛法

我们就得到了

sinx比上x的绝对值

对应的无穷积分是收敛的

也就是sinx比上x平方

对应的无穷积分是绝对收敛的

对于无穷积分的判敛法

我们最后再做两点说明

我们给出了绝对收敛

和条件收敛的概念

有没有这样的无穷积分

它就是条件收敛的

作为练习请大家在课下证明

sinx比上x在1

到正无穷这个区间上

这个无穷积分

就是一个条件收敛的无穷积分

需要说明的第二点是

我们前面介绍了比较判敛法

和绝对值判敛法

实际上这两个判敛法

只是给出了绝对收敛的无穷积分

敛散性的判断方法

对于条件收敛的无穷积分

它的敛散性

有没有常用的判别法

如果有怎么去用

鉴于课时的原因

在我们的课中不再做介绍

感兴趣的同学

可以查看一般的微积分教材

在这一讲中

我们介绍了

无穷积分要研究的问题

给出了它们收敛 发散的概念

因为无穷积分

就是变限定积分函数

在积分限趋向于无穷远时的极限

所以我们要用函数极限的观点

来研究无穷积分的问题

关于无穷积分的判敛法

比较判敛法

是当被积函数非负时

函数的单调有界收敛定理

在变限定积分函数的直接应用

比阶形式是比较判敛法的

常用形式

绝对值判敛法

只是给出了绝对收敛

无穷积分的判敛方法

下一讲将介绍

反常积分的另一种情形

即瑕积分

谢谢同学们

下一讲 再见