6.4.1 定积分应用举例在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第四节定积分应用举例

在学习了定积分的概念

和计算定积分的

牛顿莱布尼兹公式之后

我们曾经利用微元法

介绍了定积分的简单几何应用

和物理应用

受限于求原函数的方法

当时我们只能计算

基本积分公式中的函数的积分

现在我们已经掌握了一些

求原函数的方法可以计算一些

相对复杂的定积分的问题

本讲将通过几个具体的例子

进一步展示微元法的思想

和利用定积分

处理实际问题时的一般方法

我们先看第一道例题

我们求在抛物线y等2分之1倍的x平方上

定义域x从0到1这一段的长度

根据前面我们介绍过的

曲线长度的计算公式

我们要求曲线的长度

主要首先先写出弧长的微元

这个例子中

因为y关于x的导数

就等于x

所以我们的弧长微元

dl就等于根下1加x平方再乘上dx

我们对这个弧长微元

从x等0到x等1求积分

得出的就是我们要求的

这一段抛物线的长度

也就是说我们要求的长度

就等于根下1加x方

从0到1做定积分

对于这个定积分

我们做三角换元

也就令x等于tant

那么dx就等于dtant

而且在x等0时

对应的t的值是0

x等1 对应的t的值

是等于4分之π

那么利用定积分的换元积分公式

我们就将我们要求的这个定积分

转化成了sect

乘上dtant从零到4分之π作定积分

对于这个等式右端这个定积分

我们利用分部积分公式

就会得到它就等于sect

乘上tant

在4分之π这点的值

减掉0这点的值

再减去tant不动 sect求导

也就变成了tant乘上sect

再乘tant从零到4分之π的定积分

对于这个等式

右端第二项这个定积分

我们利用tan平方

应该等于sec平方减1

我们就进一步进行变形

就把这个定积分

变成了两个定积分做加减

其中一个定积分的被积表达式

就是sect乘上dtant

这个定积分

实际上也是我们要求值的定积分

另外一个就是被积函数是sect

sect的原函数

我们曾经求出过

应该就等于lnsect加上tant

所以利用定积分的

牛顿莱布尼兹公式

最后一个定积分的值

也就是lnsect加上tant

在4分之π定的值

减掉0这点的值

这样我们就得到了

我们要求的定积分

就等于根下2

减掉我们要求值的定积分

再加上ln1加根下2

我们求解这个方程就得到了

我们要求的定积分值

就是2分之1倍的括号里面根下2

再加上ln1加上根下2

这实际上就是我们要求的

那一段抛物线的长度

下面我们来看第二道例题

我们假设曲边梯形D

由抛物线y等两倍的根下x

还有直线x等3和X等8

以及X轴围成

我们求这个曲边梯形D

绕x轴旋转所成旋转体的体积

以及这个旋转体的侧面积

我们首先求这个旋转体的体积

在前面我们介绍

定积分的几何应用时

我们知道这个曲边梯形D

绕x轴旋转

所成旋转体的体积微元

dV就等于πy方乘上dx

也就是旋转的圆面积

再乘上它的厚度dx

我们将y与x的关系代入

所以说我们的体积微元

就是4πx乘上dx

我们对这个体积微元

从x等3到x等8求积分

得到的就是我们要求的

旋转体的体积

所以我们的体积V就等于4πx

从3到8做定积分

我们利用牛顿莱布尼兹公式

就求出了这个体积值

就是一般10乘上π

这是我们要求的

旋转体的体积的大小

下面我们来讨论

如何求这个旋转体的侧面积

我们为了要将旋转体的侧面积

表示成定积分

我们首先要求

旋转体侧面积的面积微元

我们考虑一般的情况

我们假设我们考虑的曲边梯形

是由连续曲线y等fx

还有推直x轴的直线

x等a和x等b

以及x轴围成

那么这个曲边梯形它绕着x轴旋转

所成的旋转体

就像我们图中画的这样

对于这旋转体

我们要求它的侧面积的面积微元

我们就用垂直x轴的平面

对这个旋转体进行分割

我们只考虑其中一小薄片

也就是说我们考虑

相应于小区间x到x加dx

这个范围上的一片

对于这一片我们可以把它近似的

看作是一个圆台

也就是说在这一块上

侧面积对应的值的大小

可以近似的

看作是一个圆台的侧面积

这个圆台两个底边的半径

分别是fx的绝对值

和fx加上dx的绝对值

这个圆台的母线长

可以近似的为

这一段对应的小弧长dl

那么根据圆台的侧面积计算公式

我们就得到了这个圆台

它的面积近似的表示成

上底的周长加上下底的周长

除上2再乘上它的母线长

因为x和x加dx非常靠近

而fx是连续函数

所以说我们可以近似的将f

在x加dx这点的值

就探索是f在x这一点的值

这样我们这个圆台的

侧面积的近似值

就可以表示成

2πfx的绝对值

这表示的是一个周长

再乘上根下1加f′的平方dx

这表示的是母线长的近似值

这样我们就得到了

我们要求的

宣传体侧面积的面积微元

dA就等于2πfx绝对值

再乘上根下1+f′x平方乘上dx

有了面积微元之后

我们对这个面积微元

关于x从左边x等A

到右边x等B做积分

得到的就应该是

我们要求的旋转体的侧面积

需要大家注意的是

在前面我们曾经讨论过

旋转体的体积问题

关于旋转体的体积

我们利用推直旋转轴的平面

对它进行分割之后

我们是把每一薄片

看作是一个小的圆柱体

利用圆柱体的体积

作为那一薄片的体积近似值

我们得到了体积为圆

而作为旋转体的侧面积

我们用同样的方法进行分割之后

每一薄片

它的侧面积

我们是用相应的圆台的侧面积

来做近似的

这是求体积和求侧面积

它的不同之处

回到我们例2中的具体情况

那么在例2中

我们的曲线方程fx

是等于两倍的根下x

我们的a是等3 b是等8

所以我们要求的旋转体的侧面积

也就等于2倍的π

乘上2倍的根下x

这表示的是一个周长

再乘上根下1加上

根下x分之1的平方再乘dx

最后关于x从3到8做积分

我们整理之后

也就是要求根下x加1

从3到8的定积分

再乘上4π

在这个4定积分中

被积函数是一个简单的幂函数

我们利用牛顿莱布尼兹公式

就很容易求得它的值是152倍的π

除上3

这就是我们要求的

这个旋转体的侧面积的大小

接下来我们讨论第三道立体

我们假设l是抛物线

y等根下x上的一段

x的取值范围是从2到6

我们假设这段抛物线上

每一点都带有质量

而它的质量线密度ρx

就等于根下x分之1

也就是质量分布是不均匀的

我们来求这条抛物线段

它的质量大小

根据每一点的质量线密度

我们知道我们要求的质量微元

也就是说每一小段弧上的质量大小

dm就等于这一段上某一点的密度

ρx再乘上这一段的长度

我们将ρx的表达式

以及dr的表达式代入

这样就得到了我们的质量微元

dm就等于根下4倍x加1

再除上2倍x 再乘上dx

有了质量微元之后

我们要求的质量

也就是对质量微元

关于x从2到6做区分

再这个定积分中

我们知道分子上的根号

应该是我们的难点

为了把根号去掉

我们就令根下4x加1等于t

那么x就等于4分之1倍的t方减1

dx就等于2分之1倍的tdt

而且在x等2时对应的t的值应该等3

x等6时对应的t的值应该等5

我们利用定积分的换元积分公式

我们要求的质量

就变成了t方除上t方减1

对t从3到5做积分

我们将分子上的t方表示成t方减1

再加1

这样我们就把我们要求的积分

变成了1加上1除上t方减1

在3到5上的定积分

这两部分它的原函数

我们都可以求出

那么利用牛顿莱布尼兹公式

我们就求得了质量的大小

是2加上4除上根下3的自然对数

接下来我们来讨论第四道例题

我们假设有一个长度是l

而且质量分布是均匀的细杆

与这段细杆位于统一直线上

相距为a处放置的一个

质量是m的质点

我们求这段细杆

对这个质点的引力大小

我们知道牛顿万有引力定律说

质量分别是m1 m2

相距为r的两个质点

他们的引力大小

与他们的质量的乘积呈正比

与他们之间距离的平方乘反比

也就是说这两个质点间的引力大小

是F等于m1乘m2除上r平方

再乘上引力常数G

回到我们的问题

我们假设这个细杆的密度大小就是ρ

ρ是常数

我们向图上画的那样

我们假设质点就位于原点

细杆落在这个质点的右侧

在x轴上

我们将这个细杆分成许多小段

每一段我们近似成一个质点

我们将每个质点

对这个质点m的引力大小求出

因为他们的方向都是沿着坐标轴

从原点往右项指的

所以说这些质点

对m这个质点的引力

可以做代数和

这样我们通过取和取极线

就可以把我们要求的引力大小

处理成一个定积分问题

这是我们处理这个问题的基本思路

具体的处理方法

也就是我们将细杆上

位于区间x到x加d的一段

近似为一个质点

这个质点

到质点m的距离

我们用x表示

它的质量就等于密度乘上这个长度

也就是ρ乘上dx

所以我们要求的

引力微元是m乘上ρ再乘dx

除上x平方

再乘上引力常数G

在这 这个距离x它的取值范围

就是从a到a加l

我们对这个引力微元

关于x从a到a加l求定积分

得到的就是我们引力的大小

也就说f就等于G乘上m再乘ρ

再除上x平方

从a到a加l做积分

我们知道x平方分之1的原函数

是负的x分之1

所以利用牛顿莱布尼兹公式

就得到了我们的引力大小F

就等于G乘上ρ再乘m

再乘上括号里面a分之1

减掉a加l分之1

这是我们求得的最后结果

接下来我们讨论第五道例题

我们假设有一个半圆轴

质量分布是均匀的

我们再假设在这个半圆轴的

圆心位置上放置了一个

质量为1的质点

也就是所谓的单位质点

我们求这个半圆轴

对圆心位置上

这个单位支点的引力大小

为了将这个问题

转化成一个积分问题

我们不妨假设这个半圆轴的圆心

就在坐标系的原点

这个半圆轴的半径大小是r

而且整个半圆轴

是落在上半平面里面

也就是我们图中画出的情形

我们将半圆轴上

每一小段近似为一个质点

那么这个质点

对位于原点的单位支点的引力

它的方向是不同的

为了对他们能够进行做代数和

我们将每一个质点

对圆心问题的单位质点的引力

沿着x轴和y轴方向做分解

分别用dfx和dfy来表示

我们根据对称性

我们就知道dFx沿着圆轴做积分

最后的合力应该是等0的

所以说我们要求这个引力的大小

主要是要求他们在y轴方向上

分立的大小就可以了

我们假设这个圆轴的质量线密度

也是常数ρ

那么我们要求的dfy

就应该等于引力常数G乘上ρ乘dl

这表示这一小段对应的质点的质量

再除上R平方

因为我们圆心处的质点质量是1

所以说分子上就变成了ρ乘dl

我们知道弧长 半径和圆心角的关系

所以说dr就等于半径

乘上圆心角的改变量dθ

也就是说我们的dfy

就等于G乘上ρ再除上R

再乘上dθ

我们关于dfy关于圆周做积分

也就是关于圆心角

从0到π做积分

我们就得到了最后的结果是

G乘上ρ再乘上π除上半径R

这就是我们要求的半圆轴

对位于圆心位置的单位支点的引力

它的方向是沿着Y轴的正向的

我们将这个表达式

变列形 也就表示成

G乘上ρ乘π乘R再除上R平方

请大家注意

我们的分子也就等于1乘上ρπR

ρπR表示的是这个半圆轴的质量

也就是说我们最后求的结果

实际上相当于是把整个半圆轴

看作是一个支点

放在半圆轴以外相交的位置

那么这个质点对位于原点的

单位质点的引力大小

就是我们要求的最后结果

在这一讲中

我们通过几道例题展示了

利用定积分处理实际问题时的

一般过程和方法

除了掌握一个例子给出的有关结论

我们还应进一步思考

下面两个问题

第一也就是具备什么特征的量

能用定积分表示

或者是说什么样的问题

能用定积分来处理

第二个问题是

当一个量能用定积分表示时

怎么样才能建立

计算这个量的积分表达式

关于第一个问题

我们要求所考虑的量

要具有区间可加性

或者是说所考虑的量

要可以表示成代数和

关于第二个问题

主要有两个过程

一是要将连续问题离散化

并在局部范围内用均匀变化

代替非均匀变化

从而得到局部量的近似值

也就得到了所谓的微元

第二个过程是

要将局部量的近似值相加

并求期限得到整体量的精确值

也就是要对微元做积分

下一讲将研究无限区间

或无界函数的积分问题

即反常积分问题

谢谢同学们

下一讲 再见