5.3.1 定积分的性质(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第三节

定积分的基本性质

前面我们已经学习了

定积分的概念

知道定积分是反映

函数整体性质的一个量

在了解了定积分存在的

必要条件和充分条件之后

计算定积分的值和

讨论定积分之间的关系

就是需要进一步关注的问题

本讲将介绍

定积分运算的几个常用性质

我们首先介绍

定积分的几个运算性质

第一个性质

定积分的方向性

在介绍定积分定义时

我们的积分区间是a到b

所以说我们的积分下限a

是小于积分上限的

但是在处理具体的

定积分计算问题时

我们也会碰到

积分下限大于积分上限的情况

那如何理解积分下限

大于积分上限的定积分

我们规定a到b的定积分

与b到a的定积分是差一个负号的

这样我们就利用

积分下限小于积分上限的定积分

得到了积分下限

大于积分上限的定积分

它的值的大小

类似的在处理

定积分的具体问题时

我们还会碰到积分变量

用不同记号表示的情况

我们知道根据定积分的定义

定积分反映的应该是被积函数

在积分区间上的一个整体性质

当被积函数与积分区间确定后

定积分值的大小就完全确定了

也就是说

定积分的值它的大小

与积分变量用什么记号表示

并没有关系

所以f(x)从a到b的定积分与

f(t)从a到b的定积分以及与

f(u)从a到b的定积分

表示的都是同一个值

接下来我们看第二个性质

也就是定积分的线性运算性质

我们写成定理

定理5

如果函数f(x)和g(x)

都在区间[a,b]上是可积的

那么对于任意的实数α β

α乘上f(x)加上β乘g(x)

也在区间[a,b]上可积

而且他们的定积分

有下面的等式关系

也就是α乘上f(x)

加上β乘上g(x)

他的定积分

就等于α乘上f的定积分

加上β乘上g(x)的定积分

这就是所谓的

定积分的线性运算性质

关于这个结论我们利用

定积分的定义

可以给出一个简短的证明

对于[a,b]的任意划分

以及在每个小区间上任取的一点

我们就得到α乘上f(x)加上

β乘上g(x)在这个划分

和这个取点方式下的一个积分和

因为积分和是有限个数求和

所以我们利用加法的交换律以及

加法和乘法的分配律

我们就可以将这个积分和写成

f(ξk)乘上Δxk

对k从1到n求和

求完和之后乘上α

再加上g(ξk)乘上Δxk

对k从1到n求和完之后再乘上β

因为我们的条件是f(x)和g(x)

在区间[a,b]上都是可积的

所以他们的积分和

在划分直径趋向于0时

极限就是他们

在[a,b]区间上的定积分

根据极限的线性运算性质

这样我们就知道

α乘上f(x)加上β乘上g(x)

它的积分和

在划分直径趋向于0时

它的极限是存在的

而且他的极限值

就等于f(x)

在[a,b]上的定积分值乘上α

再加上g(x)

在[a,b]区间上的定积分值乘上β

这样我们利用

定积分的定义就证明了

我们定积分的线性运算性质

对于函数运算来说

我们最基本的运算

应该是函数的和差积商运算

有了定积分的线性运算性质之后

我们知道两个可积函数

做加法运算和减法运算

他们得到的和函数和差函数

仍然是可积的

同样的我们可以证明

两个可积函数经过乘法运算之后

得到的乘积函数也是可积的

但是两个可积函数

经过除法运算之后

得到的商函数不见得还是可积的

譬如说f(x)等于1

和g(x)等于x这个函数

在[0,1]区间上

他们都是可积函数

但是f(x)除上g(x)

也就是x分之1

在[0,1]区间上是一个无界函数

当然他的定积分是不存在的

这是关于可积函数

他们的和差积商函数

是否是可积的

我们得到的结论

也就是说可积函数的

和函数 差函数

乘积函数仍然是可积函数

但商函数不见得还是可积函数

下面我们看定积分的第三条性质

定积分的区间可加性

定理6

我们假设f(x)

在区间[a,b]上可积

c是a b之间的一个点

那么我们就会得到f(x)

在区间[a,c]

与区间[c,b]上都是可积的

而且f(x)

在[a,b]区间上的定积分值

就等于他在

[a,c]区间上的定积分值

再加上f(x)

在[c,b]区间上的定积分值

这就是所谓的

定积分的区间可加性

当然这个结论

反过来也是可以的

也就是说如果

c是大于a小于b的

而且我们知道

f(x)在区间[a,c]

与区间[c,b]上都是可积的

那么f(x)在区间

[a,b]上也是可积的

同样的f(x)

在三个区间上的定积分值

仍然满足同样的等式关系

关于定积分的区间可加性

它的严格证明

我们不做讨论

我们只是从几何上来解释一下

这个性质所表示的情形

从几何上看

如果f(x)在[a,b]区间上可积

也就说我们图中这个

大的四边形的面积是存在的

那么我们知道

这两块小的四边形

它的面积也是存在的

而且大四边形的面积应该就等于

两块小四边形面积之和

反过来从面积上讲

这个关系还是成立的

关于定积分的区间可加性

在我们具体应用时

我们还需要说明的是

只要在我们讨论的等式中

牵扯到的定积分是存在的

实际上c介于a到b之间

并不是一个必要的条件

换句话说即使c小于a

或者是c大于b

我们这三个定积分之间

还是存在同样的等式关系

下面我们来介绍

定积分的第四条性质

这条性质是关于特殊函数

求定积分时

我们需要注意的一个性质

定理7

我们假设函数f(x)在[-a,a]

这个关于原点对称的

区间上是可积的

如果f(x)是奇函数

那么f(x)在[-a,a]的

定积分值就等于0

如果f(x)是偶函数

那么f(x)在[-a,a]

这个区间上的定积分

就等于f(x)在[0,a]区间上

定积分的两倍

实际上关于奇函数和偶函数

定积分的这个性质从几何上

我们可以很容易的得到解释

因为奇函数的图像

关于原点是对称的

所以说它对应的面积的代数和

应该等于0

而偶函数的图像

关于y轴是对称的

所以说他们对应的

面积的代数和

应该是[0,a]上

对应的面积的两倍

下面我们从定积分的定义出发

给出定理7的一个证明

我们为了用上

奇函数和偶函数的定义

我们就做特殊的划分

我们利用关于原点对称的点

将-a到a这个区间给他分成2n份

分点分别用x0 x1到xn

以及x负n一直到x负1来表示

其中x负k就等于xk的负值

也就是说我们的分点

是关于原点对称的

同样的我们取

ξk属于[xk-1,xk]

我们再取ξ负k就等于负的ξk

他应该就属于x负k到x负k加1

所以说我们的取点

也是关于原点对称的

在这种划分和这种取点方式下

我们就得到了

f(x)在[-a,a]上的

积分和应该就等于

f(ξi)加上f(-ξi)再乘上Δxi

i从1到n求和

最后让划分直径趋向于0

这样我们就知道

当f(x)是奇函数时

f(ξi)加上f(-ξi)是等于0的

所以我们那个积分和

极限是等于0的

也就是证明了奇函数

在关于原点对称的区间上

定积分值是等于0的

类似的当f(x)是偶函数时

f(ξi)加上f(-ξi)

他应该等于两倍的f(ξi)

所以我们那个积分和的极限值

就应该等于f(x)

在0到a区间上定积分的两倍

这就是偶函数

在关于原点对称区间上

定积分的性质

下面我们来看一下周期函数

定积分的一个性质

定理8

假设f(x)是可积的

而且他是以T为周期的周期函数

那么对于任意的实数a

我们都有f(x)

在a到a加T上的定积分值

等于f(x)在0到T上的定积分值

也就是说周期函数

在可积的前提下

他在任何一个

以周期为长度的区间上

它的定积分值是个常数

关于周期函数的这个性质

我们只给出证明的大概想法

具体的细节

请同学们在课后补充

首先我们利用

定积分的区间可加性

我们知道f(x)

从a到a加T的定积分

就等于f(x)

从a到0的定积分加上

f(x)从0到T的定积分

在加上f(x)

从T到a加T的定积分

因为f(x)是一个

以T为周期的周期函数

大家可以证明

他在T到a加T上的定积分值

就等于他在0到a上的定积分值

也就是说a到0它的定积分值

加上T到a加T它的定积分值

是等于0的

这样我们就得到了

我们要证的结果

也就是f(x)在a到a加T上的定积分

等于f(x)在0到T上的定积分

上面我们介绍的

定积分的这四个性质

主要就是来处理

定积分的有关计算问题时

我们常用的几条性质

通过具体的题目

大家可以对这些性质

作进一步的理解和掌握

下面我们看两道具体的题目

例1

我们计算下面这个定积分的值

也就是e的x的绝对值次方

在-1到1上的定积分

我们利用偶函数定积分的性质

我们知道

我们要求的定积分

也就是e的x次方

在0到1上定积分的两倍

在前面我们曾经用定义求出过

e的x次方在0到1上的定积分的值

是等于e减1的

所以我们要求的定积分的值

就等于两倍的括号里面是e减1

下面我们看第二道例题

我们计算下面这个定积分的值

被积函数是1加上x乘上cosx

括起来再乘上根下1减x方

积分区间是-1到1

首先这个定积分

是两个函数求和再求定积分

所以大家可以利用

定积分的线性运算性质

把他处理成两个定积分之和

也就是我们要求值的定积分

就等于根下1减x方

在-1到1上的定积分

再加上x乘上cosx

再乘上根下1减x方

在-1到1上的定积分

对第一个定积分来说

大家利用定积分的几何意义

可以知道这个定积分就等于

圆心在原点半径为1的

上半圆的面积

也就等于2分之π

而对第二个定积分来说

大家注意到

被积函数是一个奇函数

所以说他在-1到1上的

定积分值是等于0的

这样就得到了

我们要求的定积分值

就等于2分之π

在这一讲中我们介绍了

定积分的方向性

定积分的线性运算性质

以及定积分的区间性

也介绍了特殊函数

尤其是奇函数 偶函数

周期函数定积分的性质

这是定积分

常用的几个运算性质

应注意他们

在定积分计算问题中的具体应用

下一讲将介绍

定积分的其它几个常用性质

谢谢同学们

下一讲 再见