1.2.4 极限的概念(4)在线视频

同学们大家好

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微积分MOOC课程

今天我们介绍

第一章 极限

第二节极限的概念（4）

函数在无穷远处的极限指的是

当x离原点的距离趋于无穷时

它对应的函数值f(x)的极限

如果函数它的定义域是无穷区间

那么我们就会经常碰到研究无穷远处的极限问题

在这一讲中

我们将介绍x趋向于无穷

x趋向于正无穷和x趋向于负无穷时f(x)的极限

并给出它们之间的相互关系

为了研究x趋向于正无穷时

函数f(x)的变化情况

我们看一个具体的例子

我们来看反正切函数在x趋向于正无穷时

它对应的函数值的变化情况

我们将 当x取某些值时

它对应的反正切函数的函数值列一个表

从这个表中大家可以看出

随着x的取值越来越大

它对应的反正切函数的函数值也越来越大

但是当x大于2的20次方时

它对应的反正切函数的函数值

就稳定在一个确定的值

实际上

反正切函数是一个单调递增的函数

所以说随着自变量的变大

函数值越来越大

这反映的是单调性

而它们对应的函数值越来越趋向于一个确定的值

这应该反映的就是x趋向于正无穷时

反正切函数它的极限

对于一般的函数来说

如果在x趋向于无穷的过程中

它对应的函数值f(x)无限接近某个常数A

那么A就称作函数f(x)在x趋向无穷时的极限

如果用严格的数学语言来说

我们可以将x趋向于无穷时的极限

它的定义

写成下面这种形式

定义4 设函数f(x)在x的绝对值充分大时有定义

也就是在某一个闭区间之外都是有定义的

A是一个常数

若对于任意的正数ε

总存在一个正数X

使得只要x的绝对值大于X

那么就有f(x)减A的绝对值小于ε

这时我们就称函数f(x)在x趋向于

无穷时的极限是A

记作limit x趋向于无穷时

f(x)的极限等于A

在这个定义中

x的绝对值大于X

直观的说就是当x对应的点

离原点的距离越来越远时

它对应的函数值f(x)就应该与确定的常数A

越来越接近

而且可以充分接近

在刚才的定义中

如果我们把x的绝对值大于X改成是x大于X

那么我们就会得到x趋向于正无穷时

f(x)的极限是A的定义

类似的

如果在刚才的定义中

我们把x的绝对值大于X改成是x小于X的负值

这时我们就会得到函数f(x)

在x趋向于负无穷时的极限是A的定义

函数在x趋向于正无穷时的极限是A

我们记作limit x趋向于正无穷

f(x)的极限等于A

函数在x趋向于负无穷时的极限是A

我们记作limit x趋向于负无穷

f(x)的极限等于A

从几何上看

x趋向于无穷时

f(x)的极限等于A

它说明的是对任意给定的

两条直线y等于A减ε和y等于A加ε

我们总能找到一个大于零的数X

使得只要x小于X的负值

或者是x大于X

那么函数y等于f(x)的图形就一定会位于这两条直线之间

从图上可以直观的看出

如果我们把刚才那两条直线的距离

取得在近一些

那么从定义可以看出这样的X还是存在的

下面我们利用定义来证明几个具体的极限

例一 证明x分之一在x趋向于无穷时的极限等于零

因为x分之一减零

它的绝对值就等于x的绝对值分之一

我们为了让这个数充分小

也就是对于任意的正数ε

我们要使得x分之一减零的绝对值要小于ε

那么只要使得x的绝对值

分之一小于ε就可以了

这个不等式它等价于x的绝对值大于ε分之一

所以 如果我们取X就等于ε分之一

那么当x的绝对值大于X时

我们就得到x分之一减零

它的绝对值是小于ε的

那么根据x趋向于无穷时的极限的定义

这样我们也就证明了x分之一

在x趋向于无穷时的极限是等于零的

下面看第二道例题

如果函数f(x)它的表达式是x加一

除上x的绝对值加二

我们证明f(x)在x趋向于正无穷时的

极限是等于一的

而它在x趋向于负无穷时的极限是等于负一的

如果我们要证明x趋向于正无穷的极限等于一

那么我们只关心x在充分大时的情况就可以了

所以我们不妨假设x大于二

这时候f(x)减一的绝对值就等于

x加一除上x加二减一的绝对值

也就等于x加二分之一

我们将分母缩小到x

那么整个分数就放大到x分之一

有了这个关系之后

那么对于任意的正数ε

我们想要使得f(x)减一的绝对值小于ε

就只要使得x分之一它小于ε就可以了

这时候也就是只需要x大于ε分之一

有了这个不等关系之后

我们就取X等于ε分之一

那么X是一个大于零的数

而且它满足当x大于X时就一定有

f(x)减一的绝对值小于ε

这样根据函数在x趋向于正无穷时的定义

我们就证明了f(x)在x趋向于正无穷时

它的极限是等于一的

接下来

我们看一下

在x趋向于负无穷时的极限情况

同样考虑函数在x趋向于负无穷时的极限

我们只关心x充分小时的情况

我们不妨假设x小于负二

这是f(x)减负一

也就是f(x)加一它的绝对值

就等于三除上负x加二

这时这个分式它是小于零的

我们给它放大为三除上负x

那么对于任意的正数ε

我们要使得f(x)加一的绝对值小于ε

也就只要使得三除以负x小于ε就可以了

这时x应该小于负的ε分之三

所以可以取X就等于ε分之三

这时X是一个大于零的数

而且它满足

当x小于X的负值时

就有f(x)加上一的绝对值是小于ε的

那么根据函数在x趋向于负无穷时极限的定义

我们就证明了f(x)在x趋向于

负无穷时的极限等于负一

前面我们已经介绍了函数在x趋向于无穷

x趋向于正无穷和在x趋向于负无穷时的极限

与函数在一点的极限与左右极限的关系一样

这三个极限之间也有类似的结论

这就是下面我们要介绍的一个定理

定理二

假设函数f(x)在x绝对值充分大时都有定义

那么f(x)在x趋向于无穷时的极限存在

它的充分必要条件是f(x)在x趋向于正无穷时的极限

和f(x)在x趋向于负无穷时的极限都是存在的

而且它们的极限值应该相等

下面我们对于这个定理给一个简短的证明

我们先证它的必要性

也就是如果函数f(x)在x趋向于无穷时的极限存在

那么就能证明它在x趋向于正无穷

和在x趋向于负无穷时的极限值都存在

而且极限值相等

我们记f(x)在x趋向于无穷时的极限就是A

对于任意的正数ε

根据极限的定义

我们就知道

一定存在大于零的数X

只要x的绝对值大于X

那么就有f(x)减A的绝对值小于ε

特别地 当x大于X时

就一定有f(x)减A的绝对值小于ε

这就说明了f(x)在x趋向于正无穷时的

极限是等于A的

当x小于X的负值时

我们仍然有f(x)减A的绝对值小于ε

这就说明了f(x)在x趋向于负无穷时的极限也等于A

这样 我们就证明了必要性

下面我们来看充分性的证明

我们不妨假设f(x)在x趋向于负无穷

和x趋向于正无穷时的极限就是A

那么对于任意的正数ε

根据极限的定义

我们就知道一定存在一个大于零的数X1

使得x小于X1的负值时

我们有f(x)减A的绝对值是小于ε的

同样 我们也知道一定存在一个大于零的数X2

只要x大于X2

我们也有f(x)减A的绝对值小于ε

那么我们取X是X1和X2中最大的

那么我们就能保证

当x的绝对值大于X时

一定也有f(x)减A的绝对值是小于ε的

这样根据极限的定义

我们就证明了

函数f(x)在x趋向于无穷时的极限也等于A

这就是充分性的证明

根据我们这个定理

我们就知道x加一除上x绝对值加二

因为这个表达式在x趋向于正无穷和

x趋向于负无穷时

它们的极限尽管存在

但由于它们的值并不相等

所以这个表达式在x趋向于无穷时的极限不存在

类似的

因为反正切函数在x趋向于正无穷时的极限

是二分之π

而在x趋向于负无穷时的极限是负的二分之π

所以反正切函数在x趋向于无穷时

极限也是不存在的

在这一讲中

我们介绍了函数在无穷远处的极限

到现在为止

我们就介绍完了函数在自变量的

六种变化趋势下的极限概念

下一讲中

我们将研究一类特殊函数的极限问题

即数列的极限

谢谢同学们

下一讲再见