5.3.2 定积分的性质(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第三节

定积分的基本性质

前面我们已经介绍了

定积分的几个常用的运算性质

本讲将介绍定积分的几个

常用的估计性质

并介绍定积分值与被积函数

在某点值之间的关系

即积分中值定理

下面我们来介绍

处理定积分问题时

经常处理的一些

有关定积分的

估值问题和比较问题

首先我们介绍定积分的比较定理

定理9

我们假设函数f(x) g(x)

都在区间[a,b]上可积

而且f(x)是小于等于g(x)的

那么f(x)

在[a,b]区间上的定积分值

就小于等于g(x)

在[a,b]区间上的定积分值

比较定理也就告诉我们

为了比较两个定积分值的大小

我们不见得一定要求出

定积分值的具体值

我们可以借用

被积函数的大小关系

来确定它们对应的

定积分值的大小关系

关于比较定理

下面我们利用

定积分的定义给出证明

对于[a,b]的任意划分

以及在每个小区间上

任取的一点

我们知道f(ξk)

是小于等于g(ξk)的

那么两边同乘

第k个子区间的长度Δxk

不等号是不变的

我们将n个不等式两端求和

这样就得到了f(ξk)乘上Δxk

关于k从1到n求和

是小于等于g(ξk)乘上Δxk

关于k从1到n求和

也就得到了f(x)和g(x)

这两个可积函数

他对应的积分和之间的

一个大小关系

因为他们是可积的

所以在划分直径趋向于0时

积分和的极限是存在的

那么利用积分的保序性质

我们就知道f的积分和的极限

是小于等于g(x)积分和的极限

也就得到了

f在[a,b]区间上的定积分

是小于等于g(x)

在[a,b]上的定积分

这就是比较定理的证明

有了比较定理之后

我们就会得到

它的一个常用的特殊形式

这就是定积分的估值定理

我们假设f(x)

在[a,b]区间上可积

而且他存在最大值M和最小值m

那么我们就知道f(x)

在[a,b]区间上的定积分值

就介于m乘上b减a

到M乘上b减a之间

估值定理告诉我们

当我们知道

被积函数的取值范围时

我们利用估值定理

也就得到了定积分值所在的范围

如果我们的积分区间长度

是非常小的时候

实际上这样我们就能得到

定积分值一个比较好的估计值

这是估值定理告诉我们的结论

估值定理就是前面我们介绍的

比较定理的一个直接推论

所以利用比较定理

就可以给出他的一个简单证明

因为f(x)是大于等于m

小于等于M的

所以我们就知道

f(x)在[a,b]上的定积分

就大于等于

m在[a,b]上的定积分值

就小于等于M

在[a,b]区间上的定积分值

我们知道常数在区间上的定积分值

就等于这个常数乘上区间长度

所以我们就得到了

我们要证的估值定理

下面我们来看几道具体的例题

例1

我们比较e的x平分次方

与e的x次方

在[0,1]上定积分的大小

我们知道在区间[0,1]上

x平方是大于等于0

小于等于x的

根据指数函数单调性

我们就得到了e的x的平方次方

是小于等于e的x次方

这样我们利用比较定理

就得到了e的x平方次方

在0到1上的定积分值

是小于等于

e的x次方

在0到1上的定积分值

下面我们看第二道例题

我们比较x除上1加x

与ln(1+x)

在0到1上定积分的大小

在这道题目中

我们为了判断

被积函数的大小

我们令f(x)就等于

两个被积函数的差

那么f的导数

我们就容易判断出来

在0到1这个区间上是小于0的

这说明f在[0,1]区间上

是单调递减的

我们又知道f

在x等于0的值是等于0的

所以在0到1区间上

f是严格小于0的

这样我们就得到了

两个被积函数的大小关系

也就是x除上1加x

在0到1区间上

是小于ln(1+x)的

那么利用定积分的比较定理

我们就得到了

x除上1加x在0到1上的定积分

是小于ln(1+x)

在0到1上的定积分

实际上在这道例题中

这是我们对一般的定积分

比较大小常用的求解方法

也就是说

我们可以利用一阶导数的正负号

与函数单调性的关系

来判断两个被积函数的大小关系

从而进一步得到

他们对应的两个定积分值

它的大小关系

下面看第三道例题

我们估计下面

这个定积分的取值范围

我们假设f(x)

是我们的被积函数

那么f的导数

在0到2分之π这个范围中

就是小于0的

所以被积函数是单调递减函数

那么我们就得到了

它的最大值在左端点取到

应该等于1

而他的最小值应该在右端点取到

就等于e分之1

有了最大值和最小值

我们利用定积分的估值定理

就得到了这个定积分

它的取值范围

是介于2e分之π

到2分之π之间

这是我们利用估值定理来估计

定积分取值范围常用的方法

下面我们来看第四道例题

如果函数f(x)

在[a,b]上是连续非负函数

而且不恒为0

我们来证明f(x)

在[a,b]区间上的定积分

是严格大于0的

在这道题目中

我们如果只用比较定理

我们能够直接得到f(x)

在[a,b]区间上的定积分

是大于等于0的

现在也就是

在非负不恒为0的前提下

我们要证明等号是取不到的

为了证明这个结论

我们需要用到

连续函数的保号性质

以及定积分的区间可加性

和定积分的比较定理

具体证明过程如下

因为f(x)在[a,b]区间上

非负且不恒为0

所以我们不妨假设

在开区间内有一点x0

使得f(x0)是大于0的

因为函数在x0这点是连续的

所以在x0这一点附近

函数值是充分靠近f(x0)的

也就是说存在δ大于0使得

在x0减δ到x0加δ这个范围内

任何一点的函数值f(x)

都是大于等于2分之1倍的f(x0)

因为f(x)在[a,b]区间上的定积分

我们可以写作是f(x)

在a到x0减δ

这个区间上的定积分

再加上x0减δ到x0

加δ这个区间上的定积分

再加上x0加δ到b

这个区间上的定积分

这是利用定积分的区间可加性

在这三个定积分中

第一个定积分和第三个定积分

利用比较定理是大于等于0的

第二个定积分利用比较定理

他是大于等于2分之1倍的

f(x0)它的定积分

而2分之1倍的f(x0)是个常数

所以他在这个区间上的

定积分就等于

这个常数乘上区间长度

这样我们就得到了f(x)

在[a,b]区间上的定积分

就大于等于f(x0)乘上δ

是严格大于0的

有了这个结论之后

我们进一步就可以得到

对于非负连续函数来说

如果定积分等于0

说明他一定是恒为0的

第四个例题得到的结果

大家可以把它作为是

连续函数定积分的

一个常用性质来用

下面我们看一下

关于绝对值函数的积分性质

定理10

如果函数f(x)

在区间[a,b]上是可积函数

那么它的绝对值函数

在区间[a,b]上也是可积函数

而且f(x)定积分的绝对值

就小于等于f(x)绝对值函数的

定积分的值

也就是说当定积分运算符号

和绝对值运算符号交换次序时

它的值是不变小的

关于这个定理

可积性的结论我们不做讨论

只作为一个结果记住

会用就可以了

下面我们利用比较定理

和绝对值的性质

来证明这两个积分之间的

大小关系

我们知道

对任意x来说

f(x)应该介于它的绝对值和

它的绝对值的负值之间

根据比较定理

我们就得到了f(x)

在[a,b]区间上的定积分

就介于它的绝对值函数

在[a,b]区间上的

定积分值和绝对值函数

在[a,b]区间上

定积分值的负值之间

那么根据绝对值的概念

也就得到了f在[a,b]区间上的

定积分的绝对值

是小于等于f(x)的绝对值

在[a,b]区间上的定积分

这就是关于函数定积分

与他的绝对值

函数定积分之间的关系

关于可积性的结论

请大家注意如果函数的

绝对值是可积的

那么函数本身是否可积

我们是不知道的

比如我们熟悉的函数

也就是x是有理数时

函数值等于1

x是无理数时函数值

等于-1这个函数

它的绝对值函数

在任何一个区间上

都是可积的

但是这个函数本身

在任何一个区间上

都是不可积的

下面我们来看一下第五道例题

我们求这个定积分

在n趋向无穷时的极限

实际上这是一个数列极限问题

对于给定的n来说

我们会得到一个确定的积分值

所以说这个数列中

每一项的值是一个定积分的值

我们在这儿只是要求

这个数列的极限值

所以说我们不见得

非得要把数列中

每一项的值求出来

我们可以利用有关的性质

来求这个数列的极限

我们知道在

0到4分之π这个范围上

sinx是介于

0到2分之根号2之间的

所以我们这个定积分中的

被积函数的绝对值

在0到4分之π这个区间内

他就小于等于2分之根下2

它的n次方

那利用函数定积分与

绝对值函数定积分的大小关系

以及定积分的比较定理

我们就知道

我们数列中定积分的绝对值

是小于等于4分之π再乘上

2分之根下2的n次方

我们知道当n趋向无穷时

4分之π乘上2分之根下2的n次方

极限是等于0的

所以利用极限的夹逼定理

我们就知道我们要求的

这个定积分的绝对值

在n趋向无穷时

极限是等于0的

这样也就得到了我们要求的

这个定积分的极限值

也是等于0的

所以说这个题目的解答过程

我们只是用到了

定积分的相关性质

和极限的夹逼定理

下面我们来介绍一下

定积分的中值定理

也就是平时说的积分中值定理

定理11

如果函数f(x)

在区间[a,b]上连续

那么就存在

开区间(a,b)中的一点ξ

使得f(x)

在[a,b]区间上的定积分值

就等于f(ξ)乘上b减a

定积分中值定理就将

连续函数

在一个区间上的整体性质

与连续函数在这个区间上的

某一点的函数值联系起来了

所以说他是一个

整体与局部之间的关系

从几何上看

积分中值定理说的是

当函数f(x)连续非负时

那么他对应的曲边梯形面积

恰好等于某一个矩形的面积

这个矩形它的底边长是b减a

而它的高就是

连续函数在ξ点的值

或者是说对连续函数来说

积分中值定理说的是

连续函数

在区间[a,b]上的平均值

一定等于函数

在某一点的函数值

下面我们证明一下

积分中值定理

因为f在[a,b]上是连续的

根据连续函数的性质我们知道

f(x)在闭区间[a,b]上

一定是有最大值和最小值的

也就是说我们

能找到两点x1 x2

使得对所有的x来说

f(x)是介于f(x1)和f(x2)之间

根据定积分的估值定理

我们就知道f(x)在a到b上的定积分

就介于f(x1)乘上b减a

和f(x2)乘上b减a之间

在这个不等关系中

如果是等号成立我们不妨设

如果f(x1)乘上b减a是等于

f(x)从a到b的定积分

利用定积分的线性运算性质

也就是f(x)减去f(x1)

在[a,b]区间上的定积分等于0

因为f(x)减f(x1)

是一个非负连续函数

所以我们就得到

f(x)减掉f(x1)是恒为0的

这个时候我们在开区间(a,b)内

随便取一点作为ξ

我们就都有

f(x)在[a,b]区间上的定积分

就等于f(ξ)乘上b减a

当然在f(x)从a到b的定积分

等于f(x2)乘上b减a时

结论是同样可以证明的

如果在上面的不等式中

成立的都是严格不等号

这说明f(x)

从a到b的定积分除上b减a

是严格的介于

它的最小值与最大值之间

那么根据连续函数的介值定理

我们一定在x1和x2之间

找到一个点ξ

使得f(ξ)是等于这个平均值的

当然这时候ξ

一定是开区间(a,b)中的一个点

这样我们就证明了积分中值定理

在微积分课程中

关于积分中值定理

我们常用的还有另外一种形式

也就是定理12

习惯上我们把这个定理得到的结论

称作是第一积分中值定理

如果函数f(x)在[a,b]上连续

g(x)在区间[a,b]上可积

而且函数值是不变号的

那么就在开区间[a,b]内

存在一个点ξ

使得f(x)乘上g(x)

在[a,b]上的定积分

就等于f(ξ)乘上g(x)

在[a,b]上的定积分

在这个定理中

如果我们令g(x)恒为1

这就得到了我们常用的

定积分的中值定理的形式

所以说第一积分中值定理

是我们前面定理11

得到的结论的一个直接推广

而定理11中的结论是

第一积分中值定理的

一个特殊情况

关于第一积分中值定理的证明

请感兴趣的同学

在课后自己给出

最后我们来看两道题目

例6

我们假设p是任意的大于0的实数

我们来证明sinx比上x

在a到a加p上的定积分

当a趋向于正无穷时极限是0

实际上sinx比上x

在a到a加p上的定积分值

我们是求不出来的

但是在这个问题中

我们为了求他的极限值

也不见得非得要

把定积分值求出来才可以

我们就利用前面介绍的

积分中值定理

将这个定积分值

与被积函数在某一点的值联系起来

下面给出具体的证明过程

对于任意的大于0的实数p来说

因为我们考虑的是

a趋向正无穷时的极限

所以我们不妨假设a是大于0的

那么对于任意的大于0的实数p

我们就知道

sinx比上x在区间

a到a加p上是连续函数

根据积分中值定理

我们就知道在a到a加p之间

存在一个点ξ

我们用ξa来表示

使得这个定积分的值就等于

sinξa除上ξa再乘上区间长度

也就是p

在a趋向正无穷时我们知道

ξa也是趋向正无穷的

所以p乘上sinξa再除上ξa

它的极限是等于0的

这样我们就证明了

sinx比上x在a到a加p上的定积分

关于a趋向正无穷取极限是等于0的

这是利用积分中值定理

处理的一个具体问题

就是将定积分的值与被积函数

在积分区间上

某一点的函数值联系起来

我们看最后一道例题

我们假设函数f(x)

在区间0到2分之π上是可导的

而且f(x)乘上cosx

在0到2分之π的定积分是等于0的

在这两个条件下

我们证明在给定的两个条件下

在开区间0到2分之π内存在一点ξ

使得f'(ξ)等于f(ξ)乘上tanξ

对于这个题目

我们从要证的结论出发

也就是对于可导函数来说

我们要证存在某一个点

使得它的导数满足一个等式

首先大家应该想到

这应该是微分中值定理

方面的一道题目

关于微分中值定理

我们需要进一步确定的是

利用哪一个定理对哪一个函数

在什么范围上应用的问题

为了讨论这些方面

我们将要证的结论进行变形

也就是我们要证存在一个ξ

使得f'(ξ)乘上cosξ减掉

f(ξ)乘上sinξ是等于0的

那有了这个等式

我们进一步利用导数运算

也就知道我们实际上就是要证

f(x)乘上cosx他的导数

在ξ这点是等于0的

这样我们就回到了

问题就是要证存在一个点

使得一个函数导数等于0

那当然应该就是罗尔定理

为了要用上罗尔定理

我们就要证明这个函数

存在两个函数值相等的点

我们就记F(x)等于f(x)乘上cosx

那么F(x)在区间0到2分之π上

就是一个可导函数

根据积分中值定理

我们知道在开区间0到2分之π内

就存在一个点η使得

F在0到2分之π上的定积分

就等于F(η)乘上区间长度2分之π

因为题目中给的是

这个定积分值等于0

我们也就知道F(η)是等于0的

我们根据F的定义

我们知道F在2分之π

这点也是等于0的

我们对F(x)

在区间η到2分之π上

利用罗尔定理

我们就知道在η到2分之π之间

存在一个ξ使得F'(ξ)是等于0的

也就是我们在0到2分之π内

找到了一个点ξ

使得f'(ξ)乘上cosξ减掉

f(ξ)乘上sinξ是等于0的

这就是我们要证的结论

因为ξ是介于0到2分之π之间

所以cosξ是不等于0的

这样我们两边同除cosξ

就得到了我们要证的结果

f'(ξ)等于f(ξ)乘上tanξ

在这一讲中

我们介绍了定积分的

比较定理 估值定理

给出了绝对值函数定积分与

原来函数定积分之间的关系

并介绍了积分中值定理的常用形式

定积分的比较定理

主要用来判断同一个积分区间上

不同函数定积分值的大小

估值定理则给出了

定积分的取值范围

得到了定积分值的一个近似值

积分中值定理

将连续函数的整体量

也就是定积分

与局部量也就是

在某一点的函数值

联系在一起

具有重要的理论意义

通过对相关例题的进一步研读

希望大家能掌握

这几个性质的具体应用

下一讲将介绍

变限定积分函数的相关内容

谢谢同学们

下一讲 再见