3.4.1 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第三章 导数与微分

第四节

几种特殊函数的求导法

在求导问题中

除了初等函数外

我们还会遇到简单的非初等函数

像隐函数

参数方程确定的函数

都是简单的初等函数

有时我们为了简化计算过程

减少错误

也可以先经过变形

再进行求导

在这一讲中

我们将介绍隐函数

和参数方程确定的函数

他们的求导方法

并介绍利用对数函数的性质

化简求导运算的问题

首先我们看一下

什么叫做隐函数

我们假设变量x y满足等式

f(x,y)等于0

如果存在非空实数集I

对I中的任意一个实数x0

我们都存在唯一的一个实数y0

使得x0 y0满足这个等式

f(x0,y0)等于0

那么根据函数的定义

我们就知道

我们定义了一个非空实数集I上的函数

这个函数就称为是等式

f(x,y)等于0

确定的I上的一个隐函数

下面我们来看一下

隐函数的求导方法

因为隐函数的存在性

以及隐函数的性质

都需要利用多元函数的概念进行刻画

所以在一元函数微积分中

我们只是处理一些具体的隐函数问题

我们通过几个具体的例子来介绍一下

隐函数的求导方法

第一个例题

我们假设y等于y(x)由方程

x等于y加上1/2倍的siny确定

我们求y关于x的导数

我们将这个等式两端

理解成是自变量x的函数

y看成是中间变量

那么在等式两端关于x求导

我们就得到

等式的左端关于x求导是1

而右端关于x求导

第一项就是y关于x的导数

第二项是一个简单的复合函数求导

它的结果是1/2倍的cosy

再乘上y关于x的导数

这样我们就得到了我们要求的导数

满足的一个方程

而且这个方程关于我们要求的导数

是一个一次方程

所以我们就得到了我们要求的导数是

1加上1/2倍的cosy分之一

下面我们看第二个例题

我们假设函数y等于y(x)满足方程

e的x乘y次方加上tanxy等于y

我们求这个函数

在x等于0这一点处的导数

同样我们将方程的两端看成是x的函数

y当做是中间变量

那么等式两端关于x求导

右边的导数就是y关于x的导数

而左边看作是两个函数求和再求导

第一个函数是e的x乘y次方

这是关于x的一个简单复合函数

根据复合函数的链导法则

我们就可以求得他的导数

第二个函数是tanxy

这仍然是一个关于x的复合函数

我们同样可以利用复合函数的链导法则

得到他的导数

这样我们就得到了

y关于x的导数满足的一个方程

这个方程仍然是

y关于x的导数的一个一次方程

这样我们就可以把要求的导数求出来

在这个问题中

我们要求的

是导数在x等于0这点的值

我们知道

隐函数的导数

除了与自变量有关以外

一般的

他应该与函数值也是有关系的

所以我们首先应该求出

在x等于0时

他对应的函数值是什么

我们将x等于0代入原来的方程

我们就会得到

隐函数在x等于0的函数值是等于1的

我们将x等于0 y等于1代入

导函数满足的方程

我们就会得到

导数在x等于0是的值是等于2的

这样我们就求得了我们要求的导数值

下面我们看第三道例题

我们假设函数y等于y(x)

满足下面这个方程

也就是e的y次方

减掉e的负x次方加上x乘y等于0

我们求曲线y等于y(x)

在(0,y(0))这点处的

切线方程与法线方程

我们将等式两端看成是x的函数

y看作是中间变量

那么两端关于x求导

我们就得到右边的导数是0

而左端

第一项是一个简单复合函数

他的导数就是e的y次方

乘上y关于x的导数

第二项也是一个简单的复合函数

他求完导之后就是加上e的负x次方

第三项可以看做是

两个函数相乘进行求导

他的结果是

y加上x乘上y关于x的导数

我们将x等于0带入原来的等式

就会得到y(x)在x等于0这点的值

也是等于0的

我们进一步

将x等于0和y(0)等0

代入一阶导数满足的方程

就会得到一阶导

在x等于0这点的值是等于负1的

这样我们知道切点是原点

切线的斜率是等于负1

所以我们就得到了

切线方程是y等于负x

根据法线的定义

我们也就知道

他的法线方程就是y等于x

接下来我们来看一下第四道例题

我们设抛物线y方

等于2倍的px它的焦点是F

点A它的坐标是(a,b)

其中a大于0

b它的绝对值是小于根号下2pa

我们证明抛物线上的点B

它的法线是平分角ABF的

这个题目我们要证的结论

实际上

是抛物线的一个基本性质

从几何上看

也就是

从焦点出发的光线

通过抛物线反射之后

他一定是平行于x轴的

或者说

平行于x轴的光线

通过抛物线反射之后

他一定是经过焦点的

下面我们来看一下这个结论的证明

我们将抛物线方程写成

2倍的px减掉y方等于0

在这个等式两端

我们微分

利用一阶微分形式的不变性

我们就得到

2倍的p乘上dx减掉

2倍的y乘上dy是等于0的

根据前面我们介绍的微分的几何意义

我们知道

以dx dy做分量的的向量

是平行于曲线在这点的切线的

那么这个等式

我们可以看作是

两个向量他的点积等于0

其中一个向量

就是切线在这点的

切向量(dx,dy)

而另外一个向量

应该就是曲线在这点的法向量

也就是说它的法向量

n就等于(p,-b)

那么我们要证的结论就是

要证明法向量与向量BA的夹角

和法向量与向量BF的夹角是相等的

我们知道向量BA是平行于x轴的

所以我们不妨就设

向量BA就是(1,0)

因为抛物线的

焦点坐标是(p/2,0)

那么B点的坐标我们也知道

所以向量BF我们就

可以得到它的两个分量

这样我们就得到了

法向量n与BA向量的点积是p

而BA向量的长度是等于1的

同样的

我们也得到了法向量与向量BF的点积

是等于二分之p方加b方

而向量BF的长度

是等于两倍p分之p方加b方

这样我们进一步就得到了

n与向量BA的点积

除上n的长度乘上BA向量的长度

它的绝对值就等于

p除上向量n的长度

我们类似的也能得到

向量n与BF的点积

除上这两个向量长度的乘积

它的绝对值

也等于p除上向量n的长度

根据向量点积的定义

我们知道

这两个值正好是

向量n与BA夹角的余弦

和向量n与BF夹角的余弦

因为这两个夹角都是锐角

所以说

他们的余弦相等

我们就知道

这两个角是相等的

这样我们就就证明了

抛物线上B点的法线

是平分于这个角ABF的

与抛物线的这个性质类似

关于椭圆

我们也有一个类似的结论

关于这个结论的证明

我们留给同学作为练习

也就是证明

椭圆上任意一点与两个焦点的连线

与椭圆在该点处的法线

所成的角是相等的

下面我们来看一下

对数求导法

所谓对数求导法

主要是处理两类特殊的的函数

一类函数就是多个因子做乘除的情况

另外一类函数

也就是所谓的幂指函数

我们先看第一种情况

如果函数y是等于m个因子相乘除上

n个因子相乘

在导数运算时

我们为了简化求导过程

可以在等式的两端取对数

这样原式就变成

y的自然对数就等于

m项相加减掉n项相加

我们把等式两端看成是x的函数

利用复合函数的链导法则

以及函数的和差积商的求导公式

我们就会得到

1/y乘上y关于x的导数

是等于这m项相加

再减掉这n项相加

这样我们把y乘到等式的右端

就会得到

我们要求的导数它的表达式

这是我们处理

多个因子乘除时的求导问题时

经常采用的方法

这种方法

就把乘除函数的导数转化成了

和差函数的求导运算

就简化了我们的求导过程

对幂指函数的导数

我们也是在等式两端取对数

这样我们就把原式变成

y的自然对数

等于g(x)乘上

f(x)的自然对数

在等式两端关于x求导

y当做是中间变量

我们就会得到

左端是1/y乘上y关于x的导数

右端利用两个函数相乘的导数公式

以及复合函数的链导法则

我们就会得到右端导数的表达式

我们将y乘到等式的右端

就会得出我们要求的导数的表达式

对于我们刚刚介绍的

关于多个因子相乘除时

它的求导方法

以及幂指函数的求导方法

我们统称为是对数求导法

在这需要跟大家强调的是

我们在前面取对数时

没有讨论取对数的数

是大于0还是小于0

原因是

在x大于0时

我们知道自然对数

lnx的导数是1/x

而在x小于0时利用复合函数的链导法

我们也能得到负x的自然对数

他的导数还是等于1/x

也就是说无论我们是否取绝对值符号

我们都知道x绝对值的自然对数

他的导数是等于1/x的

那么从求导运算这个角度来讲

无论我们取不取绝对值

我们最后的导数形式

或者是导数结果都是一样的

所以在对数求导法时

我们一般不对取对数的量

讨论它大于0还是小于0

下面我们看几道例题

第五个例题

我们求y等于x的x次方的导数

我们对原式取对数

就会得到lny等于x乘lnx方

两边关于x求导

就会得到

1/y乘上y关于x的导数

等于lnx再加上1

我们最后就得到了

y关于x的导数就等于

x的x次方乘上括号里面lnx加1

我们看下面一道例题

例六 我们求函数

y等于x的x平方次方的导数

我们在两端取对数

就会得到y的自然对数

等于x平方乘以x的自然对数

在这个等式的两端

我们关于x求导

就会得到

1/y乘上y关于x的导数等于

2倍的x乘上lnx加上x

这样我们就得到了要求的

y关于x的导数的表达式

我们看一下第七道例题

我们求下面这个函数的导数

这个函数的表达式

是y等于三次根下x减1乘上x减2

再除以x减3乘上x减4

这是由多个因子做乘除的

这样的函数表达形式

所以我们在这个等式的两端先取对数

就得到了y的自然对数

应该是由四项做加减得出来的

在这个等式的两端

关于x求导

我们就会得到

1/y乘上y关于x的导数就等于

三分之一倍的括号里面分别是

x减1分之1加上x减2分之一

减掉x减3分之1

再减掉x减4分之1

这样我们就得到了y关于x的导数

他的表达式

下面我们来看第八个例题

我们假设y等于y(x)

由下面这个方程确定

这个方程是

x的y的平方次方加上y的平方

乘上x的自然对数

再加上4等于0

我们来求y关于x的导数

请大家注意

在这个方程中

第一项应该是一个幂指函数

我们先求一下

这个幂指函数关于x的导数

我们记z等于x的y的平方次方

两边取对数

就得到z的自然对数就等于

y的平方乘上lnx

这样我们两边求导就会得到

1/z乘上z关于x的导数

它的表达式

进一步我们就得到了

z关于x的导数的表达式

这样我们就先处理了

x的y平方次方关于x求导

它的表达式

接下来

我们在原来方程的两端

关于x求导

我们就会得到下面这个方程

我们对这个方程进行化简

我们就能得到这个方程是等价于

2倍的y乘上y的导数

再乘lnx加上x分之y的平方等于0

所以我们要求的导数就等于

负的y除上2倍x乘上lnx

下面我们来介绍一下

第三类特殊函数的求导方法

也就是参数方程确定的函数

是如何求导的

我们先看我们的问题是什么

我们假设变量x y都是参数t的函数

也就是x等于x(t)

y等于y(t)

如果x等于x(t)这个函数

存在反函数

也就是t等于t(x)

我们知道当x给定时

就会有唯一的t的值与它对应

这样也就进一步得到了唯一的y的值

所以这时

我们就定义了一个从变量x

到变量y的新的函数

y等于f(x)

所谓参数方程确定的函数求导

就是说利用原来x和y与参数的关系

怎么样得到y关于x的导数

当y(t)和x(t)都可导时

根据复合函数的链导法则

与我们前面介绍的

反函数的求导公式

我们就知道

y关于x的导数

也就等于y(t)关于t的导数

再乘上t关于x的导数

而t关于x的导数

应该就等于x关于t导数的倒数

所以我们最后的结果

就是y关于x的导数就等于

y关于t的导数除以x关于t的导数

这就是由上面的参数方程确定的函数

它的求导公式

下面我们看两道具体的例题

例九

我们假设x等于t的平方加7

y等于t的平方加4倍的t加1

我们求这个参数方程确定的函数

它的图像

在对应于t等于1这一点的切线方程

当t等于1时我们能求出

x是等于8

y是等于6的

这就是我们要求切线方程对应的切点

而且根据参数方程确定的函数

它的求导公式

我们知道

y关于x的导数就等于

y关于t的导数除上x关于t的导数

也就等于2倍的t加4除上2倍的t

所以在t等于1时

它对应的导数值应该是等于3

这就是我们要求的切线的斜率

有了切点和斜率

我们就得到了要求的切线方程是

3倍的x减掉y减18等于0

下面我们看最后一道例题

我们求心形线ρ等于1加cosθ

在θ等于π/4

对应的点处它的切线和法线方程

我们知道

所谓导数是切线的斜率

这个指的是y关于x的导数

是切线的斜率

在这个题目中

我们的曲线方程是极坐标形式

所以

我们就利用直角坐标与极坐标的关系

得到下面的参数方程

由这个参数方程出发

我们就得到了

y关于x的导数

它的表达式

我们将θ等于π/4代到参数方程中

就会得到

我们的切点它的坐标

切点的横坐标

和纵坐标都是二分之1加根下2

同样我们把θ等于π/4代到

y关于x导数的表达式中

就会得到切线的斜率是1减根下2

有了切点

有了斜率

所以我们求的切线方程就是

y等于1减根下2乘上x

再加上1加上2分之根下2

我们要求的法线方程就是

y等于1加上根下2乘上x

减掉1减掉2分之根下2

在这一讲中

我们介绍了隐函数

参数方程确定的函数

他们的求导方法

隐函数求导

就是根据函数相等

那么导数一定相等的性质

利用导数的四则运算法则

和复合函数的链导法则

对等式两端求导

得到我们要求的导数满足的一次方程

参数方程确定的函数

它的导数公式

就是利用复合函数和反函数的求导公式

得到的

而对数求导法

主要处理的就是幂指函数

多个因子乘除得到的函数

他们的导数问题

在对具体函数求导时

我们要根据函数的特点

选取合适的方法

正确的应用相应的求导法则

下一讲中将介绍

高阶导数的相关内容

谢谢同学们

下一讲 再见