5.1.1 定积分问题举例在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第一节

定积分问题举例

我们知道

微分学研究的是函数的局部性质

积分学 也就是定积分

研究的是函数的整体性质

定积分起源于

求图形面积等几何问题

定积分概念的形成

经历了漫长的过程

阿基米德就曾经计算过

抛物线弓形的面积

并得到了球的表面积

我国古代的数学家

刘徽 祖冲之等人

也得到过球的体积

定积分的思想和方法

出现于微分的思想和方法之前

但直到17世纪中叶

牛顿和莱布尼茨

先后发现了

定积分与微分之间的关系

才有了计算定积分的一般方法

从而建立起了微分学

和积分学之间的联系

本章将首先介绍一些

与定积分概念密切相关的例子

引出定积分的概念

证明一些常用的定积分性质

然后讲述微积分基本定理

给出计算定积分的一般公式

最后介绍利用定积分

处理简单几何问题

和物理问题的方法

本讲将通过

对几个具体问题的讨论

直观的感受处理

这类问题的过程

总结他们的共性

发现其中的一般方法

为了更好地理解定积分的概念

我们先看几个具体的例子

第一个例子

我们来讨论一下

如何求曲边梯形的面积

我们知道

定积分首先处理的问题

就是关于平面图形的面积问题

对于一块平面区域来说

我们要求它的面积

我们可以先利用两组

互相平行的直线

将他分成许多小块

在这些小块中

有一些就是长方形

长方形的面积我们是会求的

还有一些是一些非规则的图形

比如我们图中

有一个四边形ABCD

还有一个三角形是DCE

当然三角形DCE

我们可以理解成是四边形ABCD

它的一种特殊情况

也就是当他的一个边CD

退缩成一个点时

那么这个四边形就变成了一个三角形

在这个四边形中

因为有一条边是曲线

在三角形中同样的有一条边

也是曲线

关于这样的四边形和三角形

我们就把它称为是曲边四边形

或者是曲边三角形

下面我们就介绍一类

特殊的曲边四边形的面积求值问题

我们首先给出曲边梯形的定义

在第一个图中

我们有连续曲线y等f(x)

以及直线x等a和直线x等b

还有x轴就围成了一个平面图形

这样的平面图形

我们就将它称作是曲边梯形

下面我们就来看

对于这样的曲边梯形

怎么样能求得它的面积值

从几何上讲

我们就将这个曲边梯形

用垂直x轴的直线

将他分作成许多小的曲边梯形

而每一个小的曲边梯形

我们可以用一个小的

长方形的面积来近似

这个小曲边梯形的面积

一般的我们就将

这种求曲边梯形面积的方法

分作下面四个步骤

第一个步骤

我们叫分割

也就是在区间(a,b)内

我们任意插入n减1个分点

分别记作x1到xn减1

同时我们将a记作是x0

b记作是xn

我们假设这些分点

有一个大小关系

也就是x0小于x1一直小于xn

这样我们就将这个闭区间

分成了n个小区间

第k个小区间的长度

我们就记作是△xk

就是这个区间的右端点xk

减去这个区间的左端点xk减1

而所有小区间中长度最大的

我们用λ来表示

相应的我们过每个区间的端点

作垂直于x轴的直线

这样就把整个曲边梯形

分成了n个小的曲边梯形

这n个小曲边梯形的面积

我们分别用△A1到△An来表示

这就是我们第一步

相当于分割

就将大的曲边梯形

分成了n个小的曲边梯形

第二个步骤

我们叫取点

我们任取ξk属于

[xk-1,xk]这个小区间

我们知道当

这个小区间的长度很小时

它对应的小曲边梯形的面积

就可以用一个小矩形面积来近似

这个小矩形它的

底边宽度就是△Ak

而它的高度就是函数

在ξk这点的函数值

也就是△Ak就约等于

f(ξk)乘上△xk

这就是我们第二步

用小矩形面积

来近似小曲边梯形的面积

第三部求和

我们知道曲边梯形的面积A

就等于n个小曲边梯形面积之和

这样我们利用

每一个小曲边梯形面积的近似值

就会得到整个

曲边梯形面积的近似值

也就是A约等于f(ξk)乘上△xk

对k从1到n求和

有了前三个步骤

那么我们就利用我们熟悉的

长方形面积公式

得到了整个曲边梯形面积的近似值

我们为了求得

曲边梯形面积的准确值

从几何上看

就是让我们的划分越来越细

也就是说

让我们每一个

小区间的长度都趋向于0

这就是我们的第四个步骤

求极限

我们让n个区间长度最长的

也就是λ趋向于0

如果我们刚才得到的

n个小矩形面积之和

在这个极限过程下

极限是存在的

那么这个极限值就是

我们要求的曲边梯形的面积

也就是我们要求的面积

A就等于这个和式的极限

下面我们来看第二个例题

我们知道

如果一个物体做的是匀速运动

那么他在一定时间内走过的距离

就等于速度与距离的乘积

现在我们来求变速运动的物体

它的运动距离

我们假设运动物体的速度v

与运动时间t的关系是v等v(t)

也就是说在每一个时刻t

它的速度都是变化的

我们来求这个物体

从a时刻运动到b时刻

他走过的距离S

与前面我们求曲边梯形面积类似

我们也通过以下四个步骤

来求运动距离S的值

第一个步骤分割

我们在a时刻到b时刻之间

任意插入n减1个时刻

t1 t2一直到tn减1

同时我们将a b两个时刻

分别记作t0 tn

并且规定t0小于t1一直小于tn

这样我们就将整个时间段[a,b]

分成了n个小的时间段

最长的时间段

它的长度我们记作λ

第二步我们取点

我们在时间段tk减1到tk中

任取一个时刻ξk

当这个时间段很小时

我们在这个时间段中

可以将物体近似的

看做是做匀速运动

也就是在这个时间段上

他走过的距离△Sk就约等于

他在这个时间段上

某一时刻它的速度

乘上这个时间段的长度△tk

第三步我们求和

我们知道我们要求的距离S就等于

他在每一个时间段上

走过的距离之和

所以我们利用在每一段上

走过的距离的近似值求和

就得到了我们要求的距离的近似值

也就是S约等于v(ξk)乘上△tk

对k从1到n求和

我们为了求得距离的准确值

我们只要将每个时间段的长度

都让他趋向于0取极限就可以了

所以我们第四个步骤

就是求极限

我们让λ趋向于0

这时候如果这个和式的极限存在

那么这个和式的极限值

就是运动物体从a时刻

运动到b时刻时走过的距离

也就是我们要求的距离S

就等于这个和式

在λ趋向于0时的极限

这样我们就得到了

变速运动物体从一个时刻

运动到另外一个时刻

他走过的距离

下面我们看第三个例子

有关变力做功的问题

我们知道

一个物体在一个常力作用下

沿着力的方向运动

那么在运动过程中

力对物体做的功

就应该等于力的大小

乘上在力的作用下

物体运动的距离

现在我们假设

一个物体在外力作用下

沿x轴从点a运动到了点b

我们假设外力的大小是F(x)

而外力的方向与

物体的运动方向是一致的

也就是说我们只假设

力的大小

是随着物体的运动变化的

而方向是不变的

现在我们求物体在外力作用下

从点a运动到点b时

外力做的功W

我们假设b是大于a的

与前面我们讨论的两个例子类似

我们要求力的大小

也是通过以下四个步骤

第一步分割

我们在区间(a,b)内

任意插入n减1个分点

x1一直到xn减1

同样我们将a b

分别记作是x0 xn

并且假设x0小于x1一直小于xn

这样我们就将整个运动区间[a,b]

分成了n个小的运动区间

第k个运动区间它的长度

记作是△xk

最大的运动区间的长度

我们用λ来表示

第二步我们取点

我们任取ξk属于第k个小区间

我们知道当△xk很小时

在第k个小区间xk减1到xk中

我们可以将物体近似的认为是

在常力作用下运动

所以在这一段上

外力做功的大小△Wk

就可以近似的认为是

F(ξk)再乘上△xk

第三步求和

因为在整个运动过程中

外力做的功W就等于

在每一段上外力做的功的和

所以我们利用在每一段上

外力做的功的近似值求和

就得到了我们要求的功的近似值

也就是W约等于F(ξk)乘上△xk

对k从1到n求和

为了求得功的准确值

我们就求极限

我们令λ趋向于0

如果这个和式的极限存在

那么这个极限值的大小

就应该是物体从点a运动到点b时

外力做的功W

也就是我们要求的功就等于

这个和式在λ趋向于0时的极限

这样与前面的两个问题类似

我们就利用同样的四个步骤

求得了我们要求的功的准确值

本讲中讨论了利用矩形面积

求曲边梯形面积

利用匀速运动的距离

求变速运动的距离

利用常力做功求变力做功等问题

在我们讨论的三个问题中

既有几何问题

又有物理问题

尽管这些问题的背景迥异

但从数学的角度看

他们解决问题的思路是一样的

最后都归结为

求某种具有相同结构的和式极限

在我们求解的过程中

分割和取点用的是化整为零的思想

是均匀化方法

而做和取极限

则是积零为整的思想

化整为零与积零为整是

这种思想的精髓

我们将这一方法加以抽象概括

就得到了定积分的概念

下一讲将介绍

定积分的定义和几何意义

谢谢同学们

下一讲 再见