3.3.2 复合函数的链导法则在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第三章 导数与微分

第三节 导数的运算

复合运算

是函数的基本运算

当两个函数可导时

他们的复合函数

是否可导

复合函数的导数

如何计算

这些

都是本讲要解决的问题

下面

我们来看一下

复合函数的求导法则

首先

我们介绍一下

复合函数的求导公式

我们假设

函数g(x)在x0点是可导的

函数f(u)在u0这一点也是可导的

其中

u0是g(x)在x0这一点的函数值

在给定的条件下

我们就能得到复合函数

y=f(g(x))

在x0这点也是可导的

而且

复合函数在x0这点的导数值

就等于f'(u0)g'(x0)

这就是复合函数的求导法则

下面

我们看一下

这个公式的证明

我们要求复合函数

他的导数

也就是说

要求当自变量有了改变量之后

函数值的改变量

与自变量改变量比值的极限

根据复合函数求值的方法

我们知道

当x有了改变之后

首先

导致的是g(x)的改变

我们假设

x是从x0变到x0+Δx

这个时候中间变量u

就从u0变到了u0+Δu

由于中间变量的变化

从而导致了

最后函数值

y的变化

我们假设

y就从y0变到了y0+Δy

根据条件

我们知道

f是可导的

也就是说

Δy/Δu当Δu趋于0时的极限

就等于f'(u0)

我们根据极限与无穷小的关系

将极限符号去掉

我们就知道

这个比值应该就等于

他的极限值f'(u0)

再加上一个无穷小量α(Δu)

也就是说

α(Δu)在u趋向0时的极限

是等于0的

我们将这个等式变形

就写出了

Δy与Δu的关系

同样的

因为g(x)在x0这点也是可导的

所以我们知道Δu/Δx

在Δx趋向0时的极限

就是g(x)在x0这点的导数值

同样

我们利用极限与无穷小的关系

可以将Δu表示成

g'(x0)Δx+β(Δx)Δx

在这儿

β(Δx)在Δx趋向于0时的极限

也是等于0的

我们将Δu与Δx的关系

代到我们前面得到的

Δy和Δu的关系式里面

我们就得到

Δy等于f'(u0)

乘上g'(x0)再乘Δx加上

f'(u0)乘上β(Δx)再乘Δx

再加上α(Δu)乘上括号里面

是g'(x0)乘上Δx加上

β(Δx)乘上Δx

这样我们进一步就会得到

Δy与Δx的比值就写成了三项之和

在这三项里面

第一项与Δx无关

相对Δx是个常数

第二项

其中一个因子相对Δx来说是常数

另外一个因子

在Δx趋向于0时

极限是0

第三项

中括号里面

第一项是个常数

第二项

在Δx趋向0时

极限是0

中括号外面α（Δu）

我们知道

在Δu趋向0时

他的极限等于0

但在我们这儿

我们的极限过程

是要考虑Δx趋向于0

我们利用

g(x)在x0这点是可导的

那么他一定是连续的

对于连续函数来说

当自变量改变量Δx趋向0时

他的函数值改变量

Δu也是趋向0的

所以我们就能保证

Δx趋向0时

α(Δu)也是趋向0的

这样我们就能保证

Δy/Δx在Δx趋向0时的极限

他是存在的

他的极限值

就等于f'(u0)g'(x0)

也就是说复合函数他的导数是存在的

他的导数值dy/dx

就等于f'(u0)g'(x0)

这样我们就证明了

复合函数他的求导公式

这个求导公式

我们习惯上称为

复合函数的链导法则

关于复合函数的链导法则

尽管我们只给出了

两个函数做复合时的情形

但这个求导法则

可以推广到

有限多个函数做复合的情况

也就是说

如果我用三个函数

f g和h做复合

那么我们照样有

下面这个求导公式

也就是y关于x的导数

就等于

外层函数f的导数

在g(h(x))这一点处的取值

再乘上第二个函数g的导数

在h(x)这一点的取值

最后再乘上第三个函数h

关于自变量x的导数

关于复合函数的链导法则

要想正确的使用

必须对一个具体的函数

要弄清他的复合结构

这样才能正确的运用

这一个求导法则

下面

我们就求几个具体函数的导数

第一个例题

我们求幂函数y=x的α次方

以及函数y=(1/2)括号里面

e的x 次方- e的(-x)次方

我们求一下这两个函数的导数

对于幂函数

因为我们知道

e的x次方的导数就是e的x次方

而自然对数的导数是1/x

我们利用指数和对数

互为反函数的性质

将幂函数表示成e的α乘上lnx次方

那么我们对这个函数求导

利用复合函数的链导法则

就知道他的导数

就等于指数函数的导数

在α ln(x)这点的取值

再乘上α lnx的导数

也就等于x的α次方

再乘上α/x

所以我们最后的结果

得到的是x的α次方他的导数

就等于α乘上x的α-1次方

下面我们看第二个函数的导数

同样我们知道

e的x次方他的导数就是e的x次方

而e的(-x)次方

我们利用复合函数的链导法则

就能得到他的导数是-e^(-x)

这样

我们利用

两个可导函数差的导数公式

就得到第二个函数的导数

就等于(1/2)倍的

e的x次方 + e的-x次方

下面我们看第二个例题

我们求y等于sin5次方x的导数

和求y等于x+根下x方加1

它的自然对数的导数

对第一个函数来说

因为我们知道

x5次方的导数就是5倍的x 4次方

而sinx的导数就是cosx

所以我们利用复合函数的链导法则

第一个函数的导数就等于

x5次方的导数

在sinx这一点的取值

也就是5(sinx)^4

再乘上sinx的导数

所以我们最后的结果

就是5((sinx)^4)

乘上cosx

下面我们看一下

第二个函数的导数

这个函数他的复合关系

第一层应该就是lnu

u等于x加上根下x平方加1

而u的表达式

我们可以看成是两个函数求和

第一个函数x他的导数就是1

而第二项

根下x方加1

又是一个简单的复合函数

也就是根下v

v 等于x方+1

我们将这个复合关系搞清楚后

我们利用复合函数的链导法则

我们就得到

第二个函数的导数

就等于自然对数的导数

在x加上根下1加x方这点的取值

也就是等于x加上

根下1加x方分之1再乘上

x加上根下1加x平方的导数

我们进一步求导就会得到

我们要求的导数

最后是等于

根下1加x平方分之1

下面我们来看第三道例题

我们已知函数f(x)满足

f'(x)等于e的根下x次方

而y=f(x+1/x-1)

也就是说y与x的函数关系

是一个简单的复合函数

我们求y关于x的导数

在x=2时的值

我们根据复合函数的链导法则

就知道y关于x的导数

就等于f的导数

在x+1/x-1这点处取值

再乘上(x+1/x-1)他的导数

我们利用

两个函数商的导数公式

以及f'(x)的表达式

最后我们就得出了

y关于x的导数表达式

我们将x等2代入这个导数表达式

就会得到

我们要求的导数值

就等于

-2e的根下3次方

下面

我们来看第四道例题

请大家看一下这个图

在这个图中

我们假设长度是39米的绳子

通过一个定滑轮P

将A B两辆小车连接在一起

滑轮到地面的距离PQ是12米

在某个时刻t0

小车A在距离Q点5米处

以2米每秒的速度远离Q点

我们求这个时候

小车B的速度

在这个题里面

小车A 小车B

是通过一条绳子连接在一起的

所以他们两个之间

是有相互关系的

这个关系

应该说绳子AP他的增长速度

与绳子BP他的减少速度

是相等的

所以说

我们在求小车B的速度时

一定要注意

他们之间这个关系

下面我们给出具体的解答

我们记AQ的长是x

AP的长是y

那么 根据勾股定理

我们就知道y等于

根下x方加上12的平方

那么 y关于时间的导数

利用复合函数的链导法则

我们就知道

这个导数就等于

x除上根下x次方加上12的平方

再乘上x关于t的导数

我们再设BQ的长是z

BP的长是w

那么我们同样根据勾股定理

就会得到z就等于

根下w平方-12的平方

所以z关于时间t的导数

利用复合函数的链导法则

我们知道

他就等于w除上

根下w平方 - 12的平方

再乘上w关于时间t的导数

根据题中条件

我们知道

在t0时刻

x=5 dx/dt=2

所以我们就能得到

这个时候dy/dt=10/13

也就是dw/dt=10/13

而且我们还知道

在t0时刻

w就等于39减掉根下5的平方

加12的平方

也就是这个时候w=26

我们将dw/dt和w的值

代入上面的公式

我们就会得到这个时候

dz/dt他的值是

10除上根下133

这就是我们要求的

在t0时刻

小车B的速度

下面我们来看一下

关于复合函数微分的一个性质

我们知道

对于函数y=f(u)

在它可微时

那么他的微分dy=f'(u)du

如果u又是x的函数

也就是u=g(x)

而且这个函数也是可微的

那么在复合函数有意义时

我们就知道

复合函数y=f(g(x))

它的微分是

dy=(dy/dx)再乘上dx

最后我们求出

这个时候

它的微分也就等于f'(u)du

也就是说

无论u是自变量还是中间变量

那么微分dy都可以写成

f'(u)du的形式

这说明

对于函数y=f(u)来说

无论变量u是自变量还是中间变量

我们都有

dy=f'(u)du的形式

这个性质

我们就称为

一阶微分

它的形式不变性

之所以

称为是微分的形式不变性

也就是说u是自变量还是中间变量

实际上还是有差别的

这个差别

我们知道

u是自变量时

u的改变量Δu

与他的微分du是严格相等的

而u不是自变量时

我们知道它的改变量

Δu和它的微分只能是约等的

下面我们利用微分形式的不变性

来做一道具体的题目

我们假设y等于

e的(sin(lnx))次方

我们求y的微分以及y关于x的导数

利用一阶微分形式的不变性

我们知道

y的微分就等于

e的u次方他的导数再乘上du

这个时候

u=sin(lnx)

也就是dy就等于

e的(sin(lnx))次方

再乘上d(sin(lnx))

我们继续利用一阶微分形式的不变性

进一步做微分就会得到

这个结果就等于

e的sin(lnx)次方

乘上cos(lnx)

再乘上lnx的微分

最后我们再求一次微分

就会得到我们的结果是

e的sin(lnx)次方

乘上cos(lnx)

再乘上1/x

再乘上dx

这样我们就得到了我们要求的y的微分

它的表达式

y关于x的导数就是微分表达式里面

dx前面的系数

所以我们就得到了

y关于x导数的表达式

在这一讲中

我们介绍了复合函数的链导法则

介绍了一阶微分形式的不变性

在运用链导法则时

弄清函数的复合结构

找出所有的中间变量

是正确运用链导法则的关键

在求导运算中

凡是不同于求导变量的其他变量

都可以理解为中间变量

同时要注意一阶微分形式的不变性

在微分运算中的应用

下一讲中

将介绍反函数的导数计算公式

谢谢同学们

下一讲 再见