1.7.1 无穷小量(1)在线视频

同学们大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第一章极限

第七节无穷小量

我们在处理极限问题时

极限存在而且其值等于0

是一个特殊情况

在许多时候

利用极限为0时的有关结论

可以处理

一般的极限问题

在这一节中

我们介绍的无穷小量

指的

就是极限等于0的变量

在极限不存在时

有一种情形也值得关注

就是在

极限过程中

尽管变量的值

不能趋向一个确定的值

但它的变化趋势却是确定的

这就是在这一节中

我们要介绍的无穷大量

在这一讲中

我们主要介绍

无穷小量

与无穷大量的概念

以及无穷小量与无穷大量

之间的关系

和它们的运算性质

我们先看无穷小量的概念

所谓无穷小量

指的是

如果在x趋向x0时

f(x)的极限存在而且就等于0

那么我们就称函数f(x)

在x趋向x0时

是一个无穷小量

无穷小量

也简称为无穷小

一般记做f(x)=o(1)

为了体现

极限过程

往往要标出x趋向于x0

这就是在x趋向x0时

无穷小量的概念

直观地说

一个函数f(x)在x趋向x0时

等于o(1)

它指的就是

当x无限趋向于x0时

它对应的函数值

应该无限地趋向于0

我们要说一个函数f(x)是否是无穷小

除了要说它的表达式之外

一定要强调极限过程

比如说函数f(x)=1-x

只有在x趋向1时

才是无穷小量

而函数f(x)=(x-1)分之1

也只有当x趋向无穷时

才是无穷小

从无穷小量的概念我们知道

无穷小指的是一个变量

说它是无穷小量无非是强调

在自变量的一个极限过程下

它极限是趋向于0的

所以说无穷小量是变量

强调的是

在一个极限过程下

它的性质

下面我们利用无穷小

给出无穷大的概念

定义7

如果f(x)的倒数

在x趋向于x0时

是一个无穷小量

那么我们就称函数f(x)

在x趋向于x0时

是一个无穷大量

无穷大量也简称为无穷大

一般就记做f(x)

在x趋向x0时等于无穷大

请大家注意

这个等式仅仅是一个记号

它强调的是

在x趋向0的过程下

函数值f(x)的某种变化性态

这个等式并不表示它在x

趋向x0时极限是存在的

如果在x无限趋向x0时

f(x)的倒数是大于0

而且无限趋向于0

那么我们就称

函数f(x)

在x趋向于x0时是一个

正无穷大量

我们一般记做f(x)

在x趋向x0时

等于正无穷大

同样地

如果在x趋向于x0的过程中

f(x)的倒数是小于0

而且可以无限趋向于0

那么我们就称函数

f(x)在x趋向x0时

是一个负无穷大量

我们记做f(x)

在x趋向x0时

等于负无穷大

与无穷小量的概念类似

从无穷大量的定义

我们就可以看出

无穷大量实际也是一个变量

它反映的是

在自变量的一个变化过程下

它对应的函数值

它的某种变化趋势

而且从无穷小量和

无穷大量的定义

我们直接可以得到

在同一个极限过程下

无穷大量的倒数

是无穷小量

而非零无穷小量的倒数

是同一个极限过程下的

无穷大量

有了无穷大量的概念之后

我们注意到前面

我们曾经说过一个函数

在某个范围上有界的概念

当然有了函数有界的概念

我们自然就知道

什么叫一个

函数在某个范围上是无界函数

请大家注意

无穷大量与

无界函数的区别

比如说

f(x)=x分之1乘上sin(x分之1)

这个函数在x等0附近

它应该就是一个无界函数

但是

在x趋向于0的过程中

它并不是一个无穷大量

同样地

对于函数g(x)等于x平方

乘上sinx

这个函数

在负无穷到正无穷上

它应该就是一个无界函数

但是在x趋向无穷时

它并不是一个无穷大量

也就是说

无穷大量自然应该是无界函数

但是无界函数

并不意味着它就是无穷大量

下面我们来看一下无穷小量的

有关性质

和无穷小量的运算

第一个性质

也就是我们的定理14

如果函数f(x)在x0的某个去心邻域

内有定义

那么f(x)在x趋向x0时

极限等A的充分必要条件是

f(x)=A+g(x)

其中g(x)是x趋向x0时的

一个无穷小量

这个结论我们一般称作

是极限与无穷小的关系

也就是说

我们可以把一个极限等式

与一个传统的函数等式

联系起来

这种转化

在处理某些问题时

可以带来很大的方便

我们先做必要性证明

所谓必要性证明

也就是说

如果f(x)在x趋向x0的极限

等A

那么f(x)就可以表示成它的极限值

加上一个无穷小量

这个形式

事实上

如果我们记g(x)=f(x)-A

因为f(x)在x趋向x0时的极限等A

所以g(x)在x趋向x0时的极限

就应该等0

而且我们知道f(x)

就可以写作A+[f(x)-A]

也就是等于A+g(x)

这样我们就把f(x)

表示成了极限和一个无穷小量之和

所以说这就证明了这个定理的

必要性部分

我们再来看充分性的证明

因为f(x)=A+g(x)

而且g(x)是x趋向x0时的

一个无穷小量

那么根据极限的加法运算

我们自然

就得到了f(x)

在x趋向x0时的极限

就等于A

这样我们就证完了充分性

下面我们再来看

无穷小量的另外一个性质

在自变量的同一个趋向下

有界函数与无穷小量的乘积

还是无穷小量

这个定理也是在我们做极限运算时

经常用到的一个结果

它的证明

我们可以如下给出

我们以x趋向正无穷时

为例

给出这个定理的证明

我们假设f(x)

是在x充分大时的

一个有界函数

而g(x)

在x趋向正无穷时

是一个无穷小量

因为函数f(x)

在x充分大时有界

所以就存在正数M

及一个正数X1

使得只要x>X1

我们就有|f(x)|小于等于M

这就是所谓在x充分大时

有界的性质

那么这个时候|f(x)g(x)|

就可以放大到M|g(x)|

到了这

如果利用极限运算性质

和夹逼定理

大家就可以证出|f(x)g(x)|

在x趋向正无穷时极限等0

我们为了练习极限的概念

我们用定义给出这个结论的

另外一个证明

对于任意的正数ε

因为g(x)在x趋向正无穷时

的极限等于0

所以存在正数X2

使得只要x>X2

我们就有|g(x)|<ε/M

针对我们得到的X1和X2

我们取这两个数中那个大的

记做X

那么只要x>X

我们就有|f(x)g(x)|

这个绝对值就小于等于

M|g(x)|

同时也小于M乘上ε/M

也就是说这个时候

|f(x)g(x)|是小于ε的

那么根据函数极限的定义

我们就证明了

x趋向正无穷时

f(x)g(x)等于0

这也就证明了

有界函数

与无穷小量的乘积

仍然是同一个极限过程下的

无穷小量

下面我们利用这个结论

来做两道简单的题目

第1

当x趋向于0时

我们证明函数x乘上sin(x分之1)

是无穷小量

第2

在n趋向无穷时

我们证明数列(cosn-sinn)

除上n是无穷小量

我们先看第一个

因为函数sin(x分之1)是个有界函数

而在x趋向0时

x本身是个无穷小量

所以利用无穷小量与

有界变量的乘积

仍然是无穷小量的结论

我们就得到函数xsin(x分之1)

在x趋向于0时是无穷小量

再来看第二个结果

因为数列(cosn-sinn)它是一个

有界数列

因为它的绝对值是小于等于2的

而在n趋向无穷时

1/n是个无穷小量

我们仍然利用有界变量

与无穷小量的乘积

仍然是无穷小量的结论

我们就证明了这个数列

在n趋向无穷时

是个无穷小量

下面我们来介绍

无穷小量它的另外一个性质

定理16

在自变量的同一个趋向下

两个无穷小量的

和

差

乘积

仍然是无穷小量

这个定理是我们

极限运算的

运算法则的直接应用

因为我们知道

在自变量的同一个趋向下

如果两个变量极限存在

那么

它们的

和

差

乘积

极限仍然存在

而且它们的极限值

就是两个变量极限值

的和

差

和乘积

所谓无穷小量指的是

极限为0的变量

所以说利用极限的加法运算

减法运算和乘积运算

我们就得到了定理16的结果

对于无穷小量来说

如果在同一个自变量的趋向下

我们有两个无穷小量

那这两个无穷小量的商

它的变化情况如何

或者说在同一个自变量的趋向下

我们有无穷多个无穷小量

那么这无穷多个无穷小量

它的和

和它的乘积又是如何

关于这两个问题

在我们课程的后面部分

在相关的章节

我们都会做一介绍

在这一讲中

我们介绍了无穷小量

与无穷大量的概念

性质以及运算

要注意在同一个极限过程下

讨论问题

要注意无穷小量

和无穷大量

是没有除法运算的

同时还要注意到

无穷大量

与无界函数的区别

在下一讲中

我们将介绍

无穷小量的比较

谢谢同学们

下一讲再见