3.3.1 导数的四则运算在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第三章 导数与微分

第三节 导数的运算

求导运算

是微积分中

最基本和最重要的运算之一

我们利用定义

只能求简单函数的导数

对于一般的函数

怎么求他的导数呢

由于一般函数

都是由简单函数

经过求和差积商函数

复合函数

或者是反函数得到的

所以

我们首先要了解

可导函数的和差积商函数

复合函数

和反函数的可导性

以及他们的导数

与原来函数导数之间的关系

在这一讲中

我们将介绍可导函数的

和差积商函数的可导性

以及他们导数的计算公式

我们先看导数的四则运算

关于导数的四则运算

我们有如下的定理

定理4

如果函数f(x)和g(x)

都在x0这一点是可导的

那么

这两个函数的和函数

差函数

乘积函数和商函数

就都在x0这一点可导

而且

这两个函数

他的和函数与差函数

在x0这一点的导数值

就等于这两个函数

在这x0一点处导数值的和与差

这两个函数的乘积函数

在x0这一点的导数值

就等于f'(x0)g(x0)

再加上f(x0)g'(x0)

这两个函数它的商

在x0这一点得导数值

就等于分子的导数乘上分母的值

再减掉分子的值乘上分母的导数值

除上分母的函数值的平方

这就是两个可导函数的和差积商函数

他们的求导公式

下面

我们利用导数的定义

来证明一下这三个公式

第一个

因为函数f(x)和g(x)

在x0点都可导

也就是

对这两个函数来说

他们的函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向0时

这个极限都等于

他们在x0这点的导数值

我们要证的结论是

他的和函数或者是差函数

在x0这点也是可导的

而且导数值是等于

这两个函数导数值的和与差

那么

根据导数定义 我们来看一下

他的和函数或者是差函数

在x0这点的函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时的极限

等于什么

根据极限的运算法则

我们知道

这个极限值就等于

f(x)在x0这点的函数值改变量

与自变量改变量比值的极限

再加上或者是减掉

g(x)这个函数在x0这点的

函数值的改变量

与自变量改变量的比值

他的极限

而这两个极限值

正好是f(x)在x0这点的导数值

和g(x)在x0这点的导数值

这样

我们就证明了和函数和差函数的可导性

以及和函数与差函数导数的计算公式

下面

我们来看乘积函数

他的可导性和导数计算公式

因为g(x)这个函数

在x0这点是可导的

根据可导必连续的结果

我们就知道g(x)

在x0这点是连续的

也就是说 在Δx趋向于0时

g(x0+Δx)的极限

就是g(x0)

因为f(x)和g(x)这两个函数

在x0这点都是可导的

所以根据导数定义

我们知道下面两个极限等式是成立的

这时候我们要考虑的是

乘积函数在x0这点的函数值的改变量

与自变量改变量这个比值

在自变量改变量趋向0时

极限是否存在

如果极限存在时

极限等于什么

为了用上上面的条件

我们将这个分子进行变形

也就是在这个分子中

我们减一个f(x0)

乘上g(x0+Δx)

再加上f(x0)g(x0+Δx)

进一步变形

我们就得到

这个比值的极限就等于两个极限之和

第一个极限是g(x0+Δx)乘上

f(x)在x0这点函数值的改变量

除上自变量的改变量

这个乘积的极限

第二个极限是

f(x0)乘上g(x)这个函数

在x0这点的改变量

除上自变量改变量

这个比值的极限

所以这样我们就得到了

我们要求的极限值是存在的

而且这个极限值的大小就是

f'(x0)g(x0)

再加上f(x0)g'(x0)

这也就证明了

函数f(x)乘上g(x)

在x0点是可导的

而且他们的导数就等于

f'(x0)g(x0)

加上f(x0)g'(x0)

下面我们看一下除法的证明

因为已经证明了乘积函数的导数公式

对于除法的证明

我们只要证明倒数的导数公式就可以了

我们知道

g(x)在x0是可导的

所以 我们就知道

g(x)在x0这点的函数值的改变量

与自变量改变量的比值的极限

就是g'(x0)

而且

我们也知道g(x)

它在x0这点是连续的

所以g(x0+Δx)在Δx趋于0时

他的极限就是g(x0)

这时候

我们来看一下1/g(x)

他在x0这点函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在Δx趋向0时的极限是否存在

如果存在

极限值等于什么

我们对这个分子做一个简单的变形

我们就知道

这个比值的极限在给定条件下是存在的

而且这个极限值

就等于g'(x0)

除上(g(x0))的平方

前面有一个负号

这样

我们也就证明了可导函数

它的倒数函数是可导的

而且它的导数就等于

-g'(x0)/(g(x0))的平方

这样我们就证明了导数的四则运算法则

下面我们利用四则运算法则

求几个简单函数的导数

例1

求正切函数和余切函数的导数

我们知道

sinx的导数是cosx

cosx的导数是-sinx

所以我们正切函数

它的导数

也就是sinx/cosx的导数

我们利用刚得到的

两个函数商的导数公式

就可以得出它的结果

是1/(cosx)方

也就是sec的平方x

也就是正切的导数是正割的平方

类似的

我们可以得到余切函数的导数

也就是cosx/sinx的导数

他应该是-1/(sinx)方

也就是-(cscx)的平方

这就是说

余切的导数是负的余割的平方

下面

我们看第二个例题

我们求正割函数和余割函数的导数

因为正弦它的导数是余弦

余弦的导数是负的正弦

所以我们就得到正割的导数

也就是1/cosx的导数

应该就等于sinx

除上cos平方x

也可以表示成secx乘上tanx

也就是说正割的导数

是等于正割乘上正切

类似的

我们可以求得余割的导数

也就是1/sinx的导数

应该等于-cscx乘上cotx

余割的导数就等于负的余割乘上余切

下面我们来看第三道例题

我们已知函数f(x)

等于x乘上(x+1)乘上(x+2)

我们求这个函数在0这点的导数值

在前面的四则运算法则中

我们只是给出了两个函数的

和差积商的求导公式

事实上

导数的四则运算法则

可以推广到任意有限个函数的和差积商

在这个题目中

我们就看一下

乘积函数

它的求导法则

怎么从两个函数推广到三个函数的乘积

我们知道

x x+1和x+2

他们的导数都等于1

所以f的导数

就等于第一个因子x的导数

乘上第二个因子x+1再乘上x+2

再加上第一个因子x不动

第二个因子(x+1)(x+2)求导

而第二个因子的导数

又是两个因子乘积的导数

所以我们三个因子相乘

最后的求导结果是

第一个因子求导

后面两个因子不动做乘积

这是第一项

第二项是第二个因子求导

第一第三个因子不动做乘积

第三项是最后一个因子求导

第一和第二个因子不动做乘积

我们将x=0代入就得到我们要求的

在0这点的导数值就等于1乘上2

结果就等于2

下面我们看最后一道例题

我们假设

f(x)等于x(x+1)(x+2)

一直乘到x加n

也就是说f(x)是由

n+1个因子做乘积得到的

我们求这个函数在0这点的导数值

在这个函数中

因为每个因子它的导数都等于1

所以这个函数的导数

应该由n+1项加起来

而每一项

应该是他的一个因子求导

其他因子不动做乘积得到的

所以我们求得的f(x)的导数就等于

x的导数乘上x+1一直乘到x+n

再加上

x+1的导数乘上x乘以x+2

一直乘到x+n

最后一项是x+n的导数乘上

x乘x+1一直乘到x+n-1

我们让x等于0

因为在这n+1项中

后面n项都有x这个因子

所以我们就求得这个函数

在x=0这点的导数值

就等于1乘上2乘上3一直乘到n

也就等于n！

在这一讲中

我们介绍了两个可导函数的

和差积商函数的可导性结论

给出了和差积商函数的

导数计算公式

在应用这些公式时

要注意在等号的右边

出现的导数必须存在

也就是说

这些公式仅仅是在导数存在的前提下

我们求导数值的一个具体的计算公式

在下一讲中

我们将介绍复合函数的导数计算公式

谢谢同学们

下一讲再见