4.6.1 函数的最值及其应用在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第六节

函数的最值及其应用

本讲将介绍

求连续函数最大值

和最小值的一般方法

并通过具体的例子

介绍函数最值

在处理实际问题中的

简单应用

我们知道

函数的最值是指

在某个范围上

函数的最大值和最小值

最值是一个整体性的概念

如果函数f(x)

在闭区间[a,b]上连续

根据闭区间上连续函数的性质

我们知道

这个函数就一定能够

在这个区间上取得最大值和最小值

所以对于连续函数来说

他在闭区间[a,b]上的最值

要么在区间的端点取得

要么在开区间内取得

如果在开区间内取得

这个时候

取到最值的点导数要么等于0

要么是导数不存在的

这样我们就得到求连续函数

f(x)在闭区间[a,b]上的最值

它的一般步骤可以总结如下

第一步

我们求f(x)

在开区间内导数等于0

和导数不存在的点

第二步

我们计算出f(x)

在区间端点和在导数等于0

或者是导数不存在的点

这些点的函数值

第三步

我们在求出的函数值里面

比较这些函数值的大小

其中最大的就是就是函数在

区间[a,b]上的最大值

最小的就是函数

在区间[a,b]上的最小值

下面我们来处理几道关于

闭区间上连续函数最值的题目

例1

我们求y等于3倍的三次根下x平方

减掉2倍x

在区间[-1,1/2]上的最值

我们求这个函数的导数

并且令它的导数等于0

我们发现导数等于0的点

是x等于1

x等于1

并不在我们求最值的区间内

同时我们利用导数定义

知道这个函数在x等于0这点

导数是不存在的

所以我们只要求这个函数

在-1 0和1/2这三点的函数值

这三点的函数值分别是

5 0和三次根下4分之3再减掉1

比较这三个值的大小

我们就知道

这个函数在闭区间[-1,1/2]上

它的最大值在左端点取到

就是f(-1)等于5

最小值是在x等于0取到

f(0)是等于0的

下面我们来看

对开区间上的连续函数

怎么样求他的最值

关于开区间上连续函数的最值问题

我们有下面的结论

定理

如果函数f(x)

在开区间(a,b)上连续

而且在这个区间内有唯一的极值点x0

那么x0就是f(x)

在这个区间上的最值点

也就是说如果f(x0)是极小值

那么他就是f(x)

在区间(a,b)上的最小值

如果f(x0)是极大值

那么他就是f(x)

在(a,b)区间上的最大值

在处理实际问题中的最小值和最大值时

我们一般的做法

首先是建立所谓的目标函数

也就是要建立需要求最值的函数

并确定这个函数中自变量的变化范围

也就是要确定这个函数的定义域

这样我们就把原来的实际问题

转化成了一个具体函数的最值问题

特别的

如果我们所考虑的实际问题

一定是存在最小值或者是最大值

并且我们建立的目标函数

他只有唯一的驻点

那么我们就知道

他对应的函数值

就是我们要求的最小值

或者是最大值

这是我们在处理实际问题的

最值问题时需要注意的

下面我们看第二道例题

例2

设有一块儿边长为a的

正方形薄铁皮

我们从其四角

截去同样的小正方形

用剩下的薄铁皮做成

一个无盖的方盒

问截去的小正方形的边长为多少时

我们做成的盒子的容积最大

这是一个简单的求最值的实际问题

我们假设四个角截去的

小正方形的边长是x

那么我们所做成的方盒的容积就是

a减掉2倍x

它的平方

这就是这个盒子底面的面积

在乘上x

x是我们做成的这个盒子的高度

其中x它的取值范围是大于0要小于

原来我们正方形铁皮的边长的一半

对于这个简单的函数

我们求他的导数

并令他的导数等于0

就会得到x等于a/6

这是在(0,a/2)这个范围内

导数等于0的唯一的一个点

如果我们求它的二阶导数

就会知道它的二阶导数

在a/6这点是小于0的

所以我们就能断定

当截去的小正方形边长是a/6时

我们利用剩下的铁皮

做成的无盖盒子容积是取得最大值

下面我们来看第三道例题

我们从半径为R的圆形铁皮上

截下圆心角为θ的扇形

做成一个圆锥形的漏斗

我们问圆心角θ取多大值时

漏斗的容积最大

与例2一样

这也是一道简单的实际应用题

我们假设所做漏斗的

底面半径是r 高是h

那么我们知道

圆锥的底面周长2πr

应该就等于那个扇形的弧长

也就是半径乘圆心角

而在圆锥里面

底面半径 母线长和它的高

应该是在一个直角三角形里面

满足勾股定理

也就是r应该就等于根下R方减h方

当我们知道底面半径和高时

就能求得这个漏斗的容积

是1/3底面积乘高

我们将r R与h的关系代入

就会得到V关于h的一个函数关系

在这儿

这个圆锥的高h的取值范围是

大于0小于它的母线长

我们求V关于h的导数

并令这个导数等于0

我们就得到唯一的驻点

h等于根下3分之R

我们再求V关于h的二阶导数

就得到它的二阶导数

在根下3分之R这点是小于0的

这就说明当h是根下3分之R时

我们的容积是取得最大值

这时候我们要求的圆心角

也就等于底面的周长2πr比上R

根据r与R的关系

也就等于2π乘上

根下R方减h方除上R

我们将h等于根下3分之R代入

就得到这个时候圆心角的大小是

2/3倍的根下6π

所以当我们截的扇形圆心角是

2/3倍的根下6π时

我们做成的漏斗的容积是最大的

下面我们来看第四道例题

我们假设某企业

每周生产一种产品x件需要的总成本是

1/9倍的x平方加上3倍x再加上96

我们用C(x)来表示这个表达式

我们再假设这种商品的需求函数

是x等于81减掉3倍的P

其中P是产品的单价

所谓某种产品的需求函数

指的是当这个商品它的定价是P时

它的需求量就是x

它给出的是需求量

与产品的单价之间的关系

我们的问题是

问每周生产多少件这种产品时

这个企业获利最大

获得的最大利润是多少

在这儿企业的获利

也就等于他生产这种产品得到的收益

减掉生产这种产品所需要的成本

我们来看具体的求解过程

我们假设当产量是x件时

它的总收益函数是R(x)

总利润函数是L(x)

那么它的收益

是因为我卖出了x件产品

所得到的收益

所以说R(x)

应该就等于每件产品的定价P

乘上卖出的产品件数

我们将这种产品的需求函数

也就是x与P的关系

我们带入

就会得到收益函数

用生产的件数x表示的表达式

也就是R(x)

就等于-1/3倍的x平方

加上27倍的x

再根据题目中给出的成本函数

我们就得到

我们的利润函数L(x)

也就是R(x)减掉C(x)

它的表达式是-4/9倍的x平方

加上24倍的x减96

我们求L关于x的导数

并令这个导数等于0

就会得到唯一的驻点是x等于27

因为L关于x的二阶导数

在x等于27这一点

它的值是-8/9是小于0的

所以我们就知道当x等于27时

L(x)取得最大值

也就是说当我们

每周生产27件这种商品时

这个企业就能获得最大利润

最大的利润

就是L在x等于27时的值

也就是228

最后我们再考虑一个例题

我们假设a是实数

我们求下面这个方程不同实根的个数

这个方程是x乘上e的-x次方等于a

关于方程实根个数问题

这是在微分学中

我们常见的一类问题

他一般的处理方法

也就是说

对于方程f(x)等于0的实根个数

我们就来看曲线

y等于f(x)

与x轴交点的个数

而为了看曲线y等于f(x)

与x轴交点的个数

我们需要讨论这条曲线它的单调性

它的最高点和最低点

以及这条曲线当他上面的点

离原点原来越远时

它的变化情况

用函数的语言就是说

我们要求这个函数f(x)的

单调区间 极值点和极值

并考虑这个函数

在我们考虑的范围

两个端点的变化情况

也就是极限情况

下面我们来看

这道题目的具体解答过程

我们令f(x)就等于

x乘上e的-x次方减掉a

为了考虑这个函数单调性

和求他的极值我们先求它的导数

它的导数就等于

1减x乘上e的-x次方

所以我们知道

x小于1时

这个函数是单调递增的

x大于1时

这个函数是单调递减的

x等于1时

f(1)是它的最大值

为了考虑这个函数

在x趋向于负无穷和正无穷时的情况

我们来看这个函数f(x)

在x趋向正无穷时的极限

我们可以求得这个极限就等于-a

而在x趋向负无穷时

我们知道f(x)是一个负无穷大量

根据我们上面的分析

从几何上我们可以看出来

如果我们这个a是小于等于0的

这个时候y等于f(x)这条曲线

只在x小于1这个范围内

与x轴相交一次

也就是说

a小于等于0时

我们考虑的方程就只有一个实根

当a大于0

而且他的最大值f(1)大于0时

也就是a大于0小于1/e时

由于最大值大于0

而在x趋向负无穷和x趋向正无穷时

我们总能找到函数值小于0的点

所以这个时候

在x小于1和x大于1的范围中

曲线y等于f(x)

都会与x轴相交一次

也就是说这时候这个方程

有两个不同的实根

如果函数的最大值

也就是f(1)是等于0的

这时候这个方程就只有一个实根

就是x等于1

如果函数的最大值f(1)是小于0的

我们知道这个方程是没有实根的

所以说我们要求的

方程的不同实根个数

与这个a的取值范围是有关系的

分别有一个 两个不同的

和x等于1一个以及没有

这四种情况

这是利用函数的单调性

极值和函数极限来讨论一般的方程

有没有实根和

有几个不同实根的一般方法

在这一讲中

我们介绍了求闭区间上

连续函数最值的一般步骤

得到了开区间上连续函数

具有唯一极值点时最值的有关结论

强调了在处理实际应用问题时

应注意的几个方面

并通过例题展示了相关问题的

具体求解过程

有关方程f(x)等0有没有实根

或有几个不同实根的问题

是微积分中常见的一类问题

本讲中例5的处理思路

就是求解这类问题的一般方法

下一讲将介绍曲线的凸性和拐点

谢谢同学们

下一讲 再见