5.4.2 微积分基本定理(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第四节

微积分基本定理

在这一讲中

我们将利用变限定积分函数的性质

以及同一个函数原函数之间的关系

给出计算定积分的一般方法

即定积分计算的牛顿-莱布尼兹公式

现在我们来介绍

定积分计算的基本公式

我们先看一个简单的例子

我们知道

如果一个运动物体

它的运动距离S与时间的关系

已知的时候

那么这个物体

从a时刻运动到b时刻

他所走过的距离

就应该是S在t等于b时的值

减掉S在t等于a时的值

同一个问题

如果我们知道的是

这个运动物体的运动速度

与时间的关系

那么我们在前面介绍定积分概念时

我们就知道这个运动物体

从a时刻运动到b时刻

他走过的距离就是

速度在a到b区间上的定积分

也就是说

对这个具体的问题来说

我们就得到了

速度v在[a,b]区间上的定积分

就应该等于S在b点的值

减去S在a点的值

根据导数的物理意义

我们知道

距离关于时间的导数就是速度

那么S(t)就应该是

v(t)的一个原函数

也就是说

在这个例子中

我们发现v的定积分

就等于它的原函数

在上限处的值减掉下限处的值

事实上

这个结论对一般的函数来说

也是成立的

这就是我们要介绍的

定积分计算的基本结论

定理15

我们设函数

f(x)在区间[a,b]上连续

函数F(x)在区间[a,b]上

是一个可导函数

而且F的导数是等于f的

那么我们就得到

f(x)在[a,b]区间上的

定积分值

就等于F(b)减掉F(a)

这个公式

就称为是牛顿-莱布尼兹公式

也称为是微积分基本公式

我们为了书写方便

我们引进一个记号

也就是用F(x)加上一竖杠

上面是b下面是a

表示F(b)减F(a)

牛顿-莱布尼兹公式给出了连续函数

它的定积分与他的原函数之间的关系

这个公式也是我们计算

简单函数定积分的一般方法

下面我们来证明一下

牛顿-莱布尼兹公式

我们知道F的导数是等于f的

前面我们曾经介绍了

只要f连续

那么他在a到x区间上的定积分

就是个可导函数

而且导数也等于f(x)

这样就说明

F(x)与这个变限定积分函数

都是f的原函数

他们之间是相差一个常数的

也就是说f(x)

在a到x上的定积分

就等于F(x)加上C

在这个等式中

我们令x等于a

我们就会得到

F(a)加上C是等于0的

也就是C就等于-F(a)

这样我们就得到了

f在a到s上的积分

就等于F(x)减去F(a)

在这个等式中

我们令x等于b

就得到了我们要证的公式

也就是f(x)

在a到b区间上的定积分

就等于F(b)减去F(a)

有了牛顿-莱布尼兹公式之后

那么我们简单函数定积分的

计算问题就解决了

也就是说

我们只要得到了

这个被积函数的原函数

我们就得到了它的定积分值

下面我们来看几道例题

例1

我们计算x三次方

在0到2闭区间上的定积分值

我们知道

x的三次方在0到2区间上

当然是一个连续函数

而且我们还知道

四分之一倍的x四次方的导数

就等于x的三次方

所以根据牛顿-莱布尼兹公式

我们要求的定积分值

就等于四分之一倍的x四次方

在2这点的值减去0点的值

最后的结果就等于4

下面我们来看第二道例题

我们假设f(x)是一个分段函数

在x大于0时

函数值就等于x

在x小于等于0时

函数值是等于1的

我们来计算

f(x)在-1到2上的定积分值

我们知道

f(x)在积分区间[-1,2]中

是分段表示的

我们为了要用牛顿莱布尼兹公式

我们根据定积分的区间可加性

将f(x)在-1到2上的积分

表示成-1到0上的定积分

加上0到2上的定积分

也就是在-1到0上

我们求1的定积分

而在0到2上我们求x的定积分

因为1在-1到0上的定积分

就等于1乘上距离长度

或者是就等于它的原函数

x在0点的值减掉-1点的值

结果是1

x在0到2上的定积分

就等于它的原函数

二分之一倍的x的平方

在2这点的值减去0这点的值

就等于2

所以我们要求的定积分的值

应该就等于3

下面我们来看第三道例题

我们来计算x减2的绝对值

在1到3上的定积分

我们知道x减2的绝对值

在1到3这个区间上

也是分段表示的

我们知道x减2的绝对值

在区间1到3上也是分段表示的

也就是说x大于等于2时

他等于x减2

x小于2时

他等于2减x

所以我们利用区间可加性

就把我们要求的这个定积分

变成了1到2上的定积分

在加上2到3上的定积分

在1到2这个区间上

也就是要求

2减x的定积分

2减x的原函数是等于

两倍x减去二分之一倍x的平方

所以这个积分值

就等于原函数在2这点的值

减去1这点的值

也就等于二分之一

同样在区间2到3上

我们要求的是x减2的定积分

而它的原函数是

二分之一倍的x平方减去两倍的x

那么他在上限的值

也就是在3这点的值

减去他在下限的值

就减去他在2这点的值

应该是等于二分之一的

这样我们就求出了

x减2的绝对值

在1到3这个区间上的定积分

是等于1的

在我们讨论的例2和例3中

我们处理的都是同一种情况

也就是说在整个积分区间上

被积函数并不是由

一个共同的表达式给出的

这种情况我们为了要用

牛顿-莱布尼兹公式

我们一般的就是利用区间可加性

将整个定积分表示成

几个不同区间上定积分的和

来进行处理的

下面我们来看第四道例题

我们设函数f(x)满足

f(x)等于x平方

减去f(x)

在0到1区间上的定积分

在这个条件下

我们来计算

f(x)在0到1区间上

定积分的值

我们并求f(x)的表达式

在这个题目中主要注意到

f(x)在0到1的区间上

定积分是个常数

也就是说我们可以把f(x)

在0到1的定积分记作是A

那么条件就变成了

f(x)等于x平方减去A

在这个等式中A是未知的

f(x)也是未知的

所以一个方程两个未知量

我们自然无法确定其中的值

我们为了减少未知量

我们在这个等式两端

对x从0到1求积分

也就得到了

f(x)在0到1上的积分值

就等于x平方

在0到1上的定积分值再减去

A在0到1上的积分

这个等式也就是A就等于x平方

从0到1的定积分减去A

这样我们就求得了A的值

就等于六分之一

进一步我们就得到了

f(x)的表达式就是x平方

减去六分之一

下面我们来看第五道例题

我们求这个和式的极限

有了牛顿-莱布尼兹公式之后

简单函数定积分的计算问题

就变成了一个一般的运算问题

根据定积分的定义

我们知道定积分实际上

就是一个和式的极限值

所以有了牛顿-莱布尼兹公式之后

我们经常反过来

利用定积分的计算来求和式的极限

在处理这类问题时

我们一定要对和式进行变形

就把这个和式

变做是某个函数

在某个区间上的积分和

这样这个和式的极限就变成了

一个定积分的计算问题

我们来看这道题的具体解答过程

我们首先对这个和式变形

变形的原则就是说

积分和中一定要出现子区间的长度

所以我们在这个和式中

将分母上的n提出来

就变成了1加n分之k分之1

再乘上n分之1

关于k从1到n求和

对这个和式

n分之1我们可以理解成

是把一个长度为1的区间n等分之后

每个子区间的长

而前面这个因子我们可以理解成是

某个函数在xk这点的值

xk我们可以看作是n分之k

这样的时候

那么这个新的和式形式

我们就可以看作是

函数f(x)等于1加x分之1

在区间0到1上的一个积分和

这个积分和

也就是通过对[0,1]区间n等分

我在每个区间上去他的右端点

这样就得到了一个

f(xk)乘上Δxk

对k从1到n求和

这么一个和式

因为我们这个函数是一个连续函数

而且它的原函数

就是1加x的自然对数

所以我们要求的这个和式的极限

就等于1加x分之1

在0到1上的定积分值

也就等于1加x的自然对数

在1这点的值减去0那点的值

所以最后的答案是2的自然对数

所以我们要求的和式的极限值

就是2的自然对数

下面我们再看一道

求和式极限的题目

我们来求下面这个和式的极限

与例5中我们求和式极限问题时的

处理方法类似

我们首先将这个和式变形

为了出现子区间长度这个因子

我们仍然将分母中n的平方提出来

那么这个和式就变成了

n分之1乘上

1加n分之k的平方分之1

对k从1到n求和

在这个新的和式形式中

n分之1我们仍然是看做

长度为1的区间n等份之后

每一份的长度

而1加n分之k的平方分之1

我们可以看作是

函数1加x平方分之1

在n分之k这点的函数值

这样我们这个新的和式

就可以看作是

函数1加x平方分之1

在区间0到1上的一个积分和

因为1加x平方分之1是连续函数

而且他的一个原函数

就是arctanx

也就是反正切函数

所以根据牛顿-莱布尼兹公式

我们就知道我们要求的和式的极限

就等于1加x方分之1

在0到1上的定积分

也就等于反正切函数在1这点的值

减去在0这点的值

最后的答案是4分之π

在这一讲中

我们介绍了连续函数定积分计算的

牛顿-莱布尼兹公式

牛顿-莱布尼兹公式也称为

微积分基本公式

他给出了积分值与被积函数

原函数值之间的关系

将定积分也就是

无穷和求极限的求值问题

转化成了求原函数的问题

反映了函数在区间上的整体量

也就是积分值与区间端点的量

也就是原函数的函数值

之间的内在联系

牛顿-莱布尼兹公式使

简单函数定积分的求值成为可能

进而可以利用定积分

处理其他的相关问题

譬如可以求无穷和的极限问题

以及处理相关的简单应用问题

下一讲开始

将介绍定积分的几何应用

谢谢同学们

下一讲再见