7.8.1 幂级数的简单应用在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第七章无穷级数

第八节幂级数的简单应用

我们知道幂级数是一类简单

而且具有很好性质的级数

它在解决数学 物理

和其他应用问题中

有着广泛的应用

本讲将通过几个具体例子

介绍幂级数的几种常见应用

首先我们来介绍

幂级数在求极限问题时的应用

我们通过一道具体的例题

来说明它的应用

例1

我们求sinx减去x

除上x乘上括号里面1减cosx

在x趋向0时的极限

我们知道这个分式极限

在x趋向0时

它的分子和分母都是无穷小量

我们知道这个分式极限

它的分子和分母在x趋向0时

都是无穷小量

所以这是一个0比0型的不定式

我们前面曾经介绍过

利用洛必达法则

可以求这类不定式的极限

现在我们换一个思路

我们利用sinx和cosx的

麦克劳林级数展开

来求这个极限的值

我们将sinx和cosx

写成它们的麦克劳林级数

并将麦克劳林级数

带到这个表达式中

我们就知道

我们要求极限的分式

就可以整理成

分子是负的

3的阶乘分之x3次方

加上5的阶乘分之x5次方

一直按这个规律写下去

分母就是一个

2的阶乘分之x3次方

减去4的阶乘分之x5次方

也一直加下去

这样我们知道它的分子分母

最低次项都是3次方项

我们为了求极限

就将分子分母同时除以x3次方

那么我们要求极限的分式

就变成了分子首项

就是负的3的阶乘分之1

后边每一项都含有x的因子

分母就变成了

首项是2的阶乘分之1这个常数

而后边的每一项

也都带有x这个因子

所以对这个分式我们令x趋向0

我们就会得到最后的极限值

就等于负的3分之1

这个例题的求解过程

体现的就是我们利用函数

在某一点的泰勒级数展开来求

与这个函数有关的

极限问题的处理方法

利用泰勒级数求极限

我们不仅能求得

最后的极限结果

实际上我们仔细分析

这个求解过程

可以发现分子分母

都趋向于0时

作为无穷小量来说

他们的阶是如何变化的

因为泰勒级数

是一个无穷次多项式函数

而对于无穷次多项式函数来说

在他的每一项都趋向于0时

起主要作用的

应该就是他的次数最低的项

下面我们来介绍泰勒级数

在求函数的高阶导数时

它的具体应用

我们看第二道例题

我们假设fx

就等于x乘上arctanx

我们求这个函数

在0这点的一般阶导数

关于这个问题

我们当然不能把fx的

一般阶导函数求出来

在将x等于0代入求值

我们在这用它的麦克劳林级数

来求我们要求的f的一般阶导数

在0这点的值

我们的根据就是

函数它的泰勒级数展开

形式是唯一的

它xn次方的系数都应该是

它这一项对应的泰勒级数

我们来看一下这道题的求解过程

我们知道fx要想写成

麦克劳林级数

主要就是要把arctanx

写成麦克劳林级数

因为arctanx

我们可以表示成是1加t方分之1

在0到x上的定积分

而1加t方分之1

它的麦克劳林级数

我们是知道的

它是一个通项为负1的n次方

乘上t的2n次方的幂级数

我们对这个幂级数的

和函数求积分

利用逐项积分公式

也就是要对它的

每一项求完积分之后

再求和

所以我们利用这个方法就得到了

fx的麦克劳林级数就是

通项是负1的n次方

除上2n加1

再乘上x的2n加2次方

关于a是从0到无穷求和的

这就是fx它的麦克劳林级数

我们要求fx的一般阶导数

在0这点的值

我们就是要看x的

一百次方的系数是什么

在这个幂级数展开中

我们知道x的一百次方的系数

对应的也就是n等于49的情况

所以它的系数

就是负的99分之1

而在麦克劳林公式

它的定义中100次方

它的系数是f的100阶导数

在0这点的值

除上100的阶乘

根据唯一性

这两个系数应该是相等的

这样我们就得到了

f的100阶导数

在0这点的值

就是负的100的阶乘再除上99

这就是利用泰勒级数

来求具体的函数

在指定点的

高阶导数值的一般过程

下边我们来介绍一下

利用幂级数

来求一些特殊数项级数的和

我们也是通过一道具体的例题

来解释一下如何去利用幂级数

求数项级数的和

我们看例3

我们求一个通项是

负1的n减1次方

除上n乘上n减1

对n从2到无穷求和

我们来求这个数项级数的和

我们知道根据

数项级数和的定义

数项级数的和应该就是

数项级数的部分和它的极限

但是我们也知道

对一般的数项级数来说

部分和的表达式

我们是得不到的

所以利用定义我们只能求

简单的数项级数的和

一般的数项级数求和

都是要用其他的

特殊方法来处理

关于这个数项级数

我们为了求它的和

我们可以考虑一个幂级数

这个幂级数的通项

就是在数项级数的通项基础上

再乘上x的n次方

我们知道这个新的幂级数

它的收敛半径

我们求出来是等于1的

而且在x等于正负1时

它对应的数项级数

都是绝对收敛的

所以这个幂级数它的收敛域

是负1到1 b区间

我们记sx是它的和函数

实际上我们可以看出和函数

在1这点的函数值

就是我们要求的数项级数的和

接下来我们就来看

sx的表达式如何求

我们为了用上我们已知的

简单幂级数的和函数

我们通过逐项求导公式

对sx求一次导

就会将分母上的n削掉

我们将x求两阶导

就会将分母上的

n和n减1都削掉

这样我们就得到了

一个熟悉的幂级数

也就是说x的两阶导数

就是一个通项为负1的n减1次方

再乘上xn减2次方

关于n从2到无穷求和的

这个幂级数的和函数

这是一个几何级数

它的和函数我们是可以求出来的

和函数就是负的1除上1加x

我们还知道s′x在x等于0时

它的值得是等于0的

sx在x等0时

它的值也是等0的

所以我们就能够利用s′′

先求出s′x

s′x就等于s′′t

关于t从0到x的积分

也就是等于负的1加t分之1

在0到x这个区间上的积分

我们利用牛顿莱布尼兹公式

得到了它的表达式

是负的ln1加x

类似的sx就等于x′t

在0到x上的定积分

也就等于负的ln1加t

在0到x区间上的定积分

我们利用分布积分公式

就会得到sx的表达式

就是x减去括号里面1加x

再乘上ln1加x

根据sx

它与我们要求的

数项级数的关系

我们知道我们要求的

数项级数的和

就等于sx在1这点的函数值

也就等于1减去2倍的ln2

这就是我们利用幂级数

求特殊数项级数和的一般过程

下面我们再看一道例题

例4

我们假设银行的

年存款利率是5%

而且是以年负复利计息

如果某人一次性

将一笔资金存入银行

如果要保证自存入之后起

第n年年末都能从银行中

提取n万元现金

我们问这个人他存入银行的资金

至少不能少于多少

也就是说他现在

至少要存入多少钱

才能够保证以后每年年末

都能取出相应的n万元

我们来看这道题的解答过程

第一年年末取出的1万元

我们假设他需要

现在存入的钱是a1

a1就应该满足

a1加上a1一年的利息

也就是0.05倍的a1

它就等于1

这样我们就得到了a1

就等于1.05分之1

第二年年末提出的两万元现金

我们假设现在

需要存入的钱是a2

那么a2它就应该

满足1.05的平方

乘上a2 就等于2

这样a2就等于

2除上1.05的平方

类似的我们假设第n年年末

提取的n万元

现在存入的钱是an

那么an它就应该满足

1.05的n次方

乘上an就等于n

这样an也就等于

n除上1.05的n次方

这样我们就知道

此人现在存入的资金

至少应该是a1加a2一直加

加到an继续加

实际上就是一个

以an为通项的数项级数的和

我们为了要求

这个数项级数的和

我们来考虑一个幂级数

这个幂级数它的通项

就是n乘上xn次方

关于n从1到无穷求和

这个幂级数它的和函数

我们就用sx来表示

根据数项级数

和这个幂级数的形式

我们知道sx

在s等于1.05分之1

这点的函数值

就应该是我们要求的

上边这个数项级数的和

我们为了求这个幂级数的和函数

我们将它的通项中

提出一个x

我们只要求通项

是n乘上xn减1次方的

这个幂级数的和函数就可以了

而n乘上xn减1次方

我们可以看作是

x的n次方的导数

我们再根据

幂级数的逐项求导公式

所以我们就可以将sx看作是

x乘上xn次方做通项的

这个幂级数和函数的导数

而以xn次方做通项的幂级数

这是一个几何级数

它的首项是x 公比也是x

所以大家就会求到它的和函数

就是x除上1减x

最后我们就得到了sx的表达式

就是s除上括号里面1减x

括起来的平方

这样我们就得到了

我们要求的幂级数的和函数

我们将x等于1.05分之1

代入sx的表达式

就得到了我们上边

这个数项级数的和

是等于420 单位是万元

也就是说这个人

现在只要存入420万元钱

那么以后每年年末

他都会得到相应的

年份的万元的现金

下面我们来介绍

幂级数在积分计算中的简单应用

我们知道计算定积分时

如果我们要用微分

积分定理

也就是要用牛顿莱布尼兹公式

我们就需要求被积函数的原函数

我们知道并不是所有的

被积函数的原函数

总能用初等表达式给出

即使能够用初等表达式给出的

这样的原函数

有时候

它的表达式也是非常复杂的

真正计算时计算量也是非常大的

事实上我们在求积分时

经常用近似计算的方法

来求定积分的近似值

而幂级数

就是我们要做近似计算时

经常用到的一个有利工具

下面我们看一道例题

例5

我们利用幂级数来求

e的负x平方次方

在0到1这个区间上

定积分的近似值

我们要求误差不大于0.0001

也就是误差

不大于10的负4次方

对于这个定积分来说

尽管它的被积函数

是一个非常简单的连续函数

但是它的被积函数

是没有初等原函数的

所以这个定积分

我们并不能直接用

牛顿莱布尼兹公式得到它的值

下面我们来求它的近似值

我们知道e的负的x平方次方

它的麦克劳林级数展开

就是1减去x平方

加上2的阶乘分之x4次方

这样一直做下去

我们在这个等式两端

关于积分变量从0到x做积分

就会得到1的负的t的平方次方

在0到x上的积分

就等于x减去3分之x3次方

再加上5乘上

2的阶乘分之x5次方

这样一直做下去

在这个等式中

我们令x等于1

就得到了我们要求的定积分

它实际是一个数项级数的和

这个数项级数实际上是一个

满足莱布尼兹条件的交错级数

我们知道满足

莱布尼兹条件的交错级数

我们用它的部分和

来近似这个级数的和的时候

它是有一个很好的

误差估计的结论

也就是说它的误差

是小于下一个未用项的绝对值

也就是说我们如果用

xn来近似x时

那么x减去xn的绝对值

应该小于un加1的绝对值

在这个具体的题目中

我们为了要得到

满足误差要求的近似值

我们只要减1除上2n加1

再乘上n的阶乘

它小于0.0001

只要能够n满足这个不等式

就可以了

在这个不等式中

我们知道只要

n大于等于7就可以

换句话说

我们只要取

n等于7之前的项求和

就能够得到满足条件的

这个定积分的近似值

这些项也就是1减去3分之1

再加上5乘上2的阶乘分之1

最后一项是

13乘上6的阶乘分之1

我们把这一值具体算出来

得到的结果是0.7568

这就是满足误差要求的

这个定积分的近似值

事实上我们利用幂级数

来求定积分的近似值

是一个常用的方法

下面我们看另外一个例子

比如说我们要求sinx比上x

在0到1上的定积分值

这也是一个

不能直接用牛顿莱布尼兹公式

得到积分值的一个定积分

如果我们将

sinx的麦克劳林级数

展开代入

我们知道这个定积分

也是等于一个

莱布尼兹条件下的

交错级数的和

对于这个交错级数来说

通过我们写出的这几项

大家可以看出

如果我们用

这个交错级数的前三项

求这个定积分的近似值

它的误差就已经满足万分之一

就是误差绝对值

不会超过万分之一

如果我们把这个数项级数

前四项的和

来作为这个定积分的近似值

实际上它的误差的绝对值

是不会超过百万分之一的

也就是说我们要求

这个定积分时

只要用sinx的

麦克劳林级数展开

就会得到一个非常高效的

近似计算公式

最后我们来介绍一下幂级数

在求解微分方程时的简单应用

在前面我们曾经介绍过

简单的微分方程

下面我们来看第六道例题

我们解微分方程

y′等于x加上y

满足定解条件y0等于1的解

我们假设这个微分方程的解

可以写成是

麦克劳林级数的形式

也就是通项是

an乘上xn次方的幂级数

根据定点条件y0等于1

我们知道a0是等于1的

我们为了要得到

这个幂级数中的展开系数

我们求y的导数

利用逐项求导公式

就会得到y′就是一个通项是n

乘上an再乘上xn减1次方的

这样的幂级数

我们将y和y′

都带到原来的微分方程

那么原来的微分方程

就变成了左边就是一个通项

是n乘上an再乘上xn减1次方

这么一个幂级数

而右边是x加上一个通项是an

乘上xn次方的幂级数

这是两个无穷次多项式相等的

一个恒等式

我们考虑等式两端对应项的系数

他们应该是相等的

这样就会得到a1等于a0

2倍的a2等于1加a1

3倍的a3就等于a2

在n大于等于3时

它实际上都满足n乘上an

就等于an减1

我们将a0等于1代入

就会得到a1等于1 a2等于1

n大于等于3时 它就等于

an就等于1除上n乘n减1

一直乘到4再乘上3

这样我们就得到了这个解

它的幂级数表示

我们为了与我们熟悉的

函数的幂级数展开联系起来

我们做一个简单的变形

也就是将Y写成两倍的括号里面

是一个通项是n的阶乘分之1

乘上xn次方的幂级数的和

再减去1 再减x

利用我们知道的

1的x次方的麦克劳林展开

我们就知道这个微分方程的解

如果用初等表达式表示

它就等于2倍的1的x次方

减去括号里面1加x

这是我们利用幂级数

来求解微分方程时的处理过程

利用幂级数可以处理

一些特殊的微分方程

它整个的想法

实际上就是利用

幂级数的逐项求导公式

把微分方程的求解问题

转化成求幂级数展开

展开系数的代数方程求解问题

在这一讲中

我们介绍了幂级数在极限求值

高阶导数求值

数项级数求和

以及定积分求值等方面的应用

在极限求值时

主要利用的是幂级数的通项

都是幂函数

幂函数在任意

极限过程下的变化趋势

都是明确的 特别的

还能确定它是无穷小

或无穷大时的阶

一般的在处理

不定时极限求值问题中

幂级数要比洛必达法则更有效

在高阶导数求值时利用的是

函数幂级数展开形式的唯一性

也就是 一定是它的泰勒级数

如果得到了函数

在某点的幂级数展开

根据泰勒级数的定义

利用对应项系数相等

就会得到函数

在展开点的各阶导数值

利用函数项级数

可以求一些数项级数的和

在利用幂级数

求数项级数和时

是将数项级数看作是一个幂级数

在某点的值

如果求出了幂级数的和函数

也就得到了数项级数的和

这又是一个将离散问题

处理成连续问题的例子

由于连续问题可以利用解析运算

从而达到了解决问题的目的

定积分求值

是一个十分困难的问题

但求幂函数的定积分

却是十分容易的

如果能够将被积函数

展开成幂级数

利用幂级数的逐项积分性质

就可以得到

计算定积分近似值的简单方法

下一讲开始我们将学习

微积分中的另外一部分内容

这就是常微分方程

谢谢同学们

下一讲 再见