6.5.1 反常积分(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第五节反常积分

我们知道定积分

只是在有限区间上的

有界函数中讨论问题

对于无限区间上的有界函数

或者是有限区间上的无界函数

甚至是无限区间上的无界函数

情况又是什么样的呢

在这一讲中

我们将介绍无限区间上的

有界函数的反常积分

首先我们来介绍

无穷区间上的反常积分

无穷区间上反常积分

我们习惯的称之为无穷积分

在给出有关的概念之前

我们首先看两个简单的例子

例1

我们求介于曲线y等于x方分之1

与x轴之间的区域的面积

我们将这条曲线的图形画出来

我们要求的面积

从图上看应该是一个

无界区域的面积

对于这个无界区域的面积

我们可以这样处理

我们先用曲线y等x平方分之1

与直线x等1和x等a 以及x轴

围成一个曲边梯形

我们用DA来表示

这个曲边梯形的面积

我们可以利用定积分求出

求出了这个曲边梯形的面积之后

我们可以让直线x等a

沿着x轴正向往正无穷方向跑

那么我们就会得到我们要求的

曲边梯形的面积

就会越来越接近我们要求的

这个无穷区域的面积

具体的计算就是DA的面积

就是x平方分之1

关于x从1到A做积分

我们利用牛顿莱布尼兹公式

求得它的值就是1减去A分之1

我们用SA来表示

那么我们要求的

无穷区域的面积

我们用S来表示

它应该就是SA

在A趋向正无穷时的极限值

也就是1减A分之1

在A体现正无穷时的极限值

最后的结果应该等于1

在这个具体的问题的处理过程中

事实上我们就碰到了

X平方分之1这个函数

在1到正无穷

这个区间上的积分问题

当然 我们这样说的积分

肯定不是我们前面

讨论过的定积分

因为定积分对区间的

要求是有限的

那我们处理的方法

就是先考虑一个简单的

变上限定积分函数

然后利用函数的极限

我们就将这个定积分的求值

推广到了无穷区间上

这样的问题中

下面我们看第二道例题

如果将地面上质量为m的物体

竖直的举高H米

我们求在这个过程中

克服重力所做功的大小

我们用WH来表示

这是一个简单的便利做功问题

我们假设地球的半径用R来表示

地球的质量用M来表示

引力常数用G来表示

那么根据前面

我们讨论过的便利做功

它的计算公式我们就知道

我们要求功的大小

就等于G乘上M再乘上m

除上X平方

关于x从R到R加H做积分

利用牛顿莱布尼兹公式

我们就求出了

我们求的功的大小

就是G乘上M再乘m

再乘括号里面R分之1

减掉R加H分之1

在这个表达式中

被积函数GMm乘积除上X平方

这表示的是当质量为m的物体

距离地心的距离是x时

地球对这个物体的引力大小

也就是我们要克服的重力大小

这实际上就是便利做功问题中的

便利的大小

那我们将物体

从地面竖直的举高H米

也就相当于

将物体从距离

地球的中心R这个位置

举高到距离地球的中心

是R加H这个位置

这样大家就可以理解

我们为什么可以

把我们要求功的大小

表示成这个定积分的值的大小

如果我们考虑的问题变一变

也就是我们为了使得这个物体

能够摆脱地球的引力

那么我们克服重力需要做的功

到底是多大

所谓摆脱地球的引力

也就是将这个物体举的高度

让它的高度倾向于无穷大

也就是只要关于这个功

让H趋向正无穷

取极限就可以了

我们得到最后需要做功的大小

是引力常数与地球质量

和物体质量的乘积

再除上地球的半径

我们知道我们克服重力做的功

也就等于这个物体

它势能的增加

也就是说这个时候

物体总的势能增加了引力常数

与地球质量和物体质量的乘积

再除上地球的半径

在这个基础上

我们再考虑一种情况

如果我们是通过

给物体一个初速度V0

使得这个物体

能够摆脱地球的引力

我们给物体一个初速度

相当于是给了物体一个动能

动能也就是2分之1质量

乘上速度的平方

只要这个动能

不小于它摆脱地球引力

所需要增加的势能

那么我们就能做到这一点

在这个不等式里面

我们将地球的质量

引力常数和半径代进去

就会得出只要初速度

不小于11.2千米每秒

那么我们就能保证

能够使得这个物体

摆脱地球的引力

11.2也就是我们熟悉的

第二宇宙速度

在第二个例子中

与第一个例子一样

我们仍然碰到了怎么样处理

在一个无穷区间上

对一个函数做积分的问题

实际上我们在无穷区间上

当然不可以做定积分

但是我们可以通过

对一个简单的变现定积分函数

取极限的方法

把有限区间上定积分的处理方法

推广到无穷区间上去

我们所谓的无穷积分

实际上就是

用这思路来讨论问题的

下面我们给出有关的概念

第一个问题无穷积分的概念

我们直接给出定义

定义1

我们设函数fx在

a到正无穷上有定义

而且对于任意的A大于a

函数fx在B区间a到A上可积

如果这个变上限定积分函数

在上限A趋向

正无穷时的极限存在

我们就说fx

在a到正无穷上的无穷积分

是收敛的

无穷积分的值

就等于这个变上限定积分函数

在上限A出现正无穷时的极限值

无穷积分我们就形式的记作fx

关于x从A到正无穷做积分

请大家注意这个积分

它表示的应该就是一个函数

在自变量趋向正无穷时的极限值

类似的 我们也可以定义函数fx

在负无穷到b这个无穷区间上

无穷积分的收敛性以及它的值

也就是说在负无穷到B

这个区间上的无穷积分值

就等于一个变下限积分函数

在下限B趋向副无穷时的极限值

如果我们的函数

是在副无穷到正无穷

这个区间上有定义

我们怎么样定义

它在副无穷到正无穷

这个区间上的无穷积分

我们的定义是这样子的

如果存在一个实数a

使得fx在a到

正无穷期间上的无穷积分

和fx在副无穷到

a这个无穷期间上的无穷积分

都是收敛的

那么我们就说fx

在负无穷到正无穷上的无穷积分

也是收敛的

而且这个时候

这个无穷积分它的值的大小

就等于fx在副无穷

到a这个区间上的

无穷积分值

再加上fx在a到正无穷

这个无穷期间上的无穷积分值

这是关于fx在副无穷

到正无穷这个区间上

无穷积分的收敛性

和它值的大小的定义

请大家注意

在这个定义中

只有当两个半无穷区间上的

无穷积分

都收敛时

我们才说在副无穷

到正无穷期间上的无穷积分

是收敛的

关于无穷积分的概念

我们还是要强调两点

第一点对于无穷区间上的

无穷积分

我们知道任意有限长度区间上的

被积函数的函数值

是不影响我们考虑的无穷区间上

无穷积分的收敛性的

第二点

在副无穷到正无穷

这个无穷区间上

无穷积分的收敛性的定义中

我们说存在某个实数a怎么样

我们可以证明

这个无穷积分的收敛性

以及它值的大小

实际上与我们选的实数a的值

是没有关系的

也就是说只要有一个实数

使得它是收敛的

那么我们任意取一实数

它也是收敛的

而且不同积分的值是不变的

我们利用无穷积分收敛的定义

我们做一个简单的证明

也就是fx

在负无穷到a上的无穷积分

加上fx

从a到正无穷上的无穷积分

按照定义

第一个无穷积分就是一个

变下限积分函数

在下限趋向负无穷时的极限值

而第二个无穷积分

就是一个变上限积分函数

在上限趋向正无穷时的极限值

在这个表达式中

D到a只是个定积分

a到A这也是个定积分

我们利用定积分的区间可加性

可以把B到a的定积分

写成是B到b的定积分

再加上b到a的定积分

同样的

a到A这个区间上的定积分

我们也可以把它表示成是

A到b的定积分

再加上b到A的定积分

在这a到b的定积分

和b到a的定积分是常数

所以说我们就可以把它写作是

负无穷到b

这个区间上的无穷积分

加上b到a的定积分

再加上a到b的定积分

最后再加上b到正无穷

这个区间上的无穷积分

我们知道b到a的定积分

加上a到b的定积分是等零的

这样我们就证明了

负无穷到正无穷区间上的

无穷积分它的收敛性

以及它的值的大小

与a的取值是没有关系的

有了无穷积分收敛的概念

和值的定义以后

我们来看几道具体的例题

例3

判断下列两个无穷积分的收敛性

现在我们判断无穷积分的收敛性

方法只有一个

那就是定义

对第一无穷积分

我们考虑e的负x方

在0到A这个区间上的定积分值

然后让A趋向正无穷取极线

因为这被积函数的原函数

我们是可以求出的

那么利用牛顿莱布尼兹公式

0到A上的定积分值

我们可以得到是1减去

e的负A次方

那么在A趋向正无穷时

它的极限就等1

根据无穷积分的收敛性概念

我们知道

第一个无穷积分是收敛的

而且我们还知道

它的值的大小就等于1

下面我们看第二个无穷积分

这是一个负无穷

到正无穷区间上的无穷积分

我们就考虑0到正无穷

这个区间上的无穷积分

和负无穷到0

这个区间上的无穷积分的收敛性

首先我们对1加x方分之1

在0到a上取定积分

它的原函数是arctanx

所以利用牛顿莱布尼兹公式

我们能够求出这个定积分值

应该是arctana

它在a趋向正无穷时的极限

就是2分之π

类似的我们再求1加x平方分之1

在B到0上它的定积分值

根据牛顿莱布尼兹公式

它的值应该是负的arctanb

那么在b趋向负无穷时的极限

它也是2分之π

这说明这个函数

在0到正无穷这个区间

和在负无穷到0

这个区间上的无穷积分

都是收敛的

根据定义我们就知道

这个函数在负无穷

到正无穷上的无穷积分

也是收敛的

而且这个无穷积分值的大小

就等于上面两个无穷积分值之和

也就等于π

第四个例题

我们来判断一下

下面两个无穷积分的收敛性

在这两个无穷积分中

被积函数都与参数p有关

P的取值

对这个无穷积分的收敛性

是有影响的

所以我们在处理时

要讨论参数p的取值范围

我们先看第一个无穷积分

在第一个无穷积分中

如果参数p等于1

这个时候被积函数就是x分之1

根据无穷积分的收敛性定义

我们知道这时候x分之1

在1到正无穷

这个区间上的无穷积分

是发散的

如果参数p是大于1时

这时候这个被积函数

也是一个简单的幂函数

我们根据无穷积分收敛的定义

先来求这个函数

在1到A这个区间上的定积分

利用牛顿莱布尼兹公式

我们可以求得它的定积分

是1减p分之1乘上括号里面

A的p减1次方分之1再减去1

请大家注意p减1是大于0的

我们让A趋向正无穷

这个极限是等于p减1分之1

也就是说在p大于1时

这个无穷积分是收敛的

如果参数p是小于1

我们同样可以利用

牛顿莱布尼兹公式

求出这个变现定积分

函数的值的大小

请大家注意这个时候

A的p减1次方分之1里面

这个指数p减1是小于0的

那么在A趋向正无穷时

这个表达式它是一个正无穷大量

那么根据无穷积分收敛的概念

我们知道它是不收敛的

当无穷积分不收敛时

我们就说它是发散的

下面我们来看第二个无穷积分

在第二个无穷积分中

当参数p等于1时

我们利用无穷积分收敛性的定义

也是需要讨论

这个变现定积分函数

在上限趋向正无穷时的极限

是否存在

我们利用凑微分法

和牛顿莱布尼兹公式

能够得到这个

变现定积分函数的表达式

大家可以看到在A趋向正无穷时

它是正无穷大量

也就是说这个时候

这个无穷积分是发散的

如果参数p是大于1时

我们利用同样的方法也可以得到

这个时候这个变现定积分函数

它的表达式

请大家注意在表达式中

lnA括起来的p减1次方

这个时候p减1是大于0的

所以在A趋向正无穷时

这个表达式的极限是存在的

也就是说这个时候

这个无穷积分是收敛的

最后我们看一下p小于1时

这个无穷积分按照定义要考虑

这个变现定积分函数的极限问题

在我们利用牛顿莱布尼兹公式

得到的表达式中

这个时候lnA括起来的p减1次方

这个p减1是小于0的

所以说这个时候

这个表达式在A趋向正无穷时

它是个正无穷大量

也就是说这时候

无穷积分是发散的

在这个例题中

我们讨论的两个具体的无穷积分

是我们在判断一些

简单无穷积分的敛散性时

经常用到的作为参照物的

两个无穷积分

请大家熟悉它的敛散性

与参数p的它的取值范围的关系

事实上根据无穷积分收敛的概念

以及变现定积分函数它的性质

我们可以知道收敛的无穷积分

与我们前面学习过的定积分

有一些类似的性质

比如说收敛的无穷积分

有所为的线性运算性质

形式上看收敛的无穷积分

也有相应的换元积分公式

和分布积分公式

现在我们来看第五个例题

我们求函数x乘上1的负x方

在零到正无穷这个区间上

无穷积分的值的大小

我们知道在这个问题中

被积函数应该是典型的

可以用分布积分公式

处理的被积函数

所以说我们就利用

分布积分公式

把这个无穷积分

写成了两项作和差

第一项应该是

1到负x方的原函数乘上x

它在负无穷这点的值

减掉0这点的值

请大家注意

这个函数在负无穷这点的值

指的是当X趋向正无穷时

这个函数的极限值

第二部分是加上1的负x次方

在0到正无穷

这个区间上的无穷积分

这个被积函数

它是负的1的负x次方

乘上x的导数

再加上

分布积分公式中的负号得来的

而对于第二个无穷积分

我们可以求出被积函数的原函数

它应该就等于被积函数的原函数

在正无穷这点的值

减掉0这点的值

我们再重复一次

它在正无穷这点的值表示的是

x趋向正无穷时它的极限值

在这个题目的解答过程中

我们就是

形式的运用了无穷积分的

分布积分公式

这在处理具体的计算问题时

会使得问题变得简单

下面我们看第六道例题

我们求x平方分之1

乘上sinx分之1

在π分之2到正无穷

这个区间上的无穷积分值的大小

我们令x分之1等于t

那么dt与dx之间

就差了一个倍数关系

而且我们知道x等π分之2时

t等2分之π

x趋向正无穷时

t应该是趋向0的

所以我们形式的运用无穷积分的

换元积分公式

就将我们要求的无穷积分

转化成了sint在0到2分之π

这个区间上的定积分

我们利用牛顿莱布尼兹公式

就求得了最后的值的大小

是等于1的

第六道例题

我们用的就是

无穷积分的换元积分法