7.2.1 正项级数在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第七章无穷级数

第二节 正项级数

在学习了无穷级数的概念后

我们知道判断一个级数

是否收敛

是研究级数的首要问题

由于一般级数是否收敛

是不能直接通过

求部分和数列的极限来判断的

所以 我们就需要

寻找其他可行的判敛法

正项级数是一类简单的数项级数

本讲就介绍正项级数的概念

正项级数的比较判敛法

与积分判敛法

我们首先介绍正项级数的概念

和简单性质

我们直接给出正项级数的定义

定义3

如果an大于0

我们就称以an为通项的级数

为正项级数

根据正项级数的概念

我们直接可以得到

正项级数的两个简单性质

第一个性质

如果an大于0

那么以an为通项的正项级数的

部分和数列Sn就是单调递增的

第二个性质

如果an大于0

那么以an为通项的级数

收敛的充分必要条件就是

它的部分和数列有上限

也就是存在一个实数M

对所有的n都有Sn小于M

第二个性质是利用数列的

单调有界收敛定理

直接得到的一个结论

有了第二个性质之后

对于正项级数来说

我们要想判断它是否收敛

只要判断它的部分和数列

是否有上限就可以了

下面我们看一道例题

我们判断以n的平方分之1

做通项的正项级数是否收敛

我们知道在n大于1时

n的平方分之1

它是小于n乘n减1分之1

而n乘n减1分之1

我们是可以写成是n减n分之1

减去n分之1

这样我们就可以知道

这个正项级数的前n项和

也就小于第一项是1

第二项就放大成1减2分之1

一直到第n项

放大成n减1分之1减去n分之1

所以Sn就小于2减去n分之1

是小于2的

这样就证明了这个正项级数

它的部分和数列是有上限的

所以正项级数是收敛的

根据正项级数的这个性质

我们可以直接得到

正项级数常用的

一类简单的判敛方法

下面我们就介绍

正像级数的比较判敛法

首先给出比较判敛法的一般形式

定理5

我们假设an和bn

为通项的级数都是正项级数

而且在某一个N之后

an总是小于等于bn的

我们就能得到下面两个结果

如果以bn为通项的级数是收敛的

那么以an为通项的级数

也一定是收敛的

如果以an为通项的级数是发散的

那么以bn为通项的级数

也是分散的

通俗的说

正项级数的比较判敛法

给出的就是通项大的级数收敛

那么通项小的级数

自然收敛

通项小的级数发散

那么通项大的级数

自然是发散的

下面我们给出定理5的证明

不妨假设对所有的n

我们都有an小于等于bn

我们记An表示的

是以an为通项的级数的

部分和数列

Bn表示的是以bn为通项的

部分和数列

在给定条件下

我们知道数列

An与Bn都是单调递增的

而且他们对应的项

An是小于等于Bn的

因为如果以bn为通项的

级数收敛时

我们就知道

Bn这个数列是有上限的

根据上面的不等关系

我们自然就知道An这个数列

也是有上限的

这就说明以an为通项的正项级数

是收敛的

这样我们就证明了第一个结论

而第二个结论是

第一个结论的逆否命题

这两个结论是等价的

所以第二个结论

自然是成立的

下面我们利用比较判敛法

来处理几个具体的

正项级数的判敛问题

例2

我们判断下面

这个级数它的敛散性

这个级数的通项是

1除上n方加n再加上1

我们直接把通项的分母缩小

变成n的平方

那么这个正项级数的通项

就小于n方分之1

前面我们已经得到了以n方分之1

做通项的级数是收敛的

所以根据比较判敛法

我们就得到了

我们要判断敛散性的级数

它是收敛的

例3

我们判断下面这个级数的敛散性

这个级数的通项

是n的p次方分之1

其中p是大于0 小于1的

在p大于0 小于1的条件下

我们知道n的p次方分之1

是大于n分之1的

前面我们已经知道了

调和级数是发散的

所以根据比较判敛法

我们就得到了

n的p次方分之1的p

大于0小于1时

它对应的级数是发散的

在微积分中

以n的p次方分之1

做通项的级数

我们一般的称它为p级数

关于p级数的敛散性结论

我们可以证明在p小于等于1时

p级数是发散的

在p大于1时 P级数是收敛的

下面我们来看例题4

我们判断以n的阶乘分之1

做通项的级数

它的敛散性

当n大于等于2时

我们知道n的阶乘分之1

它是小于n乘上n减1分之1

前面我们已经知道

n乘n减1分之1做通项的级数

它是收敛的

所以以n的阶乘分之1

做通项的级数

也是收敛的

在这个例题中

请大家注意

n乘n减1分之1做通项的级数

我们的n是从2开始的

所以说利用比较判敛法

我们直接得到的是

n的阶乘分之1

做通项的级数

n从2开始它是收敛的

前面我们又介绍了

一个级数的敛散性

与任意有现象的值是无关的

所以我们就得到了

以n的阶乘分之1

做通项的级数

对n从一开始它也是收敛的

第5道例题

我们判断下面

这个级数它的敛散性

这个级数的通项

是n减1除上n的3次方

减n再减去1

我们为了利用比较判敛法

我们对这个技术的通项

做了适当的放缩

在n大于1时

我们把这个通项的分母变小

也就是将最后这个1

变大到n减1

那么 分母就变小

整个分数就变大

也就是我们将这个通项

直接放大到n减1

除上n的3次方减n

再减去括号里面n减1

上下把n减1消掉

它就等于1除上n的平方

加n再减去1

我们再进一步

对这个分数分子变小

也就是把它放大到

n的平方分之1

我们知道n的平方分之1

是收敛的

所以根据比较判敛法

我们就得到了

我们要判敛的级数的

敛散性结论是

它是收敛的

关于比较判敛法

我们需要说明的是

在适用比较判敛法时

我们总是需要证明

一些适当的不等式

也就是要对判敛的

正项级数的通项

做适当的放大和缩小

这也是我们能否

用好比较判敛法的关键

也是利用比较判敛法

判断正项级数

收敛和发散时它的困难所在

在某些正项级数中

为了回避不等式的放缩问题

我们可以借用极限形式

这就是下面

我们要介绍的

比较判敛法的极限形式

定理6

我们假设an和bn为通项的级数

都是正像级数

而且an比上bn

它的极限是等于L的

我有我们有下面三个结论

如果L是大于0

小于正无穷的

那么以an和bn为通项的

这两个正项级数

它就具有同样的敛散性

也就是说要么同时收敛

要么同时发散

第二个结论如果极限L等于0

而且以bn为通项的

级数是收敛的

那么以an为通项的

级数也是收敛的

这个结论直观的讲

极限等于0时

说明在n充分大时

an是远远小于bn的

那么 以bn为通项的级数收敛

以an为通项的级数

自然也应该收敛

第三个结论

如果极限等于0

而且以an为通项的

级数是发散的

那么 以bn为通项的级数

也是发散的

实际上第三个结论

可以由第二个结论直接得到

下面 我们来证明

比较判敛法的极限形式

我们只证明第一个结论

因为an比上bn

它的极限是等L

根据极限的保号性质

我们知道当n足够大时

an比上bn

它一定是介于2分之L

和2分之3倍的L之间

因为bn是大于0的

也就是说an一定是介于

2分之L乘上bn

和2分之3倍的L乘上bn之间

在这个不等式中

我们利用左边的不等号

根据比较判敛法

我们就知道

以an为通项的级数收敛时

那么以2分之L

乘上bn为通项的

级数也是收敛的

再利用收敛级数的

数乘运算性质

我们就得到了

以bn为通项的级数

它的收敛性

我们利用这个不等式中

右边这个不等号

我们就会得到

在bn为通项的级数收敛时

那么以an为通项的级数

也是收敛的

这样我们就证明了在给定条件下

两个级数同时收敛

或者是同时发散

在比较判敛法的极限形式中

我们将bn比作是p级数的通项

也就是bn等于n的p次方分之1

就会得到我们常用的

比较判敛法的一个特殊情况

也就是我们所谓的比阶形式

定理7

我们假设an是大于0的

而且an比上n的p次方分之1

它的极限等于L

那么当L大于等于0

小于正无穷时

如果p是大于1的

那么以an为通项的级数

就是收敛的

如果我们的L是大于0

小于等于正无穷的

而且p是小于等于1的

我们就会知道

以an作通项的级数

一定是发散的

比阶形式也就是说

对正项级数来说

它是否收敛

主要就是看它的通向

趋向0的速度

如果从无穷小的

阶的角度来看

当通项的阶大于1时

它一定是收敛的

而当通项的阶小于等于1时

它一定是发散的

所以定理7给出的方法

我们就形象的把它称作是

比阶判敛法

下面我们来看几道例题

例6

我们判断以根下n方减1分之1

作通项的级数它的敛散性

关于这个级数

我们可以直观的看出它的通项

与n分之1

应该是等价的

所以我们就可以

这样来解答这个问题

说因为这个级数的通项

比上n分之1

在n趋向无穷时

它的极限值是等于1的

而且以n分之1做通项的级数

也就是调和级数

它是发散的

所以我们这个级数

也是发散的

下面看例7

我们判断以

sin n分之1做通项的

级数的敛散性

与例6类似

这个正项级数它的通项

应该与n分之1是等价的

所以我们可以这样来说明

它的敛散性结论

因为sin n分之1

比上n分之1

在n趋向无穷时的极限

也就等于sin x比上x

在x趋向0时的极限

这是我们学过的一个重要极限

它应该等于1

而且我们知道

以n分之1作通项的级数

它是发散的

所以以sin n分之1

作通项的级数也是发散的

例8

我们判断以ln n除上

n的3次方做通项的级数

它的敛散性

在这个级数中它的通项

我们知道它应该

比n的3次方分之1

是低阶的

但考虑到ln n它的特点

我们应该判断出

这个正项级数的通项

它的阶应该是

比n的平方分之1高阶的

有了这些判断之后

我们可以这样来处理

这个级数的敛散性

因为这个级数的通项

除上n的平方分之1

在n趋向无穷时的极限

也就等于x趋向正无穷时

ln x比上x的极限

我们用一次洛必达法则

就会知道这个极限值是等于0的

而且我们还知道

以n的平方分之1做通项的级数

它是收敛的

所以我们就得到了

所以我们就得到了

以n的3次方分之ln n

做通项的级数

也是收敛的

例9

我们判断以1减cos n分之1

做通项的级数的敛散性

对于这个正项级数来说

我们知道1减cosx除上x平方

在x趋向0时的极限

应该是2分之1

所以我们能够直观的想到

这个正项级数的通项

与n的平方分之1

是同阶的

所以我们可以这样

来书写这个求解过程

因为1减cos n分之1

除上n的平方分之1

在n趋向无穷时的极限

等2分之1

而且以n的平方分之1

做通项的级数

是收敛的

所以我们就得到了

以1减cos n分之1

做通项的级数

它也是收敛的

通过上面几道例题

我们可以进一步体会到

比较判敛法就是将

需要判敛的级数

与我们已经知道

敛散性的级数做比较

在利用比较判敛法的思想时

除了和已经知道敛散性的级数

作比较之外

有时候我们还可以用

知道敛散性的反常积分

作为比较的对象

如果利用反常积分

作为比较的对象

得到的就是我们下面

要介绍的积分判敛法

下面我们介绍

正项级数的积分判敛法

定理8

假设连续函数fx

是区间1到正无穷上的

单调下降的正函数

an就等于fx在n这点的函数值

那么以an为通项的级数的收敛性

与fx在1到正无穷上

这个反常积分的收敛性

是一致的

也就是说这个级数

与这个反常积分

要么同时收敛

要么同时发散

下面我们给出定理8的证明

我们知道条件说

fx是一个单调下降的正函数

那么对于任意的正整数k

fx在k到k加1上的定积分

就应该大于fk加1

在这个区间上的定积分

就小于fk在这个区间上的定积分

这是用的定积分的比较定理

fk加1

在这个区间上的定积分

就等于fk加1

类似的fk

在这个区间上的定积分

也就等于fk

这样我们就得到了

对任意的正整数k

ak加1就小于等于fx

从k到k加1的定积分

也就小于等于ak

我们对两边求和

就会得到Sn也就小于等于

a1加上fx在1到n上的定积分

这个不等式得出

是利用了a2 a3一直到an

分别小于等于

相应区间上的定积分

然后又利用了

定积分的区间可加性得到的

类似的a1加上

fx在1到n上的定积分

也就小于等于a1加上Sn减1

这个不等号我们利用的是

1到2上的定积分

是小于等于a1的

2到3上的定积分

是小于等于a2的

这样我们就得到了

关于这个变限定积分

与这个基数部分和

数列的大小关系

在这个不等式中

我们利用左边的不等号

就会知道如果反常积分

是收敛的

那么这个级数就是收敛的

而利用这个不等式中

右边的不等号

我们就会知道如果级数是收敛的

反常积分自然也是收敛的

这就证明了

级数与相应的反常积分

要么同时收敛

要么同时发散

下面我们利用积分判敛法

来处理几道具体的题目

例10

我们研究p级数

它的敛散性结论

我们考虑相应的反常积分

被积函数就是x p次方分之1

积分区间是1到正无穷

关于这个无穷积分

在我们介绍

无穷积分的敛散性时

我们曾得到了

它的敛散性结论

也就是说

在p大于1时

这个反常积分是收敛的

在p小于等于1时

这个反常积分是发散的

当时得到这个结论的方法

利用的就是反常积分收敛的概念

我们下面复习一下

也就是说在p大于1时

xp次方分之1移到

正无穷上的无穷积分

按照定义应该等于xp次方分之1

在1到B上的变限定积分

在limb趋向正无穷取极限

我们知道在p大于1时

1减p是小于0的

所以当b趋向正无穷时

b的1减p次方是趋向0的

这样就说明了这个变上限定积分

在b趋向正无穷时

极限存在

也就是说在p大于1时

xp次方分之1

在1到正无穷上的无穷积分

是收敛的

当p小于等于1时

证明的方法是类似的

这样我们根据积分判敛法

就得到了在p大于1时

p级别是收敛的

而在p大于0 小于等于1时

p级数是发散的

例11

我们判断以1除上n乘上lnn

作通项的级数它的敛散性

对于这个级数

我们考虑下面这个反常积分

被积函数是1除上x乘lnx

基本区间是2到正无穷

我们做一个变量替换

也就令u等于lnx

那么我们考虑的反常积分

就变成了u分之1

在ln2到正无穷上的反常积分

在这个新的反常积分里面

它的原函数

大家是可以直接得到的

那么相应的变限定积分

大家利用牛顿莱布尼兹公式

自然可以求出来

这样我们就可以验证

这个新的反常积分是发散的

也就是说我们考虑的

这个反常积分

它是一个发散的反常积分

那么根据积分判敛法

我们考虑的级数

自然也是一个发散的级数

关于积分判敛法

我们主要是利用

一致敛散性的反常积分

作为比较的对象

来判断正像级数的敛散性结论

反常积分除了可以用来

判定级数的收敛性之外

有时候我们还可以利用反常积分

来估计级数的部分和

与级数和之间的误差

一般的我们仍然可以假设

连续函数fx是区间

1到正无穷上的

单调下降的正函数

我们用Rn来表示级数的和

与它的前n项和之间的差

这个差也就等于

a n加1加a n加2

这样一直加进去

我们再假定an

就等于fn的前提下

前面我们已经证明了an加1

是大于等于fx

在n加1到n加2上的积分

它又小于等于

fx在n到n加1上的积分

这样我们就得到了

x减掉xn这个差

也就是Rn

它应该就大于等于fx

在无穷区间n加1

到正无穷上的积分

小于等于fx在无穷区间

n到正无穷上的积分

这样就得到了

这个误差的一个估计式

对于具体的被积函数fx来说

我们就可以求出这个范围的大小

下面我们就看一个具体的例子

例12

我们用积分的部分和

来估算下面这个级数的和

这个级数的通项是n个平方分之1

如果我们需要保证

误差不大于0.001

那么我们要至少取多少项

才能达到这个要求

在这个具体的问题中

根据我们前面得到的结论

我们知道x减掉xn

也就是Rn

它应该是大于0

小于等于x平方分之1

在n到正无穷上的无穷积分

这个无穷积分

我们是可以求出来的

它就等于n分之1

也就是这个误差

是小于等于n分之1的

所以我们只要

n分之1不超过0.001

也就是n只要不小于1000

我们就能保证

误差不大于0.001

也就是说我们

只要在这个级数中

取它的前一千项加起来

它就可以很好的

近似这个技术的和

在这一讲中

我们介绍了正项级数的概念

由于正项级数的部分和数列

是一个单调递增数列

所以正项级数收敛

就等价于部分和数列有极限

比较判敛法与积分判敛法

都是在给定的条件下

通过判断正项级数的部分和数列

是否有界

给出了是否收敛的结论

比较判敛法

是利用已知敛散性的正项级数

来说明其他正项级数的敛散性

比较判敛法的极限形式

尤其是比阶形式

是判断简单正项级数

敛散性的常用方法

积分判敛法将级数收敛性

与无穷积分的收敛性

联系在一起

利用连续方法来处理离散问题

是处理某些

特殊的正项级数

敛散性的有效方法

下一讲将介绍

正项级数的比值判敛法

与根式判敛法

谢谢同学们

下一讲 再见