4.10.1原函数与微分方程初步(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第十节

原函数与微分方程初步

我们知道如果

已知距离和时间的关系

我们要求物体的运动速度

就是要求距离关于时间的导数

反过来

如果我们已经知道了

在每个时刻物体的运动速度

我们要求从时刻A到时刻B

物体走过的距离

也就是要求一个距离函数

S等S(t)使得

S的导数等于物体的运动速度v(t)

如果这样我们就知道

S在B这点的值减掉S在A这点的值

就是我们要求的物体的运动距离

本节将从微分运算的逆运算入手

引入原函数与不定积分的概念

介绍不定积分的简单性质

并介绍微分方程的基本概念

和一类基本的

一阶微分方程的求解方法

本讲将介绍

原函数与不定积分的概念和性质

我们下面介绍原函数的概念

我们知道在初等数学中

我们已经接触过

许多互为逆运算的运算

比如说加法和减法

乘法和除法

以及数的乘方和开方

还有指数与对数

这些都是互为逆运算的运算

函数的原函数

是通过考虑函数的微分运算

它的逆运算得到的

问题就是我们要求一个

未知函数使得

这个未知函数的导函数

恰好是一个给定的函数

下面我们给出原函数的定义

定义8

我们假设函数f(x)

在区间I上有定义

如果存在一个函数F(x)

使得对于I中的任意一点

都有F(x)在这一点的导数

正好等于f(x)

在这一点的函数值

我们就称F(x)是f(x)

在I上的一个原函数

从原函数的定义我们可以看出

一个函数在一个区间上

如果是另外一个函数的原函数

也就是说

这个函数在这个区间上

每一点都存在导数

而且他在每一点的导数值

正好等于另外一个函数

它的函数值

下面我们来看两个例题

例1

我们求函数f(x)等cosx

在负无穷到正无穷上的一个原函数

我们知道在负无穷到正无穷内

sinx的导数是等于cosx

所以根据原函数的概念

我们就知道

F(x)等sinx是cosx

在负无穷到正无穷上的

一个原函数

根据导数的运算我们知道

常数的导数等于0

所以sinx加上1

或者是sinx加上一个常数C

也是cosx的原函数

下面我们看第二个例题

我们假设f(x)是一个分段函数

他在x大于等于0时

函数值就等于sinx

而在x小于0时

它的函数值就是x

我们求这个分段函数

在负无穷到正无穷上的

一个原函数

我们知道在x大于0时

因为-cosx的导数就是sinx

所以说在x大于0时

负的cosx

加上常数C1

他的导数就是sinx

而在x小于0时

1/2倍的x平方

加上一个常数C2

它的导数就是x

也就是说

我们得到了一个分段函数F(x)

这个分段函数

在负无穷到0并上

0到正无穷这个范围上

他满足F的导数就等于f(x)

但是我们的题目要求的是

在负无穷

到正无穷上的一个原函数

也就是说F(x)在x等于0这点

他应该是可导的

而且导数值就应该等于

f(x)在0这点的函数值

也就是0

下面我们来看

怎么确定一个函数在0这点

满足我们要求的条件

F(x)要想在x等于0这点可导

他必须在x等于0这点是连续的

也就是他在x等于0这点的

左极限和右极限应该是相等的

因为F在0这点的右极限

是等于-1加上C1的

F在0这点的左极限是等于C2的

所以令左右极限相等

我们就知道C1是等于C2加1的

我们取C2等于0

C1就等于1

这时候我们就得到了

一个新的分段函数

在x大于等于0时

它的函数值就是-cosx加1

而在x小于0时

他的函数值就是1/2倍的x的平方

对于这个新的分段函数

我们知道

他在负无穷到0并上0到正无穷

这个范围上

他满足它的导数就等于f(x)

而且利用导数定义

我们也可以证明

这个新的函数也就是G(x)

在0这点的左导数

和在0这点的右导数

都是等于0的

也就是说

这个新的函数

他在0这点的导数值是等于0

就等于f(x)在0这点的值

这样我们也就证明了

这个新的分段函数

G(x)就是f(x)

在负无穷到正无穷上的一个原函数

下面我们来看一下

原函数的存在性

以及原函数的构造

我们要考虑的问题

也就是我们

有了原函数的概念之后

我们现在关心的问题是

什么样的函数他是存在原函数的

当函数存在原函数时

我们怎么样把他的所有原函数

表示出来

关于原函数的存在性

我们给出一个结论

也就是定理16

如果函数f(x)在区间I上是连续的

那么f(x)在区间I上

就一定存在原函数

也就是存在一个函数F(x)

使得F(x)的导数等于f(x)

对于x属于区间来说都是成立的

这个定理的证明

在后面介绍定积分内容时

我们会给出严格的证明

这个定理就说明了

我们在微积分中

处理的常见函数

他都是存在原函数的

因为我们在微积分中

碰到的函数基本都是连续函数

这个定理也就说明

我们碰到的一般函数

它的原函数都是存在的

下面我们来看一下怎么样表示

一个函数它的所有原函数

定理17

我们假设F(x)是

f(x)在区间I上的一个原函数

那么就有下面两个结论

第一个结论

也就是说F(x)加上一个常数C

也是f(x)在区间I上的原函数

第二个结论

也就说明f(x)在这个区间上的

所有原函数

都可以用它的一个原函数

加上任一个常数的形式表示出来

下面我们给出定理17的

一个简单证明

根据原函数的概念我们知道

F的导数是等于f的

利用导数的运算公式我们知道

F(x)加C它的导数

也就等于F的导数

也就等于f

所以根据原函数的概念

我们知道F(x)加上C

就是f(x)在区间上的原函数

下面我们来看一下

第二个结论的证明

我们假设G(x)是f(x)

在区间上的另外一个原函数

根据导数运算和原函数的概念

我们就知道F(x)

减G(x)它的导数

就等于F的导数减掉G(x)的导数

也就等于f(x)减去f(x)

所以说F减掉G的导数就恒等于0

我们知道在一个区间上

导数等于0的函数就是常函数

所以F(x)减去G(x)

就等于常数C0

这就证明了f(x)

在区间I上的

任意两个原函数之间

至多相差一个常数

有了定理17之后

这样我们知道

如果f在区间上有一个原函数F

那么它就一定有无穷多个原函数

而且他的无穷多个原函数

都可以用F(x)加C表示出来

有了原函数的概念之后

下面我们来介绍

函数不定积分的概念

我们首先给出不定积分的定义

定义9

我们假设F(x)是函数f(x)

在区间I上的一个原函数

我们就称f(x)的所有原函数

也就是F(x)加C

是f(x)在区间I上的不定积分

记作f(x)的不定积分

也就是f(x)的不定积分就等于

f的一个原函数F(x)

加上任意常数C

在这个等式中

我们的运算符就称为不定积分号

f(x)就称为被积函数

而不定积分号下面的表达式

f(x)dx就称为是被积表达式

x称为是积分变量

C在这个等式里面称为是积分常数

从不定积分定义

我们可以看出不定积分

实际上是函数的

所有原函数的另外一个称呼

而不定积分这个等式成立

也就是说F(x)它的导数

就是等于f(x)

一般的如果F(x)

是f(x)的一个原函数

我们也会称y等F(x)这条曲线

是函数f(x)的一条积分曲线

如果我们将这条积分曲线

沿着y轴的方向任意平移

我们就会得到

f(x)的无穷多条积分曲线

这些积分曲线构成一个曲线族

也就是y等F(x)加C

这个曲线族我们就称作为是

f(x)的积分曲线族

函数f(x)的积分曲线组

他的一个明显的几何特征就是

当横坐标相同时

积分曲线组中的所有积分曲线

在相应点的切线斜率是相等的

也就是说这些切线

就是一组平行直线

下面我们来看两道例题

例3

我们证明lnx的不定积分

就等于x乘上lnx减去x再加上C

根据不定积分的概念

我们知道

要证明这个等式

也就等价于证明x乘上lnx减掉x

它的导数就是x的自然对数

利用导数运算公式

我们知道x乘上lnx减去x的导数

就等于x求导lnx不动

再加上x不动lnx求导

再减去x的导数

也就等于lnx

所以我们要证明的

不定积分等式是成立的

下面我们看第四个例题

我们知道f(x)乘上

e的x平方次方

它的不定积分是等于

负的e的x平方次方加上C

我们求函数f(x)的表达式

我们知道f(x)乘上e的x平方

它的不定积分等于

负的e的x平方次方加上C

也就是说

负的e的x平方次方的导数是

被积函数f(x)乘上

e的x的平方次方

也就是f(x)乘上e的平方次方

等于负的两倍x乘上e的x平方次方

从这个等式

我们就得到

我们要求的函数的表达式

就是负的两倍x

下面我们来看第五道例题

我们求幂函数x的α次方

它的不定积分

做这个题目我们也就是要求

一个函数使得他的导数

是等于x的α次方

根据我们前面学过的

积分导数公式

我们知道x的α加1次方

乘上1/α加1

它的导数是等于x的α次方的

所以我们要求的

x的α次方的不定积分就等于

x的α加1次方乘上

1/α加1再加上常数C

下面我们来看第六道例题

我们假设曲线

y等f(x)上的任意一点

(x,y)处的切线斜率

是3倍的x平方

而且假设这条曲线

是经过点(1,2)的

我们求f(x)的表达式

我们根据导数的几何意义

我们就知道

这个函数f(x)的导数

是等于3倍的x平方

也就是说我们的问题就变成了

要求一个函数使得

这个函数的导数

是等于3倍的x平方

所以我们要求的f(x)就是

3倍x平方的不定积分

我们知道x的三次方的导数

是等于3倍x的平方的

所以f(x)就等于

x三次方加上常数C

由于曲线是过点(1,2)的

也就是说x等于1时

函数值是等于2的

这样我们就得到了C等于1

所以我们求的f的表达式

就是x的三次方加上1

下面我们来看第7道例题

我们假设运动物体

它的运动速度V是等于10倍t

长度单位是米

时间单位是秒

我们求这个物体

从0时刻到t等10

这段时间走过的距离

我们知道5倍的t的平方

它的导数是等于10倍t的

而根据导数的物理意义

我们知道速度

就是距离关于时间的导数

所以我们就求出了

这个运动物体它的运动距离

与时间的关系

也就是S(t)等于

5倍的t的平方加上常数C

这样我们就知道

从0时刻到t等于10秒这段时间

走过的距离就是

S在10这一点的值减掉

S在t等于0这一点的值

也就等于500

下面我们来看一下不定积分

它的运算性质

我们知道

根据不定积分的定义

我们可以将不定积分号

理解成是一种新的运算

下面我们就介绍

不定积分运算的性质

我们利用导数

或者是微分的运算法则

我们可以得到

不定积分有下面几条运算性质

第一条我们假设

k是不为零的常数

那么我们就会得到

k乘上f(x)的不定积分

就等于f(x)的不定积分乘上k

也就是说

可以把不定积分号里面的常数

直接提到不定积分号外面

这个性质

也就是说

如果f(x)存在原函数

那么对于常数k来说

k乘上f(x)也存在原函数

而且这两个函数的原函数之间

存在这么一个等式关系

下面我们看第二条性质

f(x)加上g(x)它的不定积分

就等于f(x)的不定积分

加上g(x)的不定积分

这个性质也就是说如果

f(x)和g(x)都存在原函数

那么他们的和函数

也是存在原函数的

而且他们的原函数之间

存在对应的等式关系

不定积分的第一条性质

和第二条性质合在一起

我们一般叫做

不定积分的线性运算性质

下面我们看第三个性质

f(x)它的不定积分求导

就等于f(x)

写成微分形式

也就是f(x)的不定积分求微分

就等于f(x)乘上dx

下面我们看第四条性质

第四条性质是说

F它的导数它的不定积分

就等于F(x)加上C

不定积分的第三条性质

和第四条性质

实际上就是说

对函数先做积分后求导

或者是后求微分

以及对函数先求导后取积分

在微分意义下他是不变的

不定积分的运算性质(3)

和运算性质(4)

就说明了我们的不定积分运算

和前面介绍的导数运算

或者是微分运算是一对逆运算

所以在处理有关问题时

如果要把求导运算

或者是微分运算

将他们的运算符号去掉

我们就做积分

而如果要将积分运算去掉

我们就做求导

有了不定积分的基本运算性质

以后我们为了求

简单函数的不定积分

还需要记住一些基本的积分公式

下面我们来介绍一下需要记住的

基本积分公式

我们列成一个基本积分表的形式

在这个基本积分表里面

需要大家记住的

就是k的原函数是kx

x的α次方的原函数

在α不等于-1时

是x的α加1次方

再乘上1/α加1

1/x的原函数是

x绝对值的自然对数

而指数函数a的x次方的原函数

在a不等于1时

是a的x次方再乘上1/lna

在a等于e时

就是e的x次方的原函数

就是e的x次方

类似的我们可以记得

sinx的原函数是-cosx

cosx的原函数是sinx

而正割的平方

它的原函数就是正切

余割的平方

它的原函数是负的余切

而正割乘上正切的原函数是正割

余割乘上余切的

原函数是负的余割

1加x方分之一的

原函数是arctanx

而根下1减x方分之一

它的原函数是arcsinx

基本积分表实际上就是把

我们在介绍导数运算时

基本初等函数的导数公式

根据不定积分的概念

我们给他反过来记

所以说基本积分表实际上就是将

基本求导公式反过来记

这就是在求简单不定积分时

我们需要记住的

一些基本积分公式

最后我们在看几道例题

例8我们求

3倍的cosx减去

2倍x的不定积分

我们利用不定积分的

线性运算性质

就将我们要求的不定积分

表示成了cos的不定积分乘上3

再减去x的不定积分乘上2

因为cos的原函数是sinx

而x的原函数是1/2倍的x平方

所以我们要求的不定积分就等于

3倍的sinx减去

x的平方再加上常数C

第九个例题

我们求cos方x/2的不定积分

我们利用倍角公式

将cos方x/2化作1/2倍的

括号里面1加上cosx

我们要求的不定积分就写作

1的不定积分

加上cos的不定积分

括起来再乘上1/2

所以我们要求的

不定积分也就等于1/2倍的

括号里面x加上sinx

再加上常数C

下面我们来看最后一道例题

在x大于0时

我们求x乘上1加x分之一

它的不定积分

我们将x乘上1加x分之一

给他写成1/x减去1/1加x

所以我们要求的不定积分

就等于lnx再减去ln(1加x)

再加上常数C

通过这几个简单的例题

我们可以看出

求简单函数的不定积分

我们就是要

对被积函数进行适当的变形

将他们变成是

基本积分公式里面的被积函数

然后写出它们的不定积分

一般的求不定积分的方法

在后面的有关章节中

我们再做进一步的介绍

在这一讲中我们介绍了

原函数的概念

给出了连续函数

存在原函数的结论

得到了函数在一个区间上

所有原函数的表示

引入了不定积分的概念

说明了积分曲线的性质

列出了不定积分的运算性质

和常用的不定积分公式

原函数和不定积分

是函数的微分学概念

强调的是函数

在某个区间上的性质

是利用微分运算

刻画的函数的一种整体性质

熟记常用的基本积分公式

了解一些常用的变形方法

是求不定积分的关键

利用积分运算与微分运算

是一对逆运算的关系

我们可以处理

一些已知未知函数的导数

满足的等式

来求未知函数的问题

这就是下一讲要介绍的

微分方程问题