3.3.3 反函数求导法在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第三章 导数与微分

第三节 导数的运算

可导函数f(x)存在反函数时

他的反函数是否可导

反函数与函数

在相应点导数值

有什么关系

在这一讲中

我们将要介绍

可导函数

它的反函数的可导性结论

以及反函数与函数

在相应点的导数值之间的关系

下面

我们来介绍一下

反函数的求导公式

我们直接给出

反函数求导法的结论

我们假设

函数f和g互为反函数

如果我们知道

f(x)在x0点的导数存在

而且导数值不等于0

我们的结论是

它的反函数g(y)

在对应的点y0处可导

而且反函数在y0这点的导数值

就等于f在相应点导数值的倒数

在这儿

y0就是f(x)在x0这点的函数值

好 下面我们给出这个结论的证明

我们要求

反函数在y0点的导数

也就是要求

反函数在y0这一点

函数值的改变量

与自变量改变量比值的极限

我们记x就是反函数

在y这点的函数值

也就是y是f(x)

在x这点的函数值

因为g(y)减掉g(y0)

除上y减y0也就等于

x减x0除上f(x)减f(x0)

而且根据反函数的概念

我们知道

当y不等于y0时

反函数对应的函数值

x也不会等于x0

所以

上面的表达式

我们又可以写做

g(y)减掉g(y0)除上

y减y0也就等于

1除上f(x)减掉f(x0)

除上x减x0

因为f(x)在x0这一点是可导的

所以它是连续的

我们知道

函数在一点连续

那么他的反函数

在相应的点也是连续的

也就是说g(y)在y0这点是连续的

所以y趋向y0时

g(y)他是趋向y0的

也就是y趋向y0时

x是趋向于x0的

这样我们就得到

g(y)减掉g(y0)

比上y减y0在y趋向y0时的极限

也就等于

f(x)减掉f(x0)除上x减x0

在x趋向0时的极限

它的倒数

根据条件我们知道

这个值就是f'(x0)分之1

这样我们就证明了

函数在一点可导而且导数不等0时

它的反函数在相应的点也是可导的

而且两个函数在相应点的导数值

是互为倒数关系的

事实上

函数与反函数

它们的导数之间的关系

我们也可以从几何上进行解释

请大家看一下图

我们知道

函数y等f(x)

与它的反函数y等g(x)的

图像关于直线y等x是对称的

所以y等f(x)这条曲线

在x0 y0这点的切线

与y等g(x)这条曲线

在点(y0,x0)处的切线

也是关于直线y等x对称的

这样我们从几何上就可以得到

这两条切线的倾斜角加起来

要么等于2分之π

要么等于2分之3π

无论哪种情况

我们知道

这两个倾斜角的正切值

是互为倒数关系的

根据导数的几何意义

我们就知道

着两条切线它的斜率就是

f'(x0)与g'(y0)

是互为倒数的

这就是函数与反函数导数之间的关系

关于函数与它反函数的导数关系

我们在处理具体的导数运算时

经常利用反函数的概念

也就是g(f(x))等于x这个等式

我们假设f(x)

与它的反函数g都存在导数

那么利用复合函数的链导法则

我们在等式两端关于x求导

就能得到g在相应点的导数值

乘上f在相应点的导数值

是等于1的

这样我们就得到了

函数与它反函数导数之间的关系

当然

这个计算是在假设导数存在的前提下

利用复合函数的链导法则得到的结果

这种求导运算

不能作为我们反函数求导法的证明

因为我们反函数求导法中

不仅要得到反函数导数值的大小

而且我们要证明

反函数在相应的点

导数是存在的

下面

我们处理几个具体的题目

例1

我们求y等于arcsinx

和y等于arctanx的导数

也就是要求

反正弦函数与反正切函数的导数

对于反正弦函数来说

我们知道x是等于siny的

所以y关于x的导数

就等于x关于y的导数的倒数

也就是等于siny的导数的倒数

就是cosy分之1

因为

对反正弦函数来说

y的取值范围

是介于负π/2和π/2之间

这时候余弦是大于0的

所以cosy我们可以写成

根下1减sin方y

而siny是等于x的

所以我们就得到了反正弦函数的导数

就是根下1减x方分之1

对于反正弦函数来说

我们知道y等于arctanx

也就是x等于tany

那么y关于x的导数

就等于tany导数的倒数

也就是sec方y分之1

因为正割的平方可以

写成1加正切的平方

所以我们最后的结果

反正切函数的导数

就等于1加x平方分之1

利用同样的方法

我们可以求得反余弦函数的导数

是负的根下1减x方分之1

而反余切函数的导数

就等于负的1加x平方分之1

也就是说

反余弦函数他的导数

跟反正弦函数它的导数

是互为相反数

而反余切函数的导数

与反正切函数的导数

也是互为相反数

下面我们看第二道例题

我们求以a为底的对数的导数

我们知道y等于log

以a为底x的对数

也就是说x是等于a的y次方

那么y关于x的导数

就等于a的y次方

关于y的导数的倒数

那么根据指数函数的导数公式

我们就会得到

以a为底x对数它的导数就等于

1除上x乘上lna

前面我们已经介绍了

导数运算的四则运算法则

复合函数的链导法则

和反函数的求导公式

有了这三个求导法则

利用导数定义

和相应的求导法则

我们就得到了

六类基本初等函数

它的导数公式

这也是我们在微积分里面

做导数运算时

所谓的基本导数公式

我们看一下具体的基本导数公式

在这儿

基本导数公式

指的就是基本初等函数的导数公式

我们知道利用导数定义

就可以求得

常函数的导数等于0

而在前面的例题中

我们已经求出了幂函数的导数

就等于α乘上xα减1次方

指数函数的导数

我们是可以用导数定义求得的

也就是a的x次方的导数

就等于a的x次方乘上a的自然对数

特别的e的x次方他的导数

就等于e的x次方

刚才我们在例题中已经得到了以a为底

x的对数的导数公式

相应的自然对数的导数

我们也就知道了

在前面的例题中

我们已经得到了对数的求导公式

而三角函数的导数

正弦 余弦我们是用定义求得的

正切 余切以及正割 余割

它的导数公式我们是利用

四则运算得出的

反三角函数的导数

我们是利用反函数的求导公式

以及三角函数的导数公式得出的

这样

我们就得到了

我们在导数运算中

需要经常使用的一些

简单函数的导数公式

在做导数运算时

请同学们要熟练准确的

记住这些导数公式

并且熟练准确的应用我们前面介绍的

和差积商的求导公式

复合函数的链导法则

和反函数的求导公式

在这一讲中

我们介绍了反函数的可导性结论

和他的导数计算公式

给出了导数运算中常用的基本导数公式

至此 初等函数求导运算中

需要的求导法则

我们就介绍完了

利用他们以及基本导数公式

就可以求得所有初等函数的导数

在下一讲中

我们将处理

几类特殊函数的求导问题

谢谢同学们

下一讲 再见