8.4.1 常系数微分方程简单应用举例(1)慕课视频播放-微积分（先修课）-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第八章

常微分方程

第四节常微分方程简单应用举例

微分方程理论

就是在解决实际问题的过程中

建立起来的

在早期研究的主要是

曳物线悬链线等几何问题

或者是弹性问题单摆问题

弦振动问题等物理问题

也曾经研究过二体问题

三体问题等天文学中的问题

现在除了传统的自然科学领域

在生命科学经济学社会学等领域

微分方程也有着简单的应用

在这一讲中

我们将介绍微分方程应用的

两个简单但又经典的例子

下面我们首先来看曳物线问题

所谓曳物线指的是在xOy平面上

我们有一根长度为一个单位的细绳

是位于x轴的区间01上

在x等1的一端

我们系一个质量是m的小物体

然后我们让细绳的另外一端

沿着y轴的正方向移动

那么质量为m的物体

它的移动轨迹

就是所谓的曳物线

下面我们来求曳物线的方程

我们看一下下面这个图

在这个图上我们将细绳的两个端点

分别记作是P和Q

开始时P在原点

Q为x等1处

当P点沿着y轴向上移动时

我们假设Q点的轨迹

也就是曳物线的方程就是y等于yx

为了求出曳物线的方程

我们假设Q点在运动过程中

任意时刻的位置是xy

在相应时刻

P点的坐标

我们假设为0 Y

因为PQ线段的长

永远是等于1的

根据两者件的距离公式

我们就得到了x方加上y减Y的平方

应该等于1

也就是y减Y应该等于负的根下1减x方

我们为了得到x和y的关系

我们注意到根据曳物线的概念

我们知道在运动的过程中

PQ的方向永远都是曲线y等于yx

在xy这点的切线方向

我们根据导数的几何意义

以及直线的斜率公式

我们就知道y关于x的导数

也就是dy dx

就应该等于y减去Y除上x

也就是直线上两点间纵坐标差

比上这两点的横坐标差

这样我们就得到了曳物线

它的方程满足的一个简单微分方程

就是dy dx

等于负的根下1减x方除上x

我们做不定积分就得到

y等于根下d减x方

除上x的原函数的负值

再加上一个ln常数

我们为了求出这个原函数

我们做三角换元

令x等于cost

那么dx就等于负的sint乘上dt

这样我们原来的这个不定积分

就转化为cost分之1

减去cost的不定积分

cost分之1是正割

它的原函数我们是曾经求过的

cost的原函数

我们也是知道的

所以我们就得到了y等于1加sint

除上cost取绝对值之后

再求自然对数

再减去sint加上C

我们将cost等x

sint等于根下1减x方代入

就会得到y与x的关系式

考虑到一开始时x等于1 y是等0的

所以这个表达式中的常数应该等0

这样我们就得到了曳物线的方程式

y等于1加根下1减x方

再除上x取自然对数

再减去根下1减x平方

所以利用导数的几何域

以及简单的微分方程求解的方法

我们就得出了曳物线的方程

一般的曳物线又称为追踪曲线

之所以称为追踪曲线

是因为当P沿着已知的路径逃跑时

追赶者Q从某点出发盯住P追赶

那么追踪者Q跑过的路线

就是一类曳物线

所以曳物线是一类具实际背景的曲线

我们利用学过的简单的微分方程的知识

就得到了简单曳物线的方程

得到的是一个简单的代数表达式

下面我们来看微分方程的另外一个应用问题

就是关于放射性元素的衰变问题

我们知道放射性元素在衰变的过程中

在每一时刻原子个数的变化率

实际上是它的减少率

是与这个时刻原子总数成正比的

我们假设t时刻的原子总数是Nt

也就是N关于t的导数等于负的λ乘上N

在这λ大于0

是称为这个放射性元素的衰变常数

不同的放射性元素

它的衰变常数都是由试验确定的

N关于t的导数

等于负的λ的乘上Nt

是一个我们熟悉的一阶齐次线性方程

我们可以得到它的解就是N等于N0

乘上e的负的λt次方

其中N0是在初始时刻t等于0时的原子个数

这是一个指数函数

它的图形就是在下面的这个图像中的

这一条单调递减的趋向

下面我们来谈一个

这个公式的简单应用

对于放射性元素来说

当它的原子核有半数发生衰变时

所需要的时间

我们就称它是这类放射性元素的半衰期

我们假设某种放射性元素

它的半衰期是T

也就是N0乘上e的负λ乘上T次方

应该就等于2分之1倍的N0

这样我们就得到了半衰期T

与它的衰变常数λ的关系

也就是T等于ln2除上λ

当放射性元素的半衰期T已知时

我们的衰变常数

就可以用ln2除上T来表示

这样我们就得到了原子个数NT

与衰变时间T的关系

在这里面

我们就可以得到衰变时间t

应该等于它的半衰期T除上ln2

再乘上N0

比上Nt的自然对数

在具体应用时

这个表达式经常用来测算古文物的年代

在具体测算时

我们的比值N0比上Nt

可以用下面的方法来进行测算

因为我们知道Nt在0点的导数

应该就等于负的λ乘上N0

而Nt的导数

就负的λ乘上Nt

这两个等式我们做比喻就会得到

N0比上Nt

就等于N′0比上N′t

在这N′t就是我们测试对象

它的衰变率

而N′0表示的是同一种元素

在测试当时它的衰变率

这两个值都可以通过试验得到

有了这个比值之后

我们就可以利用上面的公式

能够大概测算出

我们要测试的这个古文物的年代

在这一讲中

我们介绍了利用微分方程理论

研究曳物线问题

和研究放射性元素的衰变问题

在处理曳物线问题时

关键是如何利用曳物线的性质

建立曳物线函数满足的微分方程

这就是一个简单的数学建模问题

是数学应用的基础和关键

放射性元素的衰变问题

我们利用导数是函数值

关于自变量的变化率这个性质

就容易得到原子数满足的微分方程

在这里要体会如何利用所得结论

求得要找的量

下一讲将介绍

微分方程简单应用的另外两个例子

谢谢同学们

下一讲再见

微积分（先修课）课程列表：

第零章绪论

-0.1 绪论

--0.1.1 绪论

第一章极限

-1.1 极限概念引例

--1.1.1 极限问题举例

--第1.1节测试极限概念引例

-1.2 极限的概念

--第1.2节测试极限的概念

-1.3 极限的性质

--1.3.1 极限的性质(1)

--1.3.2 极限的性质(2)

--第1.3节测试极限的性质

-1.4 极限的运算

--1.4.1 极限的运算

--第1.4节测试极限的运算

-1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理

--1.5.1 夹逼定理与单调有界收敛定理(1)

--1.5.2 夹逼定理与单调有界收敛定理(2)

--第1.5节测试(1) 夹逼定理与单调有界收敛定理

--第1.5节测试(2) 夹逼定理与单调有界收敛定理

-1.6 两个重要的极限

--1.6.1 两个重要的极限(1)

--1.6.2 两个重要的极限(2)

--第1.6节测试两个重要的极限

-1.7 无穷小量

--1.7.1 无穷小量(1)

--1.7.2 无穷小量(2)

--第1.7节测试无穷小量

第二章连续函数

-2.1 连续函数的概念

--2.1.1 函数在一点连续的概念

--2.1.2 在一点的单侧连续性

--2.1.3 间断点的分类

--第2.1节测试连续函数的概念

-2.2. 初等函数的连续性结论

--2.1.1 连续函数的运算性质

--第2.2节测试初等函数的连续性结论

-2.3 连续函数的性质

--2.3.1 局部性质和零点存在定理

--2.3.2 闭区间上连续函数的性质

--第2.3节测试连续函数的性质

第三章导数与微分

-3.1 导数与导函数

--3.1.1 导数与导函数(1)

--3.1.2 导数与导函数(2)

--第3.1节测试导数与导函数

-3.2 微分

--3.2.1 微分

--第3.2节测试微分

-3.3 导数的运算

--3.3.1 导数的四则运算

--3.3.2 复合函数的链导法则

--3.3.3 反函数求导法

--第3.3节测试导数的运算

-3.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法

--3.4.1 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法

--第3.4节测试隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法

-3.5 高阶导数

--3.5.1 高阶导数

--第3.5节测试高阶导数

第四章微分中值定理和导数的应用

-4.1 极值和极值点

--4.1.1 极值和极值点

--第4.1节测试极值和极值点

-4.2 微分中值定理

--4.2.1 微分中值定理(1)

--4.2.2 微分中值定理(2)

--第4.2节测试微分中值定理

-4.3 洛必达法则

--4.3.1 洛必达法则(1)

--4.3.2 洛必达法则(2)

--第4.3节测试(1) 洛必达法则

--第4.3节测试(2) 洛必达法则

-4.4 函数单调性的判定

--4.4.1 函数单调性的判定

--第4.4节测试函数单调性的判断

-4.5 函数的极值及其求法

--4.5.1 函数的极值及其求法

--第4.5节测试函数的极值及其求法

-4.6 函数的最值及其应用

--4.6.1 函数的最值及其应用

--第4.6节测试函数的最值及其应用

-4.7 曲线的凸性和拐点

--4.7.1 函数的凸性和拐点(1)

--4.7.2 函数的凸性和拐点(2)

--第4.7节测试函数的凸性和拐点

-4.8 曲线的渐近线

--4.8.1 曲线渐近线

--第4.8节测试曲线的渐近线

-4.9 泰勒（Taylor）公式

--4.9.1 泰勒（Taylor）公式(1)

--4.9.2 泰勒（Taylor）公式(2)

--4.9.3 泰勒（Taylor）公式(3)

--第4.9节测试泰勒公式

-4.10 原函数与微分方程初步

--4.10.1原函数与微分方程初步(1)

--4.10.2 原函数与微分方程初步(2)

--第4.10节测试原函数与微分方程初步

第五章定积分

-5.1 定积分问题举例

--5.1.1 定积分问题举例

-5.2 定积分的概念

--5.2.1 定积分的概念(1)

--5.2.2 定积分的概念(2)

--第5.2节测试定积分的概念

-5.3 定积分的基本性质

--5.3.1 定积分的性质(1)

--5.3.2 定积分的性质(2)

--第5.3节测试定积分的性质

-5.4 微积分基本定理

--5.4.1 微积分基本定理(1)

--5.4.2 微积分基本定理(2)

--第5.4节测试微积分基本定理

-5.5 定积分的几何应用

--5.5.1 定积分的几何应用(1)

--5.5.2 定积分的几何应用(2)

--第5.5节测试定积分的几何应用

-5.6 定积分的物理应用

--5.6.1 定积分的物理应用

第六章积分法与反常积分

-6.1 换元积分法

--6.1.1 换元积分法(1)

--6.1.2 换元积分法(2)

--6.1.3 换元积分法(3)

--第6.1节测试换元积分法

-6.2 分部积分法

--6.2.1 分部积分法(1)

--6.2.2 分部积分法(2)

--第6.2节测试分部积分法

-6.3 有理函数的积分法

--6.3.1 有理函数的积分法(1)

--6.3.2 有理函数的积分法(2)

--第6.3节测试有理函数的积分法

-6.4 定积分应用举例

--6.4.1 定积分应用举例

--第6.4节测试定积分应用举例

-6.5 反常积分

--第6.5节测试反常积分

第七章无穷级数

-7.1 无穷级数

--7.1.1 无穷级数

--第7.1节测试无穷级数

-7.2 正项级数

--7.2.1 正项级数

-7.3 比值判敛法和根式判敛法

--7.3.1 比值判敛法和根式判敛法

--第7.3节测试比值判敛法和根式判敛法

-7.4 一般项级数

--7.4.1 一般项级数(1)

--7.4.2 一般项级数(2)

--第7.4节测试一般项级数

-7.5 幂级数

--7.5.1 幂级数

-7.6 函数的幂级数

--7.6.1 函数的幂级数

--第7.6节测试函数的幂级数

-7.7 泰勒级数

--7.7.1 泰勒级数

--第7.7节测试泰勒级数

-7.8 幂级数的简单应用

--7.8.1 幂级数的简单应用

第八章常微分方程

-8.1 一阶可求解常微分方程

--8.1.1 一阶可求解常微分方程

--第8.1节测试一阶可求解常微分方程

-8.2 一阶线性微分方程

-- 8.2.1 一阶线性微分方程(1)

--8.2.2 一阶线性微分方程(2)

--第8.2节测试一阶线性微分方程

-8.3 二阶线性常系数微分方程

--8.3.1 二阶线性常系数微分方程(1)

--8.3.2 二阶线性常系数微分方程(2)

--8.3.3 二阶线性常系数微分方程(3)

--第8.3节测试二阶线性常系数微分方程

-8.4 常系数微分方程简单应用举例

--8.4.1 常系数微分方程简单应用举例(1)

--8.4.2 常系数微分方程简单应用举例(2)

期末考试

-期末考试

--期末考试说明

-期末考试--期末考试

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