6.1.1 换元积分法(1)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第六章

积分法与反常积分

第一节

换元积分法

在前面我们一定得到了

计算定积分的牛顿—莱布尼兹公式

在有了莱布尼兹公式之后

定积分的计算就转化为求被积函数的

一个原函数的问题

仅利用积分的线性运算性质

和基本积分公式

我们只能计算一些

最简单的函数的积分问题

因此

我们还需要进一步寻找

求原函数的其他方法

本章将介绍两种基本积分法

即换元积分法

和分部积分法

换原积分法由微分法中

复合函数的求导法则得到

而分部积分法由微分法中

函数乘积的求导法得到

在求原函数时

并不是所有初等函数的原函数

仍然是初等函数

即使是出等函数

有时候我们也不见得能求出它的表达式

但是 对有理函数来说

我们知道有理函数的原函数

一定是初等函数

而且我们一定能求出

它的原函数的初等表达式

求三角有理式的原函数问题

通过三角换元可以转化为有理函数

求原函数的问题

有理函数与三角有理式的积分

就是我们这章将要介绍的

两类特殊函数的积分

我们知道定积分

研究的只是有限（B区 音）介绍

关于有界函数的问题

该在许多理论和实际应用问题中

往往需要研究无穷区间

或者是无界函数的问题

这就需要将定积分的概念加以推广

反常积分

就是利用函数极限工具

通过变现定积分函数

将定积分研究的对象

推广到了无穷区间和无界函数中

这就是本章最后将要介绍的

反常积分问题

本讲将介绍求原函数时

最常用的基本积分法之一

也就是不定积分的第一换元积分法

我们首先介绍

不定积分的换元积分法

我们知道积分运算与微分运算

实际上是一对逆运算

我们将复合函数求导法则反过来

用于求积分就可以得到

所谓的换元积分法

换元积分法是我们计算

积分的最重要的方法

下面我们看下具体的过程

我们假设函数y等于Ghx

就是函数Gu与hx的复合函数

而且我们假设hx与Gu

都是可导函数

那么根据复合函数的链导法则

我们知道Ghx这个复合函数

关于x求导

就等于Gu关于u的导数

在hx这点取值

再乘上h关于x的导数

根据不定积分的定义

这样我们就知道

G′hx乘上hx的不定积分

就是Ghx加上C

如果我们记G′的导数就等于

小写的gu

那么我们知道gu它的不定积分

就等于Gu加上C

这个时候

我们上面得到的不定积分等式

也可以用小写的g表示成ghx

乘上h′x

它的不定积分就等于G与hx的复合

再加上C

我们看这两个等式

它的右端实际上就是u

只要写成hx

那么右端就是相等的

右端相等

当然左端也就相等

所以说我们只要把u用hx来表示

就会得到gu的不定积分

就得到ghx乘上h′x的积分

利用这个公式

我们用左边求出右边

得到的就是所谓的

第一还原积分公式

而由它的右边求出左边

得到的就是所谓的

第二还原积分公式

也就是说第一换元积分公式

实际上形式上是通过

引进中间变量的方式

将被积函数进行了变形

如果是通过引进新的自变量的方式

将被积函数进行变形

得到的就是第二还原积分公式

下面我们介绍

不定积分的第一换元积分法

首先我们看一下我们碰到的问题

和我们处理这个问题的想法

我们要求fx的不定积分

碰到的问题就是

这个不定积分

并不在基本积分公式之中

我们可以将被积函数fx

看作是两个因子的乘积

其中一个因子是hx的导数

另外一个因子是g和h的复合函数

如果是这样子的时候

我们形式上就可以用u等于hx来表示

这时候我们就会

得到一个新的不定积分

也就是gu它的不定积分问题

如果我们知道了gu的原函数

是大写的gu

这样我们将u与x的关系代入

就会得到了一个Ghx

加上C这么一个函数

实际上我们关心的问题就是

我们最后得到的这个函数

与我们一开始要求的

fx的不定积分之间

是什么关系

我们第一换元积分法

它整个的想法

也就是说将被积函数写成两个因子

其中一个因子

可以看成是一个函数的导数

这个过程我们一般叫凑微分

我们让u等于hx这个过程

自然我们称作是换元

最后我们求gu

的原函数Gu这个过程

当然是个积分过程

最后我们再将u与x的关系代回

这应该是一个再次换元的过程

我想这是上面我们处理这类问题

一个基本的想法

为了说明我们最后得到的这个函数

就是我们要求的fx的不定积分

我们给出下面一个定理

定理

如果gu它的原函数是Gu

而且hx可导

那么 ghx这个复合函数

再乘上h′x它的原函数

也就等于G跟hx的复合

这就是我们要证的

第一换元积分公式

我们先给出这个结论的证明

因为函数gu与hx都是可导函数

而且Gu的导数是小写的gu

所以根据复合函数的链导法则

我们知道Gu与hx的复合

关于x是可导的

而且它关于x的导数

就等于G的导数在hx这边取值

再乘上h′x

也就等于小写的ghx的复合

再乘上h′x

我们根据不定积分的定义

也就证明了ghx的复合

乘上h′x的最原函数

就是Ghx再加上常数C

这就是这个定理的证明

有了这个定理之后

我们也就相当于是证明了

在求不定积分ghx复合

乘上h′x时

如果我们让u表示hx

那么这个不定积分

它就可以表示成Gu的不定积分

也就是通过将hx用u表示这个方法

把我们原来的被积函数

变成了新的被积函数Gu

这就是所谓的第一还原积分公式

利用这个公式求不定积分的方法

就称作是不定积分的第一换元积分法

在这个方法里面

最关键的就是要看出

被积函数中的一个因子

正好是hx的导数

所以说这个方法

我们习惯上也称作是

凑法 或者是凑微分法

下面我们看几道具体的例体

例1 我们求

根下两倍x加1的不定积分

我们将根跟下两倍x

乘上dx

给它凑成二分之一倍的

根下两倍x加1

再乘上d两倍x加1

也就是我们把dx凑成2分之1倍的

d两倍x加1

这样我们将两倍x加1

用u表示

那么我们原来要求的这个不定积分

就应该等于2分之1倍的

u的2分之1次方的不定积分

而u的2分之1次方的原函数

是一个简单的逆函数的原函数问题

所以我们利用基本积分公式

就得到了它的原函数是

2分之1倍的U的2分之3次方加上C

最后我们将u

用2倍x加1代回

就得到了我们要求的不定积分

最后结果是3分之1倍的

括号里面2倍x加1起来的

2分之3次方加上常数C

这就是一个简单的

利用第一换元积分法

求不定积分的题目

在这里面

我们主要是根据被积函数的特点

将dx凑成了2分之1倍的d

2倍x加1

下面我们看第二道例题

我们求x乘上根下x方

加1的不定积分

在这我们将x乘上dx

凑成2分之1倍的dx方加1

那么我们如果用u来表示x方加1

我们要求的不定积分

就等于2分之1的u的2分之1次方的

不定积分

这样我们就可以得到

要求的最后结果是

3分之1倍的x平方加一

括起来的2分之3次方

再加上常数C

我们的第二道例题

与前面第一道例题情况是类似的

也就是说我们根据被积函数的特点

选择了将被积函数中

某个因子看作是某一个函数的导数

在第一个例题中

我们是将1作为一因子

把它看作是2分之1倍的括号里面

两倍x加1的导数

而在第二个例题中

我们是将x这个因子

看成了是2分之1倍的

x平方加1的导数

这是第二个例题

下面我们看第三道例题

我们求1除上a方

加x方它的不定积分

我们对这个被积函数

做个简单变形

就把要求的不定积分

转化成了a方分之1乘上1加

括号里面a分之x起来平方分1

它的不定积分

我们将a分之1dx

看作是da分之x

我们利用1加u方分之1的原函数

是arctanu这个公式

就得到了我们要求的不定积分是

a分之1乘上arctana分之x

再加上常数C

在利用第一换元积分公式

求不定积分时

如果我们比较熟悉了

在计算过程中

我们可以直接把某一部分

当做是一个整体变量

在例3中

比如说a分之x

我就把它当作是一个整体变量

而不见得非得要引进

一个新的记号来

下面看第四道例题

我们求e的sinx次方

乘上cosx的不定积分

我们知道cosx是sinx的导数

所以我们将原不定积分凑微分

就会得到e的sinxdsinx这个形式

如果我们让u就等于sinx

那么 我们要求的不定积分

就变成了e的u次方求不定积分

它的原函数当然是e的u次方

加上常数C

这样我们再将u与x的关系代回

就得到我们要求的不定积分

最后的结果是e的sinx次方加上C

第五道例题

我们来求正切和余切的不定积分

首先我们将正切函数

表示成sinx除上cosx

我们将sinx乘上dx

凑成负的dcosx

我们将cosx看作是一个整体

利用u分之1的原函数

是u的绝对值的自然对数

我们就得到了正切的不定积分

就是负的lncosx的绝对值

再加上常数C

类似的我们将余切函数

表示成cosx比上sinx

而cosx乘上dx

我们凑成是dsinx

将sinx当做是一个整体变量

我们就得到了余切函数的不定积分

是lnsinx的绝对值

加上常数C

我们来看第六道例题

我们求正割函数 它的不定积分

我们首先看第一种变形方式

我们将正割函数

用cosx分之1表示出来

为了将被积函数进行变形

我们分子分母同乘cosx

利用cos方等于1减sin方

我们就把被积函数

变成了cosx除上1减sin方x

cosx乘上dx

我们凑为dsinx

我们将sinx作为一个整体变量

把1减sin方x分之1

给它分成2分之1倍的

1加sinx分之1

加上1减sinx分之1

这样我们利用1加u分之1的原函数

和1减u分之1的原函数

就得到了我们要求的

正割函数的不定积分

就等于二分之一倍的

1加sinx除上1减sinx的自然对数

再加上任意常数C

我们将这个表现形式

作为一个变形

也就是在分子分母同乘

1加sinx

我们利用对数函数的运算性质

就将这个表达形式写成了

1加sinx的绝对值

除上cosx的绝对值的自然对数

再加上常数C

我们进一步就可以将

这个原函数表示成secx

再加上tanx的绝对值

取自然对数再加C

这就是正割函数 原函数的

常见的一种表示方式

下面我们来看这个题目的

第二种变形方式 解法2

我们仍然将正割函数

表示成cosx分之1

我们利用倍角公式

cosx可以看作是cos方2分之x

减掉sin方2分之x

我们将cos方2分之x剔出

我们进一步就可以将被积函数

变成sec方2分之x

除上一减tan平方2分之x

就遇到sin方2分之xdx

可以凑成是2倍的dtan2分之x

这样我们将tan2分之x

作为一个整体变量

我们就可以得到要求的不定积分

就是1+tan2分之x

除上一减tan2分之x的绝对值

取自然对数

再加上常数C

下面我们来介绍这个不定积分的

第三种变形方式

我们对secx同乘同除secx加上tanx

我们知道sec方是tanx的导数

而secx乘上tanx是sec的导数

也就是说这个时候这分子

正好可以凑成是dsecx

加上tanx

我们将这两个三角函数之和

作一个整体变量

我们就得到了要求的不定积分

就是secx加上tanx的绝对值

取自然对数

再加任意常数C

关于这题目

我们用三种不同的变形方式进行求解

主要是想告诉大家

我们求一个不定积分问题

主要的想法

就是通过适当的变形

把我们不在基本积分公式

之内的不定积分

转化成基本积分公式之内的

不定积分问题

至于如何转化

对不同的问题有不同的转化方法

既是对同一个问题

也可以是有不同的方法

同时 通过这三种不同的解法

希望大家还应该注意的

对同一个函数来说

它的原函数的表示

在形式上可能有一些差别

甚至有一些差别还非常大

这个是由不定积分的定义造成的

因为我们说一个不定积分等式

是否成立

我们主要关心是它等号右端

这个函数的导数是不是被积函数

大家知道如果两个函数

相差的是一个常数

那么 它们的导数是相等的

而相差一个常数的两个函数

在形式上就可以有很大的不同

有了正割函数的不定积分

类似的我们可以求出

余割函数的不定积分

余割函数的一个愿函数表示是

cscx减掉cotx

它的绝对值取自然对数

它的另外一个原函数表示形式是

cscx加上cotx取绝对值

取自然对数

前面再加一个负号

下面我们看第七道例题

求sinx乘上cos2x的不定积分

sinx乘上cos2x

我们利用三角函数的积化和差公式

可以把它变成二分之一倍的

sin3x减掉sinx

这样我们要求的不定积分

也就是要求2分之1倍的sin3x

减掉sinx的不定积分

我们直接就可以得到最后的结果是

负的6分之1倍的cos3x

再加上2分之1倍的cosx

加上常数C

在这里只是用到了sin3x的原函数

应该是负的3分之1倍的cos3x

关于积化和差公式

在我们做积分运算时

是经常用到的

比如说我们要求sinax乘上sinbx

或者是要求sinax乘上cosbx

关于这个形式的被积函数

求不定积分的问题

我们首先用的就是积化和差公式

把它们变成是两个余弦

或者是两个正弦的和差问题

下面我们看第八道例题

我们求e的根下x次方

除上根下x的不定积分

在这个不定积分中我们将被积函数中的

根下x分之1乘上dx

凑成两倍的d根下x

我们将根下x作为一个整体变量

利用e的u次方的原函数

仍然还是e的u次方

我们就得到了要求的不定积分是

两倍的e的根下x次方

再加上常数C

第九个例题

我们求1除上根下x 乘上1减x

它的不定积分

我们将被积函数作为一个变形

也就是分母上我们提出根下x

并将x看作是根下x的平方

在这个形式下

我们将根下x分之1

乘上dx

凑成是两倍的d根下x

让根下x作为一个整体变量

利用根下面1减u方分之1

它的原函数是

arcsinu这个计算公式

就得到了我们要求的不定积分是

两倍的arcsin根下x加上常数C

下面我们来看最后一道例题

我们求1除上x乘上

1+lnx它的不定积分

在这个不定积分中

我们将x分之1

乘上dx凑成是dlnx

我们进一步将dlnx

可以凑成是d1加lnx

我们让1加lnx作一个整体变量

利用u分之1的原函数

是u的自然对数

我们就得到了我们要求的不定积分

最后结果是1+lnx的绝对值

取自然对数

再加上常数C

通过我们前面介绍的例题

我们可以体会到所谓的凑微分法

能不能数量的掌握 准确的运用

实际上主要就是看

我们基本导数公式是不是熟练

我们应该知道以常见的导数公式

在前面的例题中

我们主要练习了

像x的arc次方乘上dx

可以凑成是arc加1分之1

乘上dxarc加1次方

在这里面它的两个特殊情况

一个是arc等负2分之1的情况

也就是根下x分之1dx

等于两倍的d根下x

还一个就是arc等负1时

x分之1乘上dx

等于dlnx

以至于像cosx dx

写成dsinx等等

这是我们在用错误微分法

或者是说用第一换元积分法

求不定积分时

经常用的一些换元方式

请大家在做题目时

注意总结

本讲给出了

不定积分的第一换元积分公式

这个公式成立的理论保障

就是复合函数的链导法则

从形式上看第一换元积分公式

是通过引进中间变量的方式

将原来的不定积分

转化成了一个新的不定积分

通过对例题的仔细研读

我们可以更好的体会到

为什么将第一换元积分法

称为凑法

能否熟练的运用第一换元积分法

既要看对基本导数公式的熟练程度

也要求在求不定积分问题时

要有意识地将被积函数

分解成两个因式的乘积

下一讲将介绍不定积分的

第二换元积分法

和定积分的换元积分法

谢谢同学们

下一讲 再见