4.7.2 函数的凸性和拐点(2)在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第四章

微分中值定理和导数的应用

第七节

曲线的凸性和拐点

本讲将通过例题

展示前面得到的

利用二阶导数判断函数凸性

和求曲线拐点的一般方法

并通过具体的题目

介绍函数凸性的简单应用

在前面我们已经得到了

判断一条曲线的凸性

和求曲线拐点的一般方法

我们再一起回顾一下这个过程

第一步

确定函数的定义域

第二步

求二阶导函数

并找出定义域中二阶导数等于0

和二阶导数不存在的点

这些分界点将定义域分成了

若干个小区间

第三步

通过列表

我们由二阶导数在分界点

两侧的正负号来判别曲线的凸性

以及判别分界点是否是曲线的拐点

下面我们来看几道具体的题目

例1

我们假设y就等于x的4次方减掉

2倍的x三次方加1

我们来求这条曲线的

上凸区间 下凸区间

以及这条曲线的拐点

我们来看具体的解答过程

这是一个四次多项式函数

它的定义域就是负无穷到正无穷

我们可以求出

这个四次多项式函数的

一阶导和二阶导

它的二阶导数就等于

12倍的x乘上x减1

我们令二阶导等于0

就会得到两个二阶导数等于0的点

分别是x等0和x等1

这个函数没有二阶导数不存在的点

我们利用0和1这两个点

把整个定义域就分成了

三个不同的区间

在负无穷到0这个区间上

二阶导数是大于0的

这是曲线的下凸区间

在(0,1)这个区间上

二阶导数是小于0的

这是曲线的上凸区间

在1到正无穷这个区间上

二阶导数是大于0的

这是曲线的下凸区间

所以我们最后的结论就是

这条曲线它的下凸区间是

负无穷到0和1到正无穷

它的上凸区间是(0,1)

这条曲线的拐点

是(0,1)和(1,0)

下面我们看第二道例题

例2

我们假设y等于3/5倍的

x的5/3次方

减掉3/2倍的x的2/3次方加1

我们求这条曲线的上凸区间

下凸区间和这条曲线的拐点

我们知道这个函数的定义域

仍然是负无穷到正无穷

我们求出这个函数

它的一阶导和二阶导

它的二阶导在x不等于0时

就等于1除以3倍的

3次根下x四次方

再乘上2倍的x加1

利用定义我们知道

这个函数在x等于0这点

二阶导数是不存在的

我们令两阶导等于0

就会得到二阶导

等于0的点是x等-1/2

我们利用二阶导不存在的点

x等0和二阶导

等于0的点x等-1/2

就将他的整个定义域

分成了三个不同的区间

在负无穷到-1/2这个区间上

二阶导小于0

这是这个曲线的上凸区间

在(-1/2,0)这个区间上

二阶导大于0

这是曲线的下凸区间

在0到正无穷这个区间上

二阶导大于0

这也是曲线的下凸区间

所以我们最后的结论是

这条曲线它的下凸区间

是-1/2到正无穷

它的上凸区间是负无穷到-1/2

而曲线的拐点是x=-1/2对应的点

下面我们来看第三道例题

我们问a b取何值时

点(1,3)可能是

下面这条曲线的拐点

这条曲线是y等于a乘上x三次方

再加上b乘上x平方

并且问这个时候

这个函数的凸性如何

在这道题中我们知道

一个点要想成为曲线的拐点

那么这个点就应该在曲线上

也就是说x等1时

y应该等于3

这就是a b满足的一个方程

这条曲线是一条三次曲线

三次函数二阶导数总是存在的

所以说x等于1对应的点

是曲线的拐点就意味着

这个函数在x等1这点的二阶导数

是等于0的

这是a b满足的另外一个方程

由这两个方程

我们就可以确定a b的值

我们来看一下具体的解答过程

因为点(1,3)在这条曲线上

所以我们得到a加b等3

由于这个函数的二阶导数

是6倍的a乘上x再加上2倍的b

所以由x等1时

二阶导数等于0

我们就会得到

6倍的a加上2倍的b等于0

这样我们就得到了

a b满足的两个方程

这是一个二元一次方程组

我们求解得a等于-3/2

b等于9/2

因为这个函数的二阶导数

我们将a b的值代入后

就是9乘上1减x

所以我们知道我们这个三次函数

在区间负无穷到1内是下凸函数

在区间1到正无穷内是上凸函数

这个点(1,3)就是

这条三次曲线的拐点

下面我们来看第四道例题

我们假设x1 x2

到xn是n个任意正实数

我们来求证下面的不等式成立

不等式的左端是n除上

1/x1加上1/x2一直加到1/xn

不等式的中间这个数是

n次根下x1乘x2一直乘到xn

而不等式的右端就是

x1加x2一直加到xn再除以n

我们知道函数的凸性

是用不等式来刻画的

反过来

如果我们知道了某个函数的凸性

我们就相应的

可以得到一些不同的不等式

在这个题目中

对我们要证的不等式

我们来考虑函数

f(x)等于lnx

我们知道这个函数的二阶导数

是负的x平方分之一

所以这个函数

在它的定义域0到正无穷内

就是上凸函数

那么对于任意的正数

x1 x2一直到xn

我们利用上凸函数的定义和性质

就会得到

lnx1加上lnx2

一直加到lnxn除上n

就应该小于等于对数函数在

x1加x2一直加到

xn除以n这点的值

也就是我们有这个不等式成立

我们利用对数函数的性质

对这个不等式它的左边进行变形

也就是lnx1加上lnx2

一直加到lnxn

就等于x1乘x2一直乘到xn

这个乘积取自然对数

他乘上1/n

我们可以把对数符号前面的1/n

放到真数的指数上

这样我们就得到了下面这个不等式

也就是n次根下x1乘x2

乘到xn的自然对数

应该小于等于x1加上x2加到xn

再除上n的自然对数

因为自然对数是个单调递增函数

函数值的大小关系与

自变量的大小关系是一致的

所以我们就得到了

我们要证的不等式中的一部分

我们利用我们得到的这个不等式

我们将x1 x2…xn都取倒数

我们就会得到下面这个不等式

也就是n次根下

1除上x1乘x2乘到xn

他应该小于等于

1/x1一直加到1/xn

再除上n

因为这里面的数都是大于0的数

我们取倒数就会得到

n除上1/x1一直加到

1/xn就小于等于

n次根下x1一直乘到xn

这样我们就证明了

我们这个题目中要证的不等式

实际上在这个题中

我们的不等式中牵扯到三个值

第一个值大家知道

这就是n个正数的算术平均数

而第二个值

这应该是这n个正数的几何平均数

而牵扯到的第三个值

就是x1到xn

这n个正数的调和平均值

所以这个题目中

我们得到了n个正数

它的调和平均数

小于等于几何平均数

几何平均数又小于等于

他们的算术平均数

这就是我们大家熟悉的均值不等式

下面我们来看最后一道例题

我们假设函数f(x)存在二阶导数

而且二阶导数大于0

我们证明曲线y等f(x)

总是位于他在任一点的切线的上方

也就是我们要证明对于同一点来说

曲线上点的纵坐标总是大于等于

切线上点的纵坐标

我们假设x0是任一给定的点

我们做曲线

在(x0,f(x0))这点的切线方程

我们令F(x)就等于

曲线上点的纵坐标f(x)减掉

这条切线上点的纵坐标

也就是f(x0)加上f'(x0)

再乘上x减x0

对F(x)我们求一阶导

就会得到F的一阶导数等于

f的一阶导数减掉

f在x0这点的一阶导数

我们再进一步求二阶导就会得到

F的二阶导就等于f的二阶导

由条件我们知道

F的二阶导是大于0的

所以F的一阶导数

本身是单调递增的

在前面我们知道

F的一阶导在x0这点是等于0的

因为F的一阶导是单调递增的

所以x0就成为了

F一阶导等于0的唯一的一个点

也就是x0是F的唯一驻点

我们根据前面

F它的一阶导数表达式

以及他一阶导数的单调性

我们知道在x0的左侧

F的一阶导小于0

在x0的右侧

F的一阶导大于0

所以这样就得到了

x0是函数F的最小值点

因为F在x0这点的值是等于0的

所以当x不等于x0时

F(x)是大于0的

也就是f(x)是大于f(x0)加上

f'(x0)再乘上x减x0

这从几何上表示的就是

曲线y等f(x)

位于它的任何一点的切线的上方

在这一讲中

我们通过例题

展示了利用二阶导数正负号

判断函数凸性的一般方法

演示了求函数凸性区间

和求曲线拐点的一般方法

利用函数凸性证明一些不等式

是函数凸性应用之一

本讲中的例4给出了

均值不等式的一个简单证明

例5则给出了下凸曲线

或上凸曲线与其切线的位置关系

这有利于我们从几何上

更好的理解曲线下凸

或上凸的含义

值得注意的是

即使两条曲线弧

它的升降和凸性情况一致

他们一般的还是有区别的

也就是他们的弯曲程度一般不同

如何刻画曲线的弯曲程度

也是微分学的应用之一

感兴趣的同学可以

翻阅一般的微积分教材

下一讲将介绍

曲线的渐近线

谢谢同学们

下一讲 再见