5.4.1 微积分基本定理(1)在线视频

同学们

大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们讲

第五章

定积分

第四节

微积分基本定理

前面我们已经学习了

定积分的概念和定积分的常用性质

本讲开始

我们要研究定积分值的计算问题

本讲将介绍变限积分函数的概念

性质 及其求导公式

我们首先来介绍

变限定积分函数的有关内容

我们看一下

变限定积分函数的概念

我们知道如果函数f(x)

在区间[a,b]上可积

那么对于区间[a,b]中的任何一个点x来说

函数f(x)在区间[a,x]上也是可积的

这样我们对于给定的x

函数f(x)在a到x上的定积分

就定义了区间[a,b]上的一个函数

这个函数我们就称为是变上限定积分函数

也简称为变上限定积分

如果我们将这个函数记作为F(x)

也就是F(x)就等f(x)在a到x上的定积分值

这就是我们说的变上限定积分函数

从几何上讲

变上限定积分函数

表示的就是一块曲边梯形的面积

在我们图一中

我们假设曲边是y等于f(x)

而两条垂直于x轴的直线

分别是x等于a和x等于b

那么我们口中的F(x)

表示的这一块曲边梯形的面积

就是我们前面介绍的

变上限积分函数的函数值

下面我们介绍一下

变上限定积分函数他的两个基本性质

首先我们看一下

变上限定积分函数他的连续性

这就是我们要介绍的定理13

我们假设f(x)

在区间[a,b]上是一个可积函数

那么在这个区间上定义的

变上限定积分函数F(x)

它就是这个区间上的一个连续函数

变上限定积分函数它的连续性

如果我们从极限运算来看

也就是f(x)从a到x的定积分

我们让x趋向x0时

它应该就等于f(x)从a到x0的定积分

下面我们证明一下

变上限积分函数的连续性这个结论

我们知道f(x)在区间[a,b]上可积

那么根据可积的必要条件

f(x)就是[a,b]区间上的一个有界函数

也就是存在一个大于0的M

使得f(x)在任何一个点

函数值的绝对值是不超过M的

我们考虑[a,b]区间中的x

以及x加上Δx两个点

我们为了要证明函数F(x)在x这点连续

也就是要证明

当Δx趋向于0时

F在x加Δx这点的函数值

是趋向于F(x)的

我们来看F在x加Δx这点的函数值

与他在x这点的函数值它的差

我们对这个差取绝对值

利用变限定积分函数的定义

这个差的绝对值也就等于

f在a到x上的定积分与

f在a到x加Δx上的定积分

这两个定积分之差再做绝对值

我们利用定积分的区间可加性

a到x加Δx上的定积分

可以写成是a到x上的定积分

在加上x到x加Δx上的定积分

这样我们进一步就把这个绝对值

写成了f(x)在

x到x加Δx上的定积分的绝对值

对于这个绝对值

我们利用定积分它的性质

也就是比较定理和绝对值函数的性质

我们进一步给他放大到

f的绝对值在这个区间上定积分的绝对值

因为f的绝对值是小于等于M的

所以我们利用估值定理

就得到了我们要求的

F在这两点函数之差的绝对值

是小于等于M乘上Δx的绝对值

在Δx趋向0时

M乘上Δx极限是0

所以这样我们就证明了

在Δx趋向于0时

F在这两点值之差的绝对值

是趋向于0的

也就证明了

F在x加Δx这点的函数值

当Δx趋向于0时

它的极限是F(x)

根据函数在一点连续的定义

这样我们就证明了

F在x这点是连续的

由于我们考虑的x

是[a,b]区间中的任意一点

所以我们就证明了

F在区间[a,b]上是一个连续函数

这就是我们要介绍的

变上限积分函数的第一个性质

也就是变限积分函数的连续性

下面我们来介绍

变限定积分函数的另外一个性质

定理14

变限定积分函数它的可导性

以及求导公式

这个定理给出的结论

我们一般也称作是微积分基本定理

也就是说

这个定理给出的结论

是微积分学中一个很重要的结果

我们看具体的内容

我们假设函数f(x)

在区间[a,b]上是一个连续函数

那么利用f(x)我们得到的

这一个变限定积分函数

在[a,b]区间上就是一个可导函数

而且这个变上限定积分函数的导数值

就等于f(x)

也就是说变上限定积分函数

它的导数值就是被积函数

在相应点的函数值

这个结论也就说明了

我们定义的变上限定积分函数

实际上是这个被积函数

在区间[a,b]上的一个原函数

下面我们来证明定理14的结论

我们根据函数在一点可导的定义

我们要证明

一个函数在一点可导

就是要证明

函数在这一点函数值的改变量

与自变量改变量的比值

在自变量改变量趋向于0时

它的极限是否存在

如果极限存在

极限值大小等于多少

我们在(a,b)开区间中任取一点

记作x

我们假设自变量x的改变量就是Δx

下面我们先求F(x)]在x这点

相应于Δx的改变量

也就是ΔF

他应该就等于F在这两点函数值的差

利用F的定义

也就等于这两个定积分的差

根据定积分的区间可加性

我们进一步就把F在这一点的改变量

写成了f在x到x加Δx这个区间上的定积分

因为我们的定理中

给出的f(x)在这个区间上的连续性

我们利用定积分的积分中值定理

就知道一定存在

介于x与x加上Δx之间的一个点

我们记作ξ

使得f(x)在这个区间上的定积分值

就等于被积函数在这点的函数值

乘上这个区间长度

在这儿

也就是乘上积分上限减掉积分下限

这样我们就用Δx表示出了

F在x这点函数值的改变量

根据导数定义

我们就来看ΔF比上Δx

在Δx趋向于0时

它的极限是否存在

这个比值也就等于f(ξ)

也就是我们要看Δx趋向于0时

f(ξ)它的极限趋向于什么

因为ξ是介于x与x加上Δx之间

所以Δx趋向于0时

ξ是趋向于x的

我们又知道

f在x这点是连续的

这样我们就证明了

这个比值的极限

就等于f(x)

根据导数的定义

我们也就证明了

F(x)在x这一点它的导数值就是f(x)

如果我们的x取的是闭区间的左端点

这个时候在上面的证明过程中

我们就取Δx大于0

同样可以证明

F在a这点的右导数就等于f(a)

类似的

如果我们取的x

是闭区间的右端点

那么在上面的证明过程中

我们就取Δx小于0

这样同样可以证明

F在b这点的左导数

就是f(x)在b这点的函数值

这就是定理14的证明

下面我们介绍定理14的两个推论

第一个推论

也就是说如果f(x)

是区间[a,b]上的连续函数

那么f(x)在区间[a,b]上

就一定存在原函数

实际上定理14就证明了

简单的变上限定积分函数

就是这个被积函数的原函数

这个推论就回答了

我们在前面介绍原函数概念时

曾经说过的一个结论

也就说

区间上的连续函数一定存在原函数

下面我们来看第二个推论

推论2

我们假设f(x)是[a,b]区间上的连续函数

g(x)是[α,β]区间上的可导函数

而且g(x)的函数值

是介于a与b之间

那么下面这个定积分

定义的函数也是一个可导函数

这个定积分的被积函数就是f

积分区间是从a到g(x)做积分

对这个定积分来说

我们任给一个x

自然就会得到

唯一的一个积分值与它对应

所以这也是x的一个函数

这个函数对x来说

是个可导函数

而且这个函数关于x的导数

就等于f在g(x)这点的函数值

再乘上g(x)在x这点的导数值

也就是说

这个函数的导数就等于

被积函数在上限处的值

再乘上上限的导数

下面我们证明一下推论2

我们将f在a到u的积分

记作是u的一个函数

u我们令他等于g(x)

这样我们就知道

我们推论中的F(x)

实际是这两个函数的一个复合函数

也就是说F(x)等于G(u)和g(x)的复合

因为在给定条件下G(u)关于u是可导的

u关于x也是可导的

所以我们得到的这个复合函数

导数是存在的

而且根据复合函数的链导法则

我们只要知道G(u)关于u的导数

以及g(x)的导数

我们就可以表示出F关于x的导数

因为G(u)关于u的导数

也就等于被积函数在上限处的值

所以这样我们就得到了

F关于x的导数也就等于

f在g(x)这点的函数值

再乘上g(x)关于x的导数

有了推论2的结果之后

我们在处理变限定积分函数时

就可以处理一般的积分上限的情况

当然在变限定积分函数中

除了积分上限改变之外

积分下限甚至是积分下限和积分上限

同时都是可以改变的

一般的如果f(x)在[a,b]上是一个连续函数

而g(x)和h(x)都是可导函数

而且它们的函数值都介于a与b之间

那么我们就得到下面这个函数的导数公式

也就是f在h(x)到g(x)的定积分

定义了一个x的函数

这个函数是可导的

它的导数就等于

被积函数在上限处的值乘上限的导数

再减去被积函数在下限处的值

乘上下限的导数

下面我们看几道

与变限定积分函数求导有关的例题

例1

我们求下面三个函数

它的一阶导或者是二阶导

第一个函数

也就是F(x)就等于e的t的平方次方

在1到根下x这个区间上的积分

我们求它的一阶导

第二个函数就是G(x)是等于

1除上根下1加t的四次方

在x到x的平方这个区间上的定积分

我们求这个函数的一阶导

第三个函数是H(x)

就等于x减t再乘上sint的平方

在0到x的定积分

我们求这个函数的二阶导

对F(x)来说

它就是一个简单的

变上限定积分函数的导数

所以说F的导数

就等于被积函数在上限处的值

再乘上上限的导数

也就等于e的x次方

乘上两倍根下x分之一

这是第一个题的答案

第二个题

G(x)它是一个

上下限都变的定积分定义的函数

那么它的导数就应该等于

被积函数在上限的值

再乘上上限的导数

减去被积函数在下限的值

再乘上下限的导数

最后的结果也就等于

两倍x除上1加x的八次方

再减去1除上根下1加x的四次方

下面我们来看第三个函数的求导

请大家注意

第三个函数它的自变量x

不仅位于积分上限上

同时也在被积函数中

但是我们知道

在这个函数中t是积分变量

也就是说

当x给定时

我们对t从0到x做积分

在这个积分过程中

x是常数

所以我们利用定积分的线性性质

我们将H(x)这个函数

可以表示成x乘上sint方

在0到x区间上的定积分

再减去t乘上sint方

在0到x区间上的积分

这样函数H(x)的求导问题

就变成了两个函数做和差之后

它的求导问题

而第一个函数的导数

是两个函数相乘求导

所以说H的导数

就等于x的导数

乘上sint方在0到x区间上的定积分

再加上x不动再乘上sint方

在0到x区间上的定积分

关于x求导

再减去t乘以sint方

在0到x区间上的定积分

关于x求导

也就是减去x乘上sinx平方

我们进一步运算

就会得到

H关于x的导数

就等于sint方

在0到x区间上的定积分

所以H的二阶导数

也就等于sinx的平方

下面我们来看第二道例题

我们求这个分式函数

在x趋向0时的极限

对一个分式函数来说

我们要求极限

首先要看它的分子分母

在x趋向于0时

它的变化情况

我们知道

这个分式的分母

在x趋向0时极限等于0

而分子根据变限定积分函数的连续性

我们知道它的极限

应该就等于sint方在0到0的积分

也就是说

定积分的积分上限和积分下限是相等的

这样分子的极限也是0

所以这是一个0比0型的不定式极限

为了在利用洛必达法则时

求导简单

我们先将分母进行化简

我们知道在x趋向于0时

sinx是与x等价的

所以我们的分母就等价于x三次方

根据极限运算中

等价无穷小代换的结论

我们要求的极限就变成了

sint方在0到x上的积分

除上x三次方在x趋向0时它的积分

我们用洛必达法则

对分子分母分别求导

分子的导数

利用变限定积分函数的求导公式

就是sinx的平方

而分母的导数就是3倍的x的平方

这个比值利用重要极限

我们知道他在x趋向0时的极限

就是1/3

这就是我们要求的极限值

接下来我们来看第三道例题

我们假设函数f(x)

在区间[a,b]上单调递增

我们来证明下面这个函数F

在(a,b]上也是单调递增的

在这儿F(x)表示的就是f(x)

在区间a到x上的平均值

所以在这儿我们要证的结论

从平均值的概念来看

应该是比较直观的

也就是说

一个单调递增函数

他在一个区间上的平均值

当他的区间右端点越来越往右时

也就是区间越来越大时

他的平均值也是越来越大的

下面我们给出这个例题的证明

因为f(x)在区间[a,b]上是连续函数

所以F(x)在区间(a,b]上就是一个可导函数

而且利用变限定积分函数的导数公式

以及两个函数商的导数公式

我们可以得到F导数的表达式就是

f(x)乘上x减a减去

f在a到x上的定积分作为分子

分母是x减a的平方

我们要证明F(x)的单调性

实际上也就是要判断

F(x)他一阶导数的正负号

在这个表达式中

分母是大于0的

所以我们只要能够判断

分子的正负号就可以了

而在分子上

一部分是与被积函数

它的函数值有关

而另外一部分是被积函数

在某个区间上的定积分值

我们为了能够比较这两部分的大小

我们就要对他进行变形

因为函数是连续的

所以我们利用定积分的中值定理

就能够找到在a和x中间的一点ξ

使得f在a到x上的定积分值

就等于f(ξ)乘上x减a

我们将定积分的这个表示

代入F一阶导数的表达式

我们就得到F'(x)就等于

f(x)减去f(ξ)除上x减a

因为f是一个单调递增函数

所以在x大于a这个条件下

我们知道x是大于ξ的

所以f(x)也是大于f(ξ)

这样我们就说明了

F的导数是大于0的

所以F(x)在区间(a,b]上

他就是单调递增的

下面我们来看第四道例题

我们知道f(x)

在区间[0,1]上连续、单增

我们证明对任意的

[0,1]区间中的点q来说

我们都有下面这个不等式

事实上这道题

与前面我们介绍的第三道例题

是同一个题目

只是我们换了另外一个表示

因为我们将这个不等式两端

同除以1减q

我们就知道

f在q到1上的定积分除上1减q

是它在区间q到1上的平均值

而f在0到1上的定积分

也可以理解作是他在0到1上的平均值

那么对于单调递增函数来说

这个不等式反映的是两个平均值的大小

下面我们给出例4的具体证明

首先我们考虑q等于1这个特殊情况

当q等于1时

不等式的两端都是等于0的

这个时候等号是成立的

当q不等于1时

这个时候我们构造一个辅助函数

F(q)也就等于f在q到1上的平均值

减掉f在0到1上的定积分

我们就得到F关于q的导数

它就等于分子上是

负的1减q乘上f(q)

加上f(x)在q到1上的定积分值

分母上是1减q括起来的平方

我们为了判断这个导数的正负号

只要判断分子的正负号就可以了

在例3中我们是将分子上的定积分

利用积分中值定理变成了

被积函数在某一点的值

乘上积分上限减掉积分下限

在这儿我们换一个角度

我们将1减q乘上f(q)

看作是f(q)这个常数

在q到1上的定积分

我们将这个表达式代入F'(q)的表达式

利用积分的运算性质

我们就知道F'(q)就等于

f(x)减去f(q)

在q到1上的定积分

再除上1减q的平方

因为f(x)是一个单调递增函数

那么f(x)当x在q到1之间变化时

他是大于f(q)的

这样我们知道分子上的定积分

是大于等于0的

所以就判定了F'(q)是大于等于0的

因为F(0)是等于0的

这样我们就证明了

当q在0到1这个区间取值时

F(q)总是大于等于0的

这就是我们要证的不等式

在这一讲中

我们介绍了变限定积分函数的概念

证明了变限定积分函数的连续性、可导性

并得到了变限定积分函数的求导公式

变限定积分函数的可导性

及求导公式又称为微积分基本定理

这个定理揭示了

积分与微分之间的内在联系

是微积分学中最基本的结论

是积分学与微分学的纽带和桥梁

通过学习要会用函数的观点

判断变限定积分函数的相关问题

要掌握连续函数存在原函数的结论

并会用变限定积分表示连续函数的

所有原函数

下一讲将介绍

定积分求值的一般方法

也就是牛顿-莱布尼茨公式

谢谢同学们

下一讲再见