7.5.1 幂级数在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍第七章无穷级数

第五节幂级数

前面我们学习的正项级数

和交错项级数

都是特殊的数项级数

本讲将介绍一般的数项级数

我们将介绍绝对收敛

和条件收敛的概念

并给出绝对收敛

与条件收敛的关系

我们首先介绍

函数项级数有关概念

我们考虑定义的区间/的函数列

f1 f2 f3等等

对于x中的一点x0

我们相应的就会得到一个数列

f1x0 f2x0 f3xo

如果fnx0这个数列是收敛的

我们就称x0

是函数列fnx的一个收敛点

如果数列fnx0发散

则称x0是函数列fnx的发散点

函数列fnx的

所有收敛点的集合

叫做这个函数列的收敛域

在函数列的收敛域上

我们记fx是fnx

在n趋向无穷时的极限

那么fx就是一个函数

这个函数

我们将它称作是

函数列的极限函数

下面我们看一道具体的例题

我们考虑定义在

区间01上的函数列

xn次方

当x大于等于0 小于1时

对任意的x来说

fnx在n趋向无穷时

它的极限都等于0

当x等于1时

fnx在n趋向无穷时的

极限就等于1

这样我们就得到了

这个函数列

在01区间上每一点

都收敛的结论

而且我们能够知道

它的极限函数fx

是一个分段表述的函数

也就是说当x大于等于0

小于1时

极限函数的函数值

是等于0的

当x等于1时

极限函数的函数值就等于1的

在这个例题中

有一个现象需要大家注意

我们知道fnx等于xn次分

这个函数在任意点都是连续的

而他的极限函数fx

在x等1这点显然是间断的

关于这个性质

在后边我们讨论

函数项级数的和函数时

需要特别的注意

下面我们给出

函数项级数的一般定义

定义6

我们假设Unx

是定义的区间/上的函数序列

我们称U0x加上U1x

一直加 加到Unx 继续加

称这个形式和是

区间/的一个函数项级数

我们记作Unx

关于n从0到无穷求和

在这个定义中Unx

成为是这个函数项级数的通项

Snx 也就是Ukx

对k从0到n求和

我们得到的这个Snx

称作是函数向级数的部分和

或者是部分和函数

有了函数项级数的定义之后

下面我们给出

函数项级数的收敛点

收敛域 以及和函数的概念

定义7

如果数项级数U0x0

加上U1x0 一直加下去

这个数项级数是收敛的

我们就称x0是函数向级数

U0x加上U1x一直加下去

就称作是这个函数

向级数的收敛点

也就是说在函数项级数里边

我们将x取作是一个具体的点x0

它就对应着一个数项级数

如果这个数项级数收敛

那么x0就称作是

这个函数向级数的收敛点

函数向级数的所有收敛点

构成的集合

称为它的收敛域

在收敛域上

我们记sx就等于

它对应的级数的和

那么sx

就称为是这个函数

向级数的和函数

下面我们看一下

一个具体函数项级数的收敛域

以及和函数的求法

例2

我们求xn次方

做通项的函数向级数的收敛域

以及它的和函数

我们知道对任意的实数

x xn次方做通项的级数

是一个几何级数

当x大于负1 小于1时

这个几何级数是收敛的

而且它就收敛的1除上1减x

当x的绝对值大于等于1时

这个几何级数是发散的

所以这样我们就

得到了以x的n次方

做通项的函数向级数

它的收敛域是负1到1开区间

在收敛域上

它对应的数项级数的和

就等于1除上1减x

也就是这个函数向级数的和函数

sx就等于1减x分之1

和函数的定义域

就是这个函数向级数的收敛域

下面我们看例3

我们求下面这个

函数向级数的收敛域

这个函数向级数的通项

是1除上n加上xn次方

我们考虑的范围是x大于等于0

首先我们看如果x大于等于0

小于等于1

这个时候

这个函数项级数的通项

与n分之1的比值

在n趋向无穷时的极限是等1的

我们知道以n分之1

做通项的调和级数

是发散的

所以根据正项级数的判敛法

我们知道这个时候函数向级数

也是发散的

在x大于1时

我们这个正项级数

它的后一项与前一项的比值

在n趋向无穷时的极限

就等于x分之1

这时候x分之1是小于1的

所以这个函数项级数

在x大于1时

是收敛的

这样我们就知道

我们要求的

这个函数项级数的收敛域

就是1到正无穷

这个无穷期间

我们给出了

函数向级数的概念之后

对于一个函数项级数

我们关心的主要问题是

它的收敛域是什么样的

它如果收敛时

它的和函数又有什么样的性质

说得更具体一点

就是我们要关心

和函数的连续性

也就是说有

通项Un的连续性

我们能否保证

和函数也是连续的

从运算的角度来讲

也就是要证明

能否保证无穷和运算

与极限运算是否

有交换率的问题

也就是我们能否将有限的函数

加法运算的极限性质

推广到无穷多个函数的

求和运算中来

这是我们关心的第一个问题

我们关心的第二个问题是

和函数的可积性

也就是有通项Unx可积

能否保证和函数sx也是可积的

在和函数可积时

我们是否有先求和后做积分

就等于先做积分 后求和

也就是说无穷和运算

与积分运算

是否满足交换域

这个性质强调的就是

能否将有限的函数

求和的积分运算性质

推广到无穷多个函数

求和的问题中来

我们关心的第三个问题

是和函数的可导性

也就是有通项Unx可导

能否保证和函数sx可导

在和函数可导时

是否有先求和后求导

与先求导后求和是相等的

这个性质强调的自然是

有限的函数求和的导数运算

能否直接推广到无穷多个函数

求和中来

这是我们考虑函数向级数时

特别关注的和函数的

三个方面的有关性质

对一般的函数项级数来说

我们讨论这三个性质

都非常复杂

已经超出了本课程的要求

在本课程中

我们只讨论一类

特殊的函数项级数

这就是下面我们要介绍的幂级数

我们来介绍幂级数的有关概念

先给出幂级数的定义

定义8

我们将a0加上a1

乘上括号里面x减x0

一直加到an乘上x减x0的n次方

我们就把这个无穷的形式和

对应的函数向级数

称为是x0处的幂级数

我们记作an乘上x减x0的n次方

关于n从0到无穷求和

如果我们考虑的是a0加上a1乘x

一直加到an乘上xn次方

这个形式和

对于这样的函数向级数

我们就称作是0这点的幂级数

我们用记号an乘上xn次方

关于n从0到无穷求和来表示

从幂级数的定义

我们知道幂级数

实际上是一类特殊的函数向级数

它是按升幂顺序排列的

一个无穷数多项式

幂级数它的定义域

是负无穷到正无穷

而且我们知道任何一个幂级数

他的收敛域都是非空的

至少x0点的幂级数

x0是它的收敛点

0这点的幂级数

0就是它的收敛点

下面我们给出

幂级数的收敛区间的概念

首先我们看几道例题

例4

我们求下面这个幂级数的收敛域

这个幂级数它的通项是

xn次方除上n的阶乘

对于任意一个给定的非0的x

我们利用正项级数的比值判敛法

也就是我们考虑这个幂级数

它的绝对值级数

后一项与前一项比值的极限

这个极限是等于0的

也就是说对任意的

不等于0的x来说

这个级数都是绝对收敛的

x等0当然是

这个幂级数的收敛点

这样我们就知道

这个幂级数对所有的x

都是绝对收敛的

所以他的收敛域

就是负无穷到正无穷

我们再看下一道例题

例5

求下面这个幂级数的收敛域

这个幂级数的通项

是xn次方除上n

我们仍然对它的绝对值级数

用比值判敛法

后一项与前一项比值的绝对值

在n趋向无穷时的极限

就等于x的绝对值

那么根据比值判敛法

我们知道当x绝对值小于1时

原来的级数是绝对收敛的

当x绝对值大于1时

因为它的绝对值级数的通项

是正无穷大量

所以级数本身

并不满足收敛的必要条件

也就是说在x的绝对值大于1时

级数是发散的

这样我们在考虑

x绝对值等于1的情况

如果考虑的是x等于1

这时候级数就变成了调和级数

它是一个发散级数

如果x等于负1时

级数就变成了

一个莱布尼兹条件下的

交错调和级数

它就是收敛的

讨论到这我们就知道

这个幂级数它的收敛域

就是负1到1 半闭半开区间

下面我们看第六题

我们求下面这个幂级数的收敛域

这个幂级数它的通项是n的阶乘

乘上x的n次方

在x不等零时

它的绝对值级数的后一项

与前一项的比值的极限

是不存在的

是个正无穷大量

所以在x不等0时

这个级数永远是发散的

也就是说这个幂级数

只有一个收敛点

就是x等0

所以它的收敛域

就只有一个元素 0的一个点积

通过这三道例题

我们可以看出

一个幂级数他的收敛域

有时候是全体实数

有时候是只有一个点的独点集

如果不是这两种情况

下面我们可以证明

就会在一个以原点为中心的

k区间上

这个幂级数是绝对收敛的

而在这个k区间之外

它是发散的

下面我们就给出

与幂级数的收敛域有关的

两个结论

定理19

如果在0这点的幂级数

存在一个非0的收敛点c

那么当x绝对值小于c的绝对值时

这个幂级数就是绝对收敛的

如果在0这点的幂级数

存在一个发散点d

那么当x的绝对值

大于d的绝对值时

这个级数就是发散的

这个定理

我们一般把它称为是Abel定理

下面我们来证明定理19

先证第一个结论

因为幂级数在c这点收敛

所以an乘上c的

n次方极限等于0

也就是说

这是一个极限存在的收敛

因为有极限的收敛

一定是有限列

所以我们存在一个大于0的m

使得对所有的n来说

an乘上c的n次方的绝对值

是小于m的

当x的绝对值小于c绝对值时

我们将an乘上

x的n次方的绝对值

写成an乘上

c的n次方的绝对值

再乘上x的n次方

除上c的n次方

也就小于M乘上x

比上c的绝对值的n次方

因为x比上c的绝对值是小于1的

所以以M乘上x比上c的绝对值的

n次方做通项的级数是收敛的

根据正项级数的比较判敛法

我们知道这个时候幂级数

是绝对收敛的

下面我们在证这个定理的

另外一个结论

假如存在一个x

使得x的绝对值大于d的绝对值

而且幂级数在x这点是收敛的

由第一个结论

我们知道这个幂级数

一定在x等d这点

是绝对收敛的

至于幂级数在b这点

是发散的

矛盾

所以当x的绝对值

大于d的绝对值时

幂级数一定是发散的

这样我们就证明了Abel定理

有了Abel定理之后

我们不加证明的

给出另外一个结论

定理20

如果在0这点的幂级数

既存在非0收敛点

又存在发散点

那么就存在唯一的正实数R

这个正实数

它满足下面两个条件

当x绝对值小于R时

幂级数是绝对收敛的

当x的绝对值大于R时

幂级数是发散的

有了这个定理之后

如果幂级数没有非0收敛点

我们就规定R等于0

如果幂级数没有发散点

我们就规定R等于正无穷

那么这样我们就知道

任何一个幂级数

它与0到正无穷之间

是建立了一个一一的对应关系

这个对应关系

也就是任何一个

幂级数对应着这么一个量

这个量满足上面两个性质

也就是x绝对值

小于这个量时

级数是绝对收敛的

x的绝对值大于这个量时

级数是发散的

一般的满足

这两个条件的这个量R

就称为幂级数的收敛半径

定义9

对于0这点的幂级数

如果非负量R满足

当x绝对值小于R时

幂级数是绝对收敛的

当x绝对值大于R时

幂级数是发散的

我们就称R是

这个幂级数的收敛半径

我们规定开区间负R到R

就是这个幂级数的收敛区间

关于幂级数的

收敛半径和收敛区间

我们做如下说明

第一个需要说明的是

尽管我们是关于0这点的幂级数

给出收敛半径的定义

同样的我们也可以给出

x0这点幂级数的

收敛半径的概念

和收敛区间的概念

需要说明的第二点的情况

有了定理20

和前面的补充之后

我们知道一个幂级数

它的收敛半径

是存在而且唯一的

关于收敛区间端点的收敛性情况

要具体级数具体讨论

根据收敛半径的定义

我们知道幂级数

条件收敛的点

只可能在收敛区间的端点上取得

有了收敛区间之后

我们只需要再考虑

收敛区间端点的收敛性情况

就能得到这个幂级数的收敛域

下面我们来看一下

对于简单的幂级数

他收敛半径的一般求法

幂级数的收敛半径的求法

从理论上讲

幂级数的收敛半径

我们一般就是

使用正项级数的比值判敛法

根式判敛法

以及收敛半径本身的概念来求得

求幂级数收敛域时

需要单独考虑收敛区间

两个端点的收敛性

下面我们来看几个具体的题目

例7

我们求下面这个幂级数的

收敛半径和收敛域

这个幂级数它的通项是

n除上3的n次方

再乘上x减1的n次方

这是1这点的一个幂级数

我们利用比值判敛法

考虑这个幂级数

后一项与前一项比值的

绝对值的极限

这个极限我们求出来是3分之1

乘上x减1的绝对值

我们知道当3分之1

乘上x减1的绝对值小于1

也就是x减1绝对值小于3时

这个幂级数是绝对收敛的

当3分之1乘上x减1的

绝对值大于1

也就是x减1的绝对值大于3时

这个幂级数的通项

是不趋向于0的

它是发散的

那么根据收敛半径的定义

我们知道这个幂级数的收敛半径

R就等于3

收敛区间就是以1为中心

半长为3的开区间

也就是开区间负2到4

下面我们考虑这个幂级数

在收敛区间端点的收敛情况

当x等4时

幂级数变成一个通项是

n的数项级数

它是发散的

当x等负2时

幂级数变成是

一个通项是负1的n次方

乘上n的数项级数

它也是发散的

所以这个幂级数的收敛域

与它的收敛区间是一样的

就是开区间负2到4

下面我们看例8

我们求下面

这个幂级数的收敛半径

和收敛域

这个幂级数的通项

是负1的n减1次方

乘上x减4的2n次方

除上n 乘上9的n次方

我们同样利用比值判敛法

考虑这个幂级数

后一项与前一项比值的绝对值

在n趋向无穷时的极限

这个极限我们求出来是

x减4的平方

除上9

根据比值判别法

我们知道当这个极限小于1

也就是x减4小于3时

幂级数是绝对收敛的

当这个区间大于1

也就是x减4大于3时

这个幂级数它的通项

是不趋向于0的

所以幂级数是发散的

我们根据收敛半径的定义

就可以知道

这个幂级数的收敛半径R

是等于3的

收敛区间是一个以4为中心

半长为3的开区间

是1到7

下面我们再考虑

在收敛区间端点的收敛性

当x等1 或者是x等7时

幂级数都变成了一个数项级数

这个数项级数它的通项

是负1的n减1次方除上n

这是一个满足

莱布尼兹条件的交错级数

所以我们最后求得的收敛域是

1到7这个b区间

上边我们介绍的两道例题

它求收敛半径的方法

也是我们处理一般的幂级数

收敛半径问题的常用方法

也就是说对幂级数来说

我们往往利用

正项级数的比值判敛法

或者是根式判敛法

以及收敛半径的概念

来求它的收敛半径

对简单幂级数来说

有时候我们也用下面的方法

来求收敛半径的大小

也就是说对以anxn次方

为通项的幂级数来说

如果我们知道an加1比上an

这个绝对值的极限存在 等于c

那么我们可以得到

这个幂级数的收敛半径

就是R等于c分之1

也就是说在这个

an比上an加1的比值

绝对值极限存在时

这个极限值

就是我们对应的

幂级数的收敛半径

在这一讲中

我们给出了级数绝对收敛

和条件收敛的定义

证明了绝对值判敛法

介绍了绝对收敛的充要条件

和条件收敛的必要条件

给出了绝对收敛级数的重排性质

和乘积级数的收敛性结论

绝对值判敛法

是我们处理一般项级数

收敛性的常用方法

在具体应用时

一般是对其绝对值级数

是用正项级数的比值判敛法

当后一项与前一项的绝对值的比值

极限小于1时

级数是绝对收敛的

当后一项与前一项

绝对值的比值极限

大于1时

因为通项的绝对值是正无穷大量

所以级数本身是发散的

重排性质说明的是

绝对收敛的级数

满足加法运算的交换率

我们知道条件收敛级数

是既不满足加法运算的交换率

也不能得到

他们乘积级数的收敛性结论

在下一讲中

我们将开始介绍一类特殊的

函数向级数

也就是幂级数

谢谢同学们

下一讲 再见