3.5.1 高阶导数在线视频

同学们 大家好

欢迎来到大学先修课

微积分课程

今天我们介绍

第三章 导数与微分

第五节 高阶导数

前面我们已经介绍了

函数的导数

但在许多问题中

我们还会遇到

对导数再求导的问题

这就是函数的高阶导数问题

在这一讲中

我们将要介绍

高阶导数的概念

和高阶导数的计算问题

我们首先看一下

高阶导数的概念

我们前面已经讨论过

函数在一点的导数

但是在许多实际问题中

我们还会用到

对导数进行求导的情况

譬如

如果我们知道

物体运动的距离与运动时间之间的关系

那么距离关于时间的导数

表示的就是瞬时速度

也就是速度v(t)

应该等于距离s(t)的导数

物体在某一个时刻t的加速度

指的应该是速度关于时间的变化率

也就是速度关于时间的导数

这样加速度就是距离函数的导数的导数

比如

对于自由落体运动

s(t)等于4.9倍的t方

我们就有他在每一时刻的速度

v(t)等于s'(t)

等于9.8倍的t

而他在每一时刻加速度

就是v的导数

也就等于9.8

对一般的函数来说

我们假设函数

f(x)在区间(a,b)内有定义

并且在(a,b)中的每一点都可导

如果导函数f'(x)

在点x0处也是可导的

我们就把导函数的导数

称为函数f(x)

在x0这一点处的二阶导数

我们用f''(x0)来表示

函数在x0这一点处的二阶导数

也就是说函数在这一点处的二阶导数

就是它的一阶导数在x0这点再求导

一般的

函数f(x)的三阶导数

定义为它的二阶导数的导数

我们将二阶和高于二阶的导数

统称为函数的高阶导数

函数f(x)的n阶导数

我们一般加一个上标n

带一括号来表示

或者是表示成d n f(x)

比上d x n

也就是说函数的n阶导数

就定义为它的n-1阶导数的导数

事实上

从前面我们介绍就可以看出

函数的高阶导数

就是利用函数在一点导数的概念

以及归纳的方法

由一阶定义出了二阶导数

进而定义出了三阶四阶以至n阶导数

下面我们介绍一下

高阶导数的求法

事实上从我们介绍的高阶导数的定义

我们可以看出

对函数求二阶导

实际上就是对函数的一阶导再求导

如果求三阶导那就是对二阶导再求导

也就是说

所谓高阶导数的求法

就是函数一阶导数的求法

接下来我们通过几道具体的例题来看一看

我们求高阶导数时

需要注意的问题

第一个例题

我们求函数

f(x)等于x的平方加2倍的x加3

它的二阶导数

我们知道这个函数

它的一阶导数

利用幂函数的导数公式

和导数的四则运算法则

就会得到

一阶导就等于2倍x加2

根据二阶导数的定义

我们要求的这个函数的二阶导

就等于2

所以说它的二阶导数

应该就是常数

下面我们来看第二道例题

我们已知f(x)在x不等于0时

他的函数值

是x的四次方乘上sin x分之1

因为这个函数在0这一点

它的函数值是单独给出定义的

那么对于这样的函数来说

我们求他在0这一点的二阶导数

对特殊的点

我们要求导数

需要注意导数的存在性

也就是说

我们一般的是

用导数的定义

来进行求解的

对这个函数来说

在x不等于0时

它的一阶导数

我们可以求出来是

4倍的x三次方乘上sin x分之1

减掉x平方再乘上cos x分之1

而在x等于0时

我们由导数定义

可以求出他在0这一点的导数

是等于0的

所以我们就得到了这个函数

他的导函数的表达式

也就是说

在x等于0时

导数等于0

在x不等于0时

他的导数就是

4倍的x三次方乘上sin x分之1

减掉x平方乘上cos x分之1

这样我们利用定义就会得到

这个函数

在0这点的二阶导数

也就是等于f'(x)减掉f'(0)

除上x在x趋向于0时的极限

这个极限我们可以求出来

它的值是等于0

所以我们求得这个函数

在0这点的二阶导数值

就等于0

接下来我们来看第三道例题

我们假设

函数f与g都具有二阶导数

我们求y等于f(g(x))

这个复合函数的二阶导数

根据复合函数的链导法则

我们知道

这个函数

它的一阶导数

就等于f的一阶导在g(x)这点的取值

再乘上g(x)的一阶导

我们要求二阶导数

也就是对这个表达式进一步求导

这是两个函数乘积的导数问题

再求导的过程

请大家注意

第一个因子

关于x来说

它仍然是复合函数

所以对第一个因子求导时

我们仍然应该应用复合函数的链导法则

这样我们就得到

第一个因子关于x的导数

就等于f的两阶导

在g(x)这点的取值

再乘上g(x)的导数

所以我们要求的二阶导数

就等于f的两阶导

在g(x)这点的取值

乘上g(x)导数的平方

再加上f的一阶导

在g(x)这点的取值

乘上g(x)的两阶导数

下面我们来看第四道例题

我们已知函数y等于y(x)

由下面这个方程确定

这个方程是x减y

加上2分之1倍的siny等于0

我们来求这个隐函数的二阶导数

根据隐函数的求导方法

我们在方程两端关于x求导

y看作是中间变量

我们就会得到一阶导满足的方程

1减掉y'加上2y'分之1

乘上cosy等于0

我们要求隐函数的二阶导数

就是在这个新的方程两端

再关于x求导

其中y y'都当做是中间变量

这样我们就会得到二阶导满足的等式

也就是负的y''

加上2分之1倍的y''乘上cosy

再减掉y'的平方

再乘上siny等于0

这就是我们要求的二阶导数

满足的一个一次方程

在这个方程中我们就可以求得

我们要求的二阶导数

也就是

最后的结果是

y的二阶导数等于

负的2分之1倍的siny除上

括号里面1减2分之1cosy

括起来的3次方

接下来我们来看第五道例题

我们假设

函数y等于f(x)

由下面这个参数方程确定

参数方程是x等于2分之1倍的t方

y等于1减t

我们来求这个函数关于x的二阶导数

这是一个参数方程确定的函数

求高阶导数的问题

首先我们根据

参数方程确定的函数的求导公式

就会得到f关于x的一阶导数

也就是f'(x)

就等于y关于t的导数

除上x关于t的导数

也就等于负的t分之1

那么根据二阶导数的定义

我们对于一阶导数再关于x求导

在这个求导过程中

请大家注意

负的t分之1中

t实际是中间变量

所以我们要求的f关于x的二阶导数

就等于负的t分之1关于t求导

再乘上t关于x求导

负的t分之1关于t的导数

是t的平方分之1

而t关于x的导数

应该就等于x关于t的导数的倒数

所以我们最后求的结果是

t的三次方分之1

前面这三个例题

我们主要是通过具体的题目

强调一下

复合函数 隐函数

以及参数方程确定的函数

在求高阶导数时需要大家注意的问题

下面我们看第六道例题

我们求指数函数

a的x次方它的n阶导数

我们根据指数函数的导数公式知道

它的一阶导数就是a的x次方

乘上a的自然对数

二阶导数就等于a的x次方

乘上a的自然对数的平方

三阶导数就等于a的x次方

乘上a的自然对数的三次方

利用归纳的方法我们就知道

我们要求的n阶导数就等于

a的x次方乘上a的自然对数的n次方

接下来我们来看第七道例题

我们求函数f(x)等于

ln 1加x的n阶导数

这是一个简单的对数函数

根据对数函数的导数公式

以及复合函数的链导法则

我们就得到f的一阶导

就等于1加x分之1

二阶导就等于负1

除上1加x括起来的平方

三阶导就等于负1乘上负2

再除上1加x括起来的三次方

同样的我们利用归纳的方法就会得到

这个函数的n阶导数就等于

负1的n减1次方乘上n减1的阶乘

除上1加x括起来的n次方

由这个题目的求解过程

我们不难得出

1加x分之1它的n阶导数

应该就等于负1的n次方

乘上n的阶乘

再除上1加x括起来的n加1次方

我们看第八道例题

我们求正弦函数它的n阶导数

我们知道

正弦函数的一阶导数就是余弦函数

而根据三角函数的诱导公式

我们知道

cosx也可以表示成

sin x加2分之π

这样我们就会求出

f(x)的二阶导数就等于

cos x加2分之π

用诱导公式进一步得到

他就等于sin x

加上2倍的2分之π

同样的我们就会得到

f(x)的三阶导数就等于

sin x加上3倍的2分之π

这样我们利用归纳的方法就会得到

正弦函数的n阶导数就等于

sin x加上n倍2分之π

同样的我们可以求得

余弦函数的n阶导数就等于

cos x加上n倍的2分之π

在前面的几道例题中我们分别给出了

指数函数 对数函数 简单的幂函数

以及正弦和余弦函数的n阶导数公式

这几个简单函数的n阶导数公式

在我们微积分的学习过程中

是非常重要的

请同学们一定要记得准确

用的熟练

下面

我们来看第九道例题

我们来求函数f(x)

等于1除上1加x乘上2加x

它的n阶导数

对这个函数来说

我们不能像前面几个简单函数那样

利用归纳的方法直接得到

他的n阶导数公式

但是根据这个函数的特点

我们可以将这个函数拆成两项的和差

也就是f(x)可以写成

1加x分之1减掉2加x分之1

我们知道1加x分之1它的n阶导数

就等于负1的n次方乘上n的阶乘

除上1加x括起来的n加1次方

而2加x分之1它的n阶导数

就等于负1的n次方乘上n的阶乘

除上2加x括起来的n加1次方

这样我们就得到了

我们要求的f(x)的n阶导数

在这道例题中

我们用到了两个函数之差的n阶导数

等于他们n阶导数之差这个结果

事实上

关于n阶导数的计算

我们有下面的定理

定理7

我们假设f(x)和g(x)

都存在n阶导数

那么f(x)加上g(x)它的n阶导数

就等于f的n阶导数加上

g(x)的n阶导数

f(x)乘上一个实数它的n阶导数

就等于这个实数乘上f(x)的n阶导数

f(x)与g(x)乘积的n阶导数

就等于C(n,k)

乘上f的k阶导数

再乘上g的n减k阶导数

关于k从0到n求和

在这儿C(n,k)表示的

是从n个数里拿出k个的组合数

一般的

我们将两个函数乘积的n阶导数公式

称为莱布尼茨公式

下面我们来看这个定理的证明

前两个等式它的证明

留给同学作为练习

在这儿我们只介绍

第三个等式的证明

我们利用归纳法进行证明

当n等于1时

利用两个函数乘积的导数公式

我们知道这个时候

莱布尼茨公式是成立的

我们假设当n等于m时

莱布尼茨公式也是成立的

下面我们来证明

莱布尼茨公式对n等于m加1时

也是成立的

事实上根据高阶导数的定义

我们知道

f乘上g的m加1阶导数

就是他们乘积的

m阶导数的导数

对这个乘积的m阶导数

我们将归纳假设得到的

莱布尼茨公式代入

这样我们遇到的问题就是要求

m加1个函数加起来他们的求导问题

根据和函数的求导公式

我们就将每一项先求导后求和

而每一项又可以理解成

是两个函数乘积的导数

我们利用乘积函数的导数公式

这样我们就把f乘g的m加1阶导数

表示成了两部分的和

在第一部分中

我们做一个变量替换

我们就让k加1等于i

这时候k从0到m求和就变成了

i从1到m加1求和

而我们知道

这个和的值

与这个变量的记号无关

所以我们又将它表示成

对k从1到m加1求和

注意到我们前面两项之间的关系

我们就将f乘g的m加1阶导数

表示成了C m 0

乘上f的0阶导

再乘上g的m加1阶导

再加上k从1到m求和

被求和的表达式

系数是C m k-1

加上C m k

再乘上f的k阶导加上

gx的m加1减k阶导

最后再加上一项

系数是C m m乘上f的m加1阶导

再乘上g的0阶导

大家注意到组合数的一个简单性质

也就是C m k-1

加上C m k

就等于C m+1 k

这样我们就将

我们这三部分之和

整理成了一个统一的形式

也就是我们要对C m+1 k乘上

f的k阶导再乘上g的m加1减k阶导

对k从1到m加1求和

而这正是莱布尼茨公式

当n等于m加1时的形式

这样我们就利用归纳法证明了

莱布尼茨公式

对于任意的n阶导数都是成立的

下面我们利用莱布尼茨公式

来做两道具体的题目

例10

我们假设y等于x除上1加x的平方

我们来求y的n阶导满足的递推关系

我们将y等于x除上1加x的平方变形

就会得到

1加x的平方乘上y等于x

根据幂函数的导数公式我们知道

求完导之后等号左边就含有三项

分别是

1加x平方不求导乘上y的n阶导数

再加上C n 1

乘上1加x的平方的一阶导数

再乘上y的n减1阶导数

再加上C n 2

乘上1加x的平方的二阶导数

再乘上y的n减2阶导数

而等号的右边x求n阶导

只要n大于等于2

他就等于0

这样我们就得到了y的n阶导数

与他的n减1阶导数

和n减2阶导数

之间的一个递推关系

其中y的一阶导

就等于1减x平方除上

1加x平方括起来的平方

而他的0阶导

指的就是函数本身

这是一个两步递推公式

有了0阶导 1阶导

我们就可以进一步得到2阶导 3阶导

下面我们来看最后一道例题

我们求x平方

乘上sinx他的n阶导数

我们知道

这个函数的1阶导

就等于两倍的x乘上sinx

加上x平方乘上cosx

我们对一阶导数再求导

就会得到它的二阶导数

当n大于等于3时

我们根据莱布尼茨公式

就会得到我们要求的n阶导数

就是下面这三项之和

第一项x平方不求导

sinx求n阶导

第二项

C n 1乘上x平方一阶导

再乘上sinx的n减1阶导

第三项

是C n 2乘上x平方2阶导

再乘上sinx的n减2阶导

在这一讲中

我们介绍了高阶导数的概念

给出了几个简单函数的n阶导数公式

并证明了乘积函数n阶导数的

莱布尼茨公式

同时我们也强调了

对复合函数 隐函数

参数方程确定的函数

在求高阶导数时应注意的问题

到这一讲为止

我们第三章的内容

就全部介绍完了

从下一讲开始

我们将要学习第四章

微分中值定理与导数的应用

谢谢同学们

下一讲 再见