1.3.2 极限的性质(2)在线视频

同学们大家好

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微积分MOOC课程

今天我们介绍

第一章极限

第三节极限的性质（2）

在这一讲中我们将

介绍极限的局部保号性

和函数极限与数列极限的关系

极限的保号性反映了

极限值的正负号

与函数值正负号之间的关系

给出了利用极限值的大小

判断函数值大小的一种方法

函数极限与数列极限的关系

是一种整体与部分的关系

也是一种一般与特殊的关系

三极限的局部保号性

关于极限的局部保号性

我们写成定理7的形式

如果f(x)在x趋向于x0时的极限等于A

而且A大于0

那么存在x0的一个去心邻域

使得当x位于这个去心邻域时

就有f(x)大于0

或者说

如果f(x)在x趋向于x0时的极限

是A 而且A是小于0的

那么就存在x0的一个去心邻域

使得当x位于这个去心邻域时

就有f(x)小于0

实际上这两个方面

只要证明其中一个方面

另外一个方面就类似

地可以进行证明

下面我们证极限值大于0的情况

当极限A大于0时

我们就取ε =A/2

那么根据极限的定义

就一定存在一个正数

只要x-x0的绝对值是小于δ

而且大于0时

我们就一定有f(x)-A的绝对值

是小于ε 也就是小于A/2

根据绝对值的性质

我们就得到这时f(x)一定是

大于A减掉A/2

它自然就是大于0的

这样我们就证明了极限

保号性的第一个方面

类似地在A小于0时的情况

也能得到证明

极限的保号性

还有其它几种形式

我们给它写成推论

推论1 如果f(x)在x0的

一个去心邻域内是函数值

大于等于0

而且f(x)在x趋向于x0时的

极限是存在

而且等于A

那么极限值就大于等于0

在这个推论中

请大家注意

无论这个条件f(x)大于等于0中

是严格不等号还是非严格不等号

我们结论中的A大于等于0

这个地方

得到的永远是非严格不等号

下面我们看一下推论2

推论2是说如果x趋向于x0

时f(x)的极限是A

记x在x趋向于x0时

的极限是B

而且A是小于B的

那么就存在x的去心邻域

只要x位于这个去心邻域内

我们就有f(x)是小于g(x)的

这是我们利用保号定理时

常用的两个形式

事实上在前面的定理证明中

我们可以进一步得到如下结果

定理8如果f(x)在x趋向于x0时

它的极限是A

而且A大于0

那么存在x0的一个邻域

那么就一定存在x0的一个去心邻域

只要x位于这个去心邻域内

我们就有f(x)的函数值

一定大于A/2 并且小于

3A/2

在A小于0时我们也有类似

的结果

这就是如果f(x)在x趋向于x0

时的极限

是A 而且A小于0

那么就一定存在x0的

一个去心邻域

只要x在这个去心邻域内

我们就有f(x)它的函数值是

大于3A/2 小于A/2

以上几个结论说的都是

极限值的正负号与函数值的

正负号之间的关系

或者是说的是有极限值的

大小关系讨论函数值的大小关系

这就是所谓的极限的保号性

对于数列来说

极限的保号性指的是

如果一个数列的极限是A

极限值大于0时

那么从某一项之后

所有的极限值都是大于0的

或者说

如果一个数列

它每一项都是非负的

那么在它的极限存在时

它的极限也一定是非负的

下面我们来看一下函数极限

与数列极限的关系

下面我们就来证明一下这个定理

我们要证f(an)它的极限是f(x)在x

趋向于x0时的极限

也就是问n趋向于无穷时f(an)

是不是越来越接近f(x)在x0这点的

极限值

根据条件我们知道n趋向于

无穷时an是趋向于x0的

根据条件我们可以知道n趋向

于无穷时 an是趋向于x0的

而当x趋向于x0时f(x)它又越来

越趋向于一个确定的值

所以直观的说

我们知道只要n充分大

那么an就离x0充分接近

这时候f(x)在an这点的值

就与它的极限是充分接近的

下面我们就将这个想法

用严格的数学语言表达出来

我们记f(x)在x0这点的极限

是A 那么对于任意的正数

根据极限的定义

我们知道一定存在一个正数

只要x-x0的绝对值小于

而且大于0

我们就有f(x)-A 的绝对值

是小于ε 的

因为an它的极限是x0

所以对刚才找到的δ来说

我们一定存在一个正整数N

只要n大于N

我们就能保证an-x0

它们的绝对值是小于δ

而且根据条件

我们知道这个绝对值一定是

大于0的

这时我们就知道

只要n大于N

我们就有f(an)减掉A

它的绝对值是小于ε 的

根据数列极限的定义

这样我们也就证明了

函数值数列f(an)它的极限

等于A

这就是我们要介绍的函数极限

和数列极限的关系

下面我们用这个定理做两个

具体的题目

例1 我们证明cos1/x在x趋向于0

时的极限是不存在的

现在我们可以取两个数列

一个记为an

一个记为bn

其中an就等于1/2nπ

bn就等于括号里面(2n+1)

再乘上π它的倒数

这样我们就知道an

在n趋向于无穷时极限等0

bn在n趋向于无穷时它极限也等0

但是它们对应的函数值数列

一个就是cos1/an

它应该是对每一个an来说

都是等于1的

所以它们的极限等于1

而对于bn对应的函数值数列来说

它的函数值应该是cos(2n+1)倍的π

它在每一点都是等于-1的

所以它们的极限就等-1

那么根据函数极限与数列极限的关系

我们就知道函数cos1/x

在x趋向于0时

它的极限是不会存在的

这样我们就证明了

题目中的结论

下面我们再看第二个例题

我们假设x乘上cos1/x

在x趋向于0时的极限是存在的

我们来求这个极限值

我们取一个数列xn

它就等于1除上2nπ+π/2

那么xn这个数列它的极限

等于0

而且它对应的函数值数列

应该是每一项都是等于0的

所以它对应的函数值数列

极限等于0

那么根据函数极限与数列极限

的关系

在函数极限存在的前提下

任何一个具体的这样的函数值数列

极限都应该等于函数的极限

所以我们要求的极限值

就等于0

在这一讲中

我们介绍了极限的局部保号性

和函数极限与数列极限的关系

通过极限的保号性

我们可以根据极限值的正负号

来决定函数值在极限点附近的正负号

或者对于数列来说

根据极限值的正负号

来决定除了有限项之外

其它所有项的正负号

根据函数极限与数列极限

的关系我们可以判断

某些简单函数它的极限是否

存在或者是求一些简单函数

的极限值

为了更好地讨论极限的求值问题

我们在下一讲中将介绍

极限的有关运算法则

谢谢同学们

下一讲再见