当前课程知识点:微积分(先修课) > 第一章 极限 > 1.2 极限的概念 > 1.2.2 极限的概念(2)
同学们大家好
欢迎来到大学先修课
微积分MOOC课程
今天我们讲
第一章 极限
第二节极限的概念(2)
这一讲我们将介绍
函数f(x)在x趋向于x0时的极限不存在
和函数f(x)在x趋向于x0时的极限不等于A的严格数学表述
希望同学们能够理解
f(x)在x趋向x0时的极限存在和不存在的区别
能够掌握f(x)在x趋向于x0的极限不等于A
的严格的数学表述
为了更好地理解
我们将要给出的严格数学表述
我们先看两道具体的例题
例1我们证明函数f(x)=1/sinx在x趋向于0时的
时候是没有极限的
我们知道一个函数在0这一点有极限指的是
当X越来越接近于0时
他对应的函数值是越来越接近一个确定的常数
而且可以充分接近这个常数
我们要证明函数在0这点没有极限
我们只要能说明在0的任何一个邻域中
我们总能找到两点这两点的函数值不那么
接近就可以了
对这个具体函数我们可以这样说
对于任意的δ>0我们都可以取到一个整数n
使得1/2nπ它的绝对值是小于δ大于0的
而且1/(2nπ+π/2)的绝对值
也是小于δ大于0的
也就是说无论我们取的δ多么的小
总有这么两个点an和bn
它一方面满足an的绝对值
是小于δ大于0的
bn的绝对值也是小于δ大于0的
但是
对这个具体函数来说
它在an这点的值是等于0的
而在bn这点的值是等于1的
这样我们就说清楚了在0的任何一个邻域中
我们总能找到两点
这两个的函数值是不那么接近的
因为这两点的函数值它差的绝对值是等于1的
这样我们就说清楚了
在x趋向于0时函数f(x)=1/sinx,
它不可能趋向于一个确定的值
也就是它在x=0时是没有极限的
这个函数我们也可以画出它的图像
从图上也可以看出
在x趋向于0时它的函数值是在+1和-1之间
来回振荡的
它不会趋向于一个确定的值
好下面我们来看
第二个例题我们证明符号函数
在x趋向于0时是没有极限的
对于任意的δ>0
根据符号函数的定义
我们一定可以取到正数δ/2
和负数-δ/2
这两个数一方面满足它们的
绝对值都是小于δ大于0的
另外一方面在δ/2这点的
函数值应该是等于1的
在-δ/2这点的函数值是等于-1的
这就说明在0的任何一个领域中
我们总能找到两点
这两点的函数值
它们的差是等于2的
这当然就说明
在x趋向于0时
符号函数它不可能趋向一个确定的值
这个结论从符号函数的图像上
也可以很直观的得到
一般地我们怎么来说明一个函数
在某一点的极限不存在呢
根据刚才两道例题中我们用的方法
我们可以这样来描述函数在一点极限不存在的性质
函数在一点极限不存在等价于
存在一个确定的正数ε0
对于任意的正数δ来说
总能找到x1 x2两个点
一方面x1和x2要满足它们到x0这点的距离
要小于δ大于0
同时这两点函数值差的绝对值
要大于我们找到的正数ε0
这样就说明
在x趋向x0的过程中
它对应的函数值
不可能趋向于一个确定的值
这样就说明在x趋向x0的过程中
它对应的函数值
不会趋向于一个确定的值
类似地我们利用函数在一点的极限等于A的定义
也会得到函数在一点的极限不等于A的
严格的数学表述
同样地我们根据函数在x0
这点的极限等于A的定义
也可以得到函数f(x)在x0这点的极限
不等于A的严格的数学表述
也就是存在正数ε0
对任意的正数δ来说
我们总能找到一个点xδ
它一方面要满足xδ-x0大于0
它的绝对值小于δ
同时它要满足f(xδ)减掉A
它的绝对值是大于ε0的
这种表述就说明在x0的任何一个邻域中
我们总能找到这样的点
它对应的函数值与A是离得比较远的
我们用f(xδ)-A的绝对值
大于ε0来表示
在这一讲中
我们通过两道具体的例题
给出了f(x)在x趋向x0时的极限不存在
和f(x)在x趋向x0时的极限不等于A的
严格的数学表述
在我们讨论的两道例题中
尽管sin1/x和符号函数在x趋向x0时的极限
是都不存在的
但是它们的具体情况还是有差别的
因为在原点附近
我们知道sin1/x的函数值
是可以充满闭区间[-1,1]的
也就是在x趋向于0的过程中
函数值是在+1和-1之间来回振荡的
而符号函数
它在原点的左侧函数值永远取-1
而在原点的右边 它的函数值永远取1
从原点的一侧趋向于0时
符号函数的函数值是有确切的趋向的
这种现象就是我们下一讲
要讨论的单侧极限的问题
谢谢同学们
下一讲再见
-0.1 绪论
--0.1.1 绪论
-1.1 极限概念引例
--第1.1节测试 极限概念引例
-1.2 极限的概念
--第1.2节测试 极限的概念
-1.3 极限的性质
--第1.3节测试 极限的性质
-1.4 极限的运算
--第1.4节测试 极限的运算
-1.5 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(1) 夹逼定理与单调有界收敛定理
--第1.5节测试(2) 夹逼定理与单调有界收敛定理
-1.6 两个重要的极限
--第1.6节测试 两个重要的极限
-1.7 无穷小量
--第1.7节测试 无穷小量
-2.1 连续函数的概念
--第2.1节测试 连续函数的概念
-2.2. 初等函数的连续性结论
--第2.2节测试 初等函数的连续性结论
-2.3 连续函数的性质
--第2.3节测试 连续函数的性质
-3.1 导数与导函数
--第3.1节测试 导数与导函数
-3.2 微分
--3.2.1 微分
--第3.2节测试 微分
-3.3 导数的运算
--第3.3节测试 导数的运算
-3.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--3.4.1 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
--第3.4节测试 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法
-3.5 高阶导数
--第3.5节测试 高阶导数
-4.1 极值和极值点
--第4.1节测试 极值和极值点
-4.2 微分中值定理
--第4.2节测试 微分中值定理
-4.3 洛必达法则
--第4.3节测试(1) 洛必达法则
--第4.3节测试(2) 洛必达法则
-4.4 函数单调性的判定
--第4.4节测试 函数单调性的判断
-4.5 函数的极值及其求法
--第4.5节测试 函数的极值及其求法
-4.6 函数的最值及其应用
--第4.6节测试 函数的最值及其应用
-4.7 曲线的凸性和拐点
--第4.7节测试 函数的凸性和拐点
-4.8 曲线的渐近线
--第4.8节测试 曲线的渐近线
-4.9 泰勒(Taylor)公式
--第4.9节测试 泰勒公式
-4.10 原函数与微分方程初步
--第4.10节测试 原函数与微分方程初步
-5.1 定积分问题举例
-5.2 定积分的概念
--第5.2节测试 定积分的概念
-5.3 定积分的基本性质
--第5.3节测试 定积分的性质
-5.4 微积分基本定理
--第5.4节测试 微积分基本定理
-5.5 定积分的几何应用
--第5.5节测试 定积分的几何应用
-5.6 定积分的物理应用
-6.1 换元积分法
--第6.1节测试 换元积分法
-6.2 分部积分法
--第6.2节测试 分部积分法
-6.3 有理函数的积分法
--第6.3节测试 有理函数的积分法
-6.4 定积分应用举例
--第6.4节测试 定积分应用举例
-6.5 反常积分
--第6.5节测试 反常积分
-7.1 无穷级数
--第7.1节测试 无穷级数
-7.2 正项级数
-7.3 比值判敛法和根式判敛法
--第7.3节测试 比值判敛法和根式判敛法
-7.4 一般项级数
--第7.4节测试 一般项级数
-7.5 幂级数
-7.6 函数的幂级数
--第7.6节测试 函数的幂级数
-7.7 泰勒级数
--第7.7节测试 泰勒级数
-7.8 幂级数的简单应用
-8.1 一阶可求解常微分方程
--第8.1节测试 一阶可求解常微分方程
-8.2 一阶线性微分方程
--第8.2节测试 一阶线性微分方程
-8.3 二阶线性常系数微分方程
--第8.3节测试 二阶线性常系数微分方程
-8.4 常系数微分方程简单应用举例
-期末考试
--期末考试说明
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